標準線形ソリッドモデル

標準線形固体（SLS）は、クラレンス・ゼナーにちなんでゼナーモデルとも呼ばれ、^[1]弾性成分と粘性成分をそれぞれ表すスプリングとダッシュポットの線形結合を使用して粘弾性材料の挙動をモデル化する方法です。多くの場合、より単純なマクスウェルモデルとケルビン・フォークトモデルが使用されます。しかし、これらのモデルは不十分であることがよくあります。マクスウェルモデルはクリープや回復を説明できず、ケルビン・フォークトモデルは応力緩和を説明できません。SLSは、両方の現象を予測する最も単純なモデルです。

歪みを受ける材料は、多くの場合、スプリング（復元力コンポーネント）やダッシュポット（減衰コンポーネント） などの機械コンポーネントを使用してモデル化されます。

スプリングとダンパーを直列に接続するとマクスウェル材料のモデルが得られ、スプリングとダンパーを並列に接続するとケルビン・フォークト材料のモデルが得られます。^[2] マクスウェルモデルやケルビン・フォークトモデルとは対照的に、SLSは直列と並列の両方の要素を含むため、やや複雑です。粘弾性材料の弾性成分を表すスプリングは、フックの法則に従います。

${\displaystyle \sigma _{s}=E\バレプシロン }$

ここでσは加えられた応力、Eは材料のヤング率、εはひずみである。バネはモデルの応答の弾性成分を表す。^[2]

ダッシュポットは粘弾性材料の粘性成分を表します。これらの要素では、適用される応力はひずみの時間変化率に応じて変化します。

${\displaystyle \sigma _{D}=\eta {\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

ここで、η はダッシュポット部品の 粘度です。

このシステムをモデル化するには、次の物理的関係を実現する必要があります。

平行成分の場合：、および。^[2]${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}+\sigma _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}=\varepsilon _{2}}$

直列成分の場合：、および。^[2]${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{1}=\sigma _{2}}$${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}$

このモデルは並列の2つのシステムで構成されています。最初のシステムはマクスウェルアームと呼ばれ、スプリング（）とダッシュポット（粘性）が直列に含まれています。^[2]もう一方のシステムにはスプリング（）のみが含まれています。 ${\displaystyle E=E_{2}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle E=E_{1}}$

これらの関係は、システム全体とマクスウェル アームのさまざまな応力と歪みを関連付けるのに役立ちます。

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{m}+\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{m}=\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{m}=\sigma _{D}=\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{m}=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S_{2}}}$

ここで、下付き文字、、はそれぞれマクスウェル、ダッシュポット、スプリング 1、スプリング 2 を表します。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

これらの関係、それらの時間微分、およびスプリング要素とダッシュポット要素の上記の応力-ひずみ関係を使用して、システムを次のようにモデル化できます。

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}={\frac {{\frac {E_{2}}{\eta }}\left({\frac {\eta }{E_{ 2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}+\sigma (t)-E_{1}\varepsilon (t)\right)}{E_{1}+E_{2}}}}$ ^[3]

この式は次のように表現することもできます。

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}=E_{1}\varepsilon (t)+{ \frac {\eta (E_{1}+E_{2})}{E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

またはドット表記では:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{2}}}{\dot {\sigma }}=E_{1}\varepsilon +{\frac {\eta (E_{1}+E_{ 2})}{E_{2}}}{\ドット {\バレプシロン }}}$

緩和時間、は材料ごとに異なり、 ${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle \tau ={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

このモデルは直列に接続された 2 つのシステムで構成されています。最初のシステムはケルビン アームと呼ばれ、スプリング ( ) とダッシュポット (粘性) が並列に含まれています。もう 1 つのシステムにはスプリング ( ) のみが含まれています。 ${\displaystyle E=E_{2}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle E=E_{1}}$

これらの関係は、システム全体とケルビンアームのさまざまな応力と歪みを関連付けるのに役立ちます。

${\displaystyle \sigma _{tot}=\sigma _{k}=\sigma _{S_{1}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{tot}=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{S_{1}}}$

${\displaystyle \sigma _{k}=\sigma _{D}+\sigma _{S_{2}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{k}=\varepsilon _{D}=\varepsilon _{S_{2}}}$

ここで、下付き文字、、、はそれぞれケルビン、ダッシュポット、スプリング1 、スプリング 2 を表します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$

これらの関係、それらの時間微分、およびスプリング要素とダッシュポット要素の上記の応力-ひずみ関係を使用して、システムを次のようにモデル化できます。

${\displaystyle \sigma (t)+{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\sigma (t)}{dt}}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon (t)+{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\frac {d\varepsilon (t)}{dt}}}$

またはドット表記では:

${\displaystyle \sigma +{\frac {\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\sigma }}={\frac {E_{1}E_{2}}{E_{1}+E_{2}}}\varepsilon +{\frac {E_{1}\eta }{E_{1}+E_{2}}}{\dot {\varepsilon }}}$

遅延時間、は材料ごとに異なり、 ${\displaystyle {\bar {\tau }}}$

${\displaystyle {\bar {\tau }}={\frac {\eta }{E_{2}}}}$

標準線形ソリッド モデルは、マクスウェル モデルとケルビン-フォークト モデルの側面を組み合わせて、特定の一連の荷重条件下でのシステムの全体的な動作を正確に記述します。瞬間的な応力が加わった材料の動作は、応答の瞬間的な要素を持つものとして示されます。応力が瞬間的に解放されると、予想どおり、ひずみが不連続に減少します。時間依存のひずみ曲線の形状は、モデルに負荷がかかっている方法に応じて、時間の経過に伴うモデルの動作を特徴付ける方程式のタイプに忠実です。

このモデルは、ひずみ曲線の一般的な形状や長時間および瞬間的な負荷に対する動作を正確に予測するために使用できますが、材料システムを数値的に正確にモデル化する機能がありません。

標準的な線形固体モデルに相当する流体モデルには、ケルビン-フォークトモデルと直列にダッシュポットが含まれており、ジェフリーズモデルと呼ばれています。^[4]

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