有用性評価

ベルヌーイ自身は効用が対数的である、つまり u( x )=log( x ) であると仮定しました。ここで x は金額です。これはサンクトペテルブルクのパラドックスを解決するのに十分でした。グスタフ・フェヒナー^{[ 4 ]}も対数関数の心理物理学的根拠を提供しました (ウェーバー・フェヒナーの法則として知られています)。しかし、スタンレー・スミス・スティーブンス^{[ 5 ]}は、物理的刺激と心理的知覚の関係はべき関数、つまり u( x )=x ^pでよりよく説明できることを示しました。ここで指数p は0.3 から 2 の間です。

多くの研究者が、効用は対数関数とべき関数のどちらでより適切に表現できるかを調べようと試みた。様々な方法を用いて、べき関数の方が効用データによく適合することを示した。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}その結果、べき関数は累積プロスペクト理論、ランク影響乗法（RAM）重みモデル、注意の転移交換（TAX）モデルなどの心理学的意思決定理論に組み込まれた。ただし、一部の経済学的応用では依然として対数関数が使用されている。^{[ 11 ]}

ワッカー^{[ 12 ]}は、べき関数は負の指数を持つ可能性があるが、その場合は増加し続けるように符号を変える必要があると指摘した。この一般化された関数族を定義する1つの方法は次のとおりである。

${\displaystyle u_{r}(x)=x^{r}/r}$

これは、任意の指数r ≠ 0 に対して増加関数である。さらに、 r → 0のときのこの関数の極限は、まさに対数関数である。${\displaystyle u_{0}(x)=\ln(x)}$したがって、すべての実数pに対する関数u _r ( x )の族は、パワー対数効用と呼ばれることがあります。^{[ 13 ]}

効用関数は通常、くじに対する被験者の好みを調べる実験で評価されます。2つの一般的な手順が使用されています: ^{[ 1 ]}

1. 等価性手続きでは、被験者はある宝くじの賞金額を、別の宝くじの賞金額と等価になるように調整するよう求められます。例えば、被験者は2つの宝くじを検討するよう求められる場合があります。(a) 確実にxドルを獲得できる宝くじ、(b) 60%の確率で20ドルを獲得し、40%の確率で0ドルを獲得できる宝くじ。被験者は「xの値がいくつであれば、この2つの宝くじのどちらを選んでも構わないと思いますか？」と尋ねられます。このような質問はそれぞれ、次のような形式の方程式を導き出します。${\displaystyle \sum _{i}p_{1,i}u(x_{1,i})=\sum _{i}p_{2,i}u(x_{2,i})}$これは効用関数の形式を評価するために使用できます。たとえば、被験者が x=$10 と答えた場合、次の式が得られます。${\displaystyle u(10)=0.6u(20)+0.4u(0)}$電力効用を仮定すると、これは次のようになる。$\displaystyle {10}^{r}=0.6\cdot {20}^{r}}$それによって${\displaystyle r=\log(0.6)/\log(0.5)\approx 0.74}$。
2. 選択手続きでは、被験者に2つ以上のくじが提示され、どのくじを好むか尋ねられます。例えば、被験者は「(a) 確実に10ドルを獲得する、(b) 60%の確率で20ドルを獲得し、40%の確率で0ドルを獲得する」という2つの選択肢から選ぶように求められる場合があります。このような質問はそれぞれ、次の形式の不等式を導きます。${\displaystyle \sum _{i}p_{1,i}u(x_{1,i})>\sum _{i}p_{2,i}u(x_{2,i})}$ここで、p _1,iと x _1,iは好ましい宝くじの確率と合計であり、p _2,iと x _2,iはもう一方の宝くじの確率と合計である。選択問題の利点は、答えやすいことである。このような問題を連続して解くことで、等価点にたどり着くことができる。

