マルチ属性ユーティリティ

意思決定理論では、多属性効用関数は、潜在的な選択の結果が確実である場合、または不確実な場合のいずれかで、エージェントの一連の商品に対する選好を表すために使用されます。

人は 2 つ以上の選択肢の中から決定を下す必要があります。決定は選択肢の 属性に基づいて行われます。

最も単純なケースは、属性が 1 つだけの場合です (例: お金)。通常、すべての人は少ないお金よりも多いお金を好むと想定されるため、この場合の問題は簡単です。より多くのお金が得られるオプションを選択します。

実際には、2 つ以上の属性があります。たとえば、ある人が 2 つの雇用オプションから選択する必要があります。オプション A では、月額 12,000 ドルと 20 日間の休暇が与えられますが、オプション B では、月額 15,000 ドルと 10 日間の休暇しか与えられません。その人は (12K,20) と (15K,10) のどちらかを選択する必要があります。人によって好みは異なります。特定の条件下では、人の好みは数値関数で表すことができます。序数ユーティリティの記事では、そのような関数のいくつかの特性と、それらを計算する方法について説明します。

意思決定の問題を複雑にする可能性があるもう 1 つの考慮事項は、不確実性です。不確実性の原因は少なくとも 4 つあります。つまり、属性の結果と、意思決定者の次の点に関する曖昧さです。a) 個々の属性効用関数の特定の形状、b) 集計定数の値、c) 属性効用関数が加算的であるかどうか (これらの用語は現在説明中)。ただし、不確実性は、属性レベルのランダム性のみを意味します。この不確実性の複雑さは、属性が 1 つ (たとえば、お金) の場合でも存在します。たとえば、オプション A は 2 ドルが当たる確率が 50% の宝くじで、オプション B は確実に 1 ドルが当たる宝くじです。人は宝くじ <2:0.5> と宝くじ <1:1> のどちらかを選ばなければなりません。この場合も、人によって好みは異なります。この場合も、特定の条件下では好みを数値関数で表すことができます。このような関数は、基数効用関数と呼ばれます。フォン ノイマン-モルゲンシュテルンの効用定理に関する記事では、これらを計算するいくつかの方法について説明しています。

最も一般的な状況は、複数の属性と不確実性の両方が存在する場合です。たとえば、オプションAはリンゴ2個とバナナ2個を獲得する確率が50%の宝くじであるのに対し、オプションBはバナナ2個を確実に獲得できる場合です。決定は、<(2,2):(0.5,0.5)>と<(2,0):(1,0)>の間で行われます。ここでの選好は、複数の変数（属性）を取る基数効用関数によって表すことができます。 ^{[1] : 26–27}このような関数が本記事の焦点です。

目標は、バンドルの抽選に対する個人の好みを表す効用関数を計算することです。つまり、関数の期待値がA の場合のほうが B の場合よりも高い場合にのみ、抽選 A が抽選 B よりも好まれます。 ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle E_{A}[u(x_{1},...,x_{n})]>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n})]}$

可能なバンドルの数が有限である場合、フォン・ノイマンとモルゲンシュテルン（VNM）によって説明されているように、 uを直接構築することができます。バンドルを最も好まれないバンドルから最も好まれるバンドルの順に並べ、前者に効用0を、後者に効用1を割り当て、その間の各バンドルに同等の宝くじの確率に等しい効用を割り当てます。^{[1] ：222–223}

バンドルの数が無限である場合、1 つの選択肢は、ランダム性を無視して、確実なバンドルにおける人の効用を表す順序効用関数を評価することです。つまり、バンドル x がバンドル y よりも好まれるのは、関数がx の場合に y の場合よりも高い場合のみです。 ${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n})}$

この関数は、実際には、多属性問題を単一属性問題に変換します。属性は です。次に、VNMを使用して関数 を構築できます。^{[1] : 219–220}${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

u はvの正の単調変換でなければならないことに注意してください。これは、次のような単調増加関数が存在することを意味します。 ${\displaystyle r:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n}))}$

