上方対流時間微分

流体力学を含む連続体力学において、上対流時間微分またはオールドロイド微分（ジェームズ・G・オールドロイドにちなんで名付けられた）は、流体とともに回転および伸張する座標系で表された流体の小塊のテンソル特性 の変化率です。

演算子は次の式で指定されます。

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$

どこ：

• ${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}}$テンソル場の上対流時間微分である ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$実質的な派生語である
• ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}}$流体の速度 微分のテンソルです。

この式は次のように書き直すことができます。

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{A}}_{i,j}={\frac {\partial A_{i,j}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial A_{i,j}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}A_{k,j}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}A_{i,k}}$

定義により、フィンガーテンソルの上部対流時間微分 は常にゼロになります。

空間的ベクトル場の上対流時間微分は、連続体の速度場によるリー微分と同じであることが示されます。 ^[1]

上部対流導関数は、大きな変形を受ける粘弾性流体の挙動を記述するために、ポリマー レオロジーで広く使用されています。

の定義が異なるため、方程式の書き方は完全には明確ではありません。この項は、 またはその転置として定義されています(たとえば、両方を含むひずみ速度テンソルを参照してください)。この定義を変更しても、転置演算の変更のみが必要になるため、ほとんど影響はなく、一貫性を保っている限り変更できます。ここで使用する表記法は、上対流導関数を使用する文献と一致するように選択されています。 ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{ij}={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}}$

単純せん断の場合：

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

したがって、

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\dot {\gamma }}{\begin{pmatrix}2A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{22}&0&0\\A_{23}&0&0\end{pmatrix}}}$

この場合、材料は X 方向に引き伸ばされ、Y 方向と Z 方向に圧縮されて体積が一定に保たれます。速度の勾配は次のとおりです。

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}{\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}&0\\0&0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}\end{pmatrix}}}$

したがって、

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}{\begin{pmatrix}4A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&-2A_{22}&-2A_{23}\\A_{13}&-2A_{23}&-2A_{33}\end{pmatrix}}}$

• 上対流マクスウェルモデル

• マコスコ、クリストファー（1993）。レオロジー。原理、測定および応用。VCH出版社。ISBN 978-1-56081-579-2。

注記