これらの手順にはいくつかの問題点がある。^{[ 3 ]}

まず、彼らは人々がイベントを真の（客観的な）確率 p _1,iと p _2,iで重み付けすると仮定しています。実際には、多くの証拠が、人々がイベントを主観的な確率で重み付けしていることを示しています。^{[ 14 ]}特に、人々は小さな確率を過大評価し、中程度から大きな確率を過小評価する傾向があります（プロスペクト理論を参照）。主観的な確率の非線形性は、効用関数の凹性と混同される可能性があります。たとえば、宝くじ [100%: $10] と [60%:$20, 40%:0] の間で無関心な人は、確率 60% を約 50% に過小評価していると仮定すれば、線形効用関数でモデル化できます。

この混同を避ける方法の1つは、すべてのクエリで等しい確率を使用することです。これは、たとえば、CoombsとKomoritaによって行われました。^{[ 15 ]}このトリックは、主観的確率が客観的確率の関数であると仮定する非構成的重み理論^{[ 16 ]}で有効です（つまり、すべての客観的確率は一意の主観的確率に変換されます）。この場合、クエリ内のすべての確率が等しい場合、それらは方程式で相殺されます。方程式には効用のみが含まれるため、これらを使用して効用関数の形式を推測することができます。

しかし、アレーのパラドックスに触発された構成重み理論[ ^{17 ]は}、主観的確率が客観的確率と結果の両方に依存する可能性があることを示している。カービー^{[ 3 ]}は、べき乗対数効用と負の指数効用の場合、予測が主観的確率の相殺に依存しないようにクエリを設計する方法を提示した。

2つ目の問題は、一部の実験では利得と損失の両方が使用されていることです。^{[ 15 ] [ 18 ]}しかし、後の研究では、効用関数の凹性は利得と損失で異なる可能性があることが示されています（プロスペクト理論と損失回避を参照）。利得と損失の領域を組み合わせると、不正確な効用関数が得られる可能性があります。

考えられる解決策は、これら 2 つの領域をそれぞれ個別に測定することです。^{[ 19 ]}ユージン・ギャランターは、最初の問題と 2 番目の問題の両方に対して別の解決策を考案しました。^{[ 6 ] [ 20 ]}彼は確率を使用しない実験を行い、代わりに「10 ドルの 2 倍の幸福を感じるには、いくらのお金が必要ですか」といった質問をしました。答えがたとえば 18 ドルであれば、次のような方程式が得られます。${\displaystyle u(18)=2u(10)}$これは、確率やリスク態度に依存しない効用関数に関する情報を提供する。彼の実験では、対数関数よりもべき関数の方がデータによく適合することが一貫して示された。

3つ目の問題は、ほとんどの実験が、異なる効用モデルのデータへの相対的な適合度を比較している点です。例えば、べき関数が対数関数よりもデータによく適合することを示すことはできますが、べき関数がデータに適合するという仮説を棄却することはできません。Kirby ^{[ 3 ]}は、各モデルについて個別に点予測を取得できる斬新な実験設計を提示しました。彼の実験では、べき対数関数と負の指数関数の両方がデータに適合しないことが示されています。彼は、より適合する関数を見つけることを未解決の問題として残しています。

MAU関数の評価は、医療経済学において特に重要です。多くの場合、さまざまな治療法の中から選択する必要があり、それぞれの治療法は、平均余命、生活の質、安全性、費用に関して異なる属性を持っています。広範な調査の後、健康関連の状態に対するMAU関数が開発されました。QALYとEQ-5D#評価を参照してください。健康関連の効用を評価する最も一般的な方法は、時間トレードオフです。国レベルでの意思決定を可能にするために、健康に関するMAU関数は、国内のすべての患者の「平均」効用関数として、国レベルで構築されます。

効用関数は通常、効用値が 1 の場合は「完全な健康」、効用値が 0 の場合は「死亡」を意味するように正規化されます。負の効用関数は、「死亡よりも悪い」と考えられる状況に対して使用できます。例として、EQ-5D-Y (EuroQol 5 次元尺度 若年者向け) の価値セットを構築するためのプロトコルの説明を以下に示します。^{[ 21 ]}構築は、オンラインの離散選択実験(DCE) 調査と、対面式の複合時間トレードオフインタビュー (cTTO) の 2 つのステップで行われます。