このアプローチの問題は、関数r を評価するのが容易ではないことです。VNM を使用して単一属性基数効用関数を評価する場合、「$2 を獲得する確率が $1 に等しいのはどれか」などの質問をします。したがって、関数r を評価するには、「2 単位の価値を獲得する確率が 1 単位の価値に等しいのはどれか」などの質問をする必要があります。後者の質問は、抽象的な量である「価値」が関係するため、前者の質問よりも答えるのがはるかに困難です。

考えられる解決策は、属性ごとに 1 つずつ、 n個の 1 次元基数効用関数を計算することです。たとえば、リンゴ ( ) とバナナ ( ) という 2 つの属性があり、どちらも範囲が 0 から 99 であるとします。VNM を使用すると、次の 1 次元効用関数を計算できます。 ${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

• ${\displaystyle u(x_{1},0)}$- バナナがない場合のリンゴに対する基本ユーティリティ（ドメインの南の境界）
• ${\displaystyle u(99,x_{2})}$- リンゴが最大であるときのバナナの基数効用（ドメインの東の境界）。

線形変換を使用して、関数を（99,0）で同じ値を持つようにスケーリングします。

次に、すべてのバンドルに対して、形式または形式 のいずれかである同等のバンドル（同じvを持つバンドル）を見つけ、その効用を同じ数に設定します。^{[1] : 221–222}${\displaystyle (x_{1}',x_{2}')}$${\displaystyle (x_{1},0)}$${\displaystyle (99,x_{2})}$

多くの場合、属性間の特定の独立性プロパティを使用すると、効用関数の構築が容易になります。そのような独立性プロパティのいくつかを以下で説明します。

最も強い独立性は、加法独立性と呼ばれます。2 つの属性 1 と 2 は、2 つの宝くじ間の優先順位 (2 つの属性の結合確率分布として定義) がそれらの周辺確率分布(属性 1 の周辺確率分布と属性 2 の周辺確率分布)のみに依存する場合、加法独立性と呼ばれます。

つまり、たとえば、次の 2 つの宝くじは同等です。

• ${\displaystyle L}$:と の間の平等なチャンスの抽選。${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$${\displaystyle (y_{1},y_{2})}$
• ${\displaystyle M}$:と の間の均等確率の抽選。${\displaystyle (x_{1},y_{2})}$${\displaystyle (y_{1},x_{2})}$

これら両方の抽選において、属性1の限界確率は に対して 50%、に対して 50%です。同様に、属性2の限界確率は に対して 50% 、 に対して 50%です。したがって、エージェントが加法独立効用を持っている場合、この2つの抽選の間で無差別でなければなりません。^{[1] : 229–232}${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle y_{2}}$

効用理論における基本的な結果は、2 つの属性の効用関数が加法的であり、次の形式である場合に限り、2 つの属性は加法的に独立であるということです。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

証拠：

${\displaystyle \longrightarrow}$

属性が加法独立である場合、上で定義した宝くじと は同等です。つまり、期待効用は同じです。つまり、 です。2 を掛けると次のようになります。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E_{L}[u]=E_{M}[u]}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2})=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})}$

これは、との任意の選択に対して当てはまります。と が固定されていると仮定します。 を任意に設定します。と と書きます。 上記の式は次のようになります。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{i}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle y_{2}}$${\displaystyle u(y_{1},y_{2})=0}$${\displaystyle u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})}$${\displaystyle u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})}$

${\displaystyle \longleftarrow}$

関数uが加法関数である場合、期待値の規則により、すべての宝くじについて次のようになります。 ${\displaystyle L}$

${\displaystyle E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_ {2})]}$

この式は、2 つの属性 の周辺確率分布のみに依存します。${\displaystyle L}$

この結果は任意の数の属性に一般化できる。属性1,..., nに対する宝くじに対する選好がそれらの周辺確率分布のみに依存する場合、n属性効用関数は加法的である。^{[1] : 295}

${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}}$

ここで、 および は範囲 に正規化され、 は正規化定数です。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle k_{i}}$