1. DCEステップでは、5つの次元の相対的な重要性を測定しますが、正規化された効用値ではなく、潜在尺度で結果が得られます。推奨される実験デザインは10ブロックで構成され、各ブロックには15組の健康状態（合計150組）が含まれます。各被験者には1つのブロック（15組）が割り当てられます。各組について、被験者はどちらの状態を好むかを答える必要があります（例：「12333と31122のどちらを好みますか？」）。
2. cTTOステップは、アンカー状態（5次元すべてにおいて最悪のレベル（3）を持つ状態33333）に対する正規化値を計算するために使用されます。各被験者は10個のTTOクエリに回答する必要があります。各TTOクエリは健康状態と期間のペアを示し、被験者はどちらを好むかを答える必要があります。クエリには2種類あります。^{[ 21 ]： 660、図2}
   • ある種の考え方では、その状態は死よりも良いと想定されています。質問は「2年間完全に健康な状態で過ごすか、10年間状態33333で過ごすか、どちらが良いですか？」のようになります。
   • もう一方のタイプは、その状態が死よりも悪いと想定しています。質問は「2年間完全に健康な状態で過ごすか、5年間完全に健康な状態で過ごし、その後10年間状態33333で過ごすか、どちらが良いですか？」のようになります。

どちらの段階でも、被験者は成人であり、10歳の子どもの視点から質問に答えるよう求められます。子どもではなく成人に質問する理由は、（1）成人は納税者であり、医療予算の使い道を決めるべきであること、（2）死に関する質問があり、子どもには不適切な場合があること、（3）子どもは質問を誤解する可能性があること、です。

上記のプロトコルは、最初にスロベニアで以下のように実行されました。^{[ 22 ]}

• DCE調査は、LimeSurveyを使用して、商業市場調査会社（Valicon Ljubljana）のオンラインパネルを通じて、スロベニアの成人1276人の代表サンプルに対して実施されました。実験デザインはD効率デザインで、1ブロックあたり15ペアの10ブロックに分割され、合計150ペアが比較されました。150ペアは、フィッシャー情報行列を最大化するペアの中からランダムに選択されました。このデザインにより、50個のパラメータを持つ多項ロジスティック回帰モデルを推定することが可能になりました。10個のパラメータは主効果、40個のパラメータは2方向交互作用です。
  • 品質チェックとして、202件の回答が削除されました（一方の健康状態が他方を圧倒する3つの固定ペアのうち2つで誤った選択をした回答、および回答が速すぎた回答）。
• cTTO インタビューは、代表サンプルではない 210 人の成人を対象に対面で行われました (全員がプリモルスカに住んでおり、ほとんどが若年層)。しかし、代表性を高めるためにサンプルに重み付けが行われました。cTTO タスクの要素には、車椅子のシナリオを使用して、「死よりも悪い」健康状態と「死よりも良い」健康状態を評価することが含まれます。インタビュー対象者は、10 の cTTO 状態を評価し、EQ-5D-Y 記述プロファイルと VAS (視覚アナログ尺度) を完了するように求められました。
  • 品質チェックとして、8件の回答が削除されました（「死よりも悪い」タスクの説明がない回答、cTTO評価が一貫していない（33333が最低状態ではない）、またはタスクに費やした時間が不十分）。
  • アンカー状態33333の値は-0.691であることがわかりました。その他の値は、33233:-0.48、31133:-0.049、32223:0.139、22232:0.237、11121:0.911、21111:0.962でした。
• これら 2 つのフェーズに基づいて、線形加法効用モデルが推定されました。混合ロジット モデルが使用され、5 つの次元における最悪の結果 3 の係数は (重要度の高い順から低い順に)、痛み/不快感:-0.463、不安/抑うつ:-0.380、通常の活動:-0.322、移動:-0.305、セルフケア:-0.221 でした。1-0.463-0.380-0.322-0.305-0.221 = -0.691 であることに注目してください。これは確かに 33333 状態のアンカー値です。

• グループ意思決定支援システムにおけるMAU手法。^{[ 23 ]}