加法効用理論に関する研究の多くは、ピーター・C・フィッシュバーンによって行われました。

わずかに弱い独立性特性は、効用独立性です。属性 1 は、属性 2 の定数値を与えられた属性 1 の宝くじの条件付き選好がその定数値に依存しない場合、属性 2 から効用独立です。

これは、たとえば、の値に関係なく、宝くじと宝くじの間の優先順位は同じであることを意味します。 ${\displaystyle <(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>}$${\displaystyle <(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>}$${\displaystyle x_{2}}$

効用独立性は（加法独立性とは対照的に）対称的ではないことに注意する。属性1が属性2に対して効用独立である可能性はあるが、その逆はあり得ない。^{[1] : 224–229}

属性 1 が属性 2 から効用独立である場合、属性 2 のすべての値に対する効用関数は、属性 2 の他のすべての値に対する効用関数の線形変換になります。したがって、次のように記述できます。

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})}$

が属性2の定数値である 場合。同様に、属性2が属性1と効用独立である場合:${\displaystyle x_{2}^{0}}$

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})}$

属性が相互に効用独立である場合、効用関数uは次の多重線形形式を持つ：^{[1] ：233–235}

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+u_{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})}$

ここで、は正、負、または 0 になる定数です。 ${\displaystyle k}$

• のとき、関数uは加法的であり、属性は加法に依存しません。${\displaystyle k=0}$
• のとき、効用関数は次のように表せるため、乗法関数となります。${\displaystyle k\neq 0}$

${\displaystyle [ku(x_{1},x_{2})+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]}$

ここで、各項は効用関数の線形変換です。${\displaystyle k\cdot +1}$

これらの結果は、任意の数の属性に一般化できます。属性 1、...、nが与えられた場合、属性の任意のサブセットがその補集合から効用独立である場合、n属性効用関数は多重線形であり、次のいずれかの形式になります。

• 添加物、または -
• 乗法: ^{[1] : 289–290}

${\displaystyle 1+ku(x_{1},\dots ,x_{n})=\prod _{i=1}^{n}{1+kk_{i}u_{i}(x_{i})}}$

どこ：

• およびは範囲 に正規化されます。${\displaystyle u}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle [0,1]}$
• は内の定数です。${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle [0,1]}$
• ${\displaystyle k}$は、または内の定数です（が加法形式である場合の極限に注意）。${\displaystyle (-1,0)}$${\displaystyle (0,\infty )}$${\displaystyle k\to 0}$

属性の独立性に関連する3つの異なる概念、すなわち加法独立性（AI）、効用独立性（UI）、選好独立性（PI）を比較することは有用である。^{[1] ：344}

AI と UI はどちらも宝くじに対する好みに関係しており、上記で説明されています。PI は確実な結果に対する好みに関係しており、順序効用に関する記事で説明されています。

それらの意味の順序は次のとおりです。

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI は対称関係 (属性 1 が属性 2 の AI である場合、属性 2 は属性 1 の AI) ですが、UI と PI は対称関係ではありません。

AI は相互 UI を意味します。その逆は一般には真ではありません。UI属性の多重線形式でのみ真です。しかし、相互 UI に加えて、上で定義した2 つのくじとが同等である が存在する場合、は0 でなければならず、これは選好関係が AI でなければならないことを意味します。^{[1] : 238–239}${\displaystyle k=0}$${\displaystyle x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle M}$${\displaystyle k}$

UI は PI を意味します。その逆は、一般的には当てはまりません。ただし、次の場合は:

• 少なくとも 3 つの必須属性があり、
• すべての属性ペア{1, i }はそれらの補集合のπであり、
• 属性1はその補集合のUIである。

すると、すべての属性は相互にUIである。さらに、その場合、宝くじに対する選好を表す基数効用関数と、確実なバンドルに対する選好を表す順序効用関数の間には単純な関係がある。関数は、次のいずれかの形式を持つ必要がある：^{[1] ：330–332  [2]}${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u}$

• 添加剤: ${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})}$
• 乗法：${\displaystyle u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]}$

どこ。 ${\displaystyle R\neq 0}$

証明: u が値vに関して一定の絶対リスク回避を持っていることを証明すれば十分です。

• PI 仮定は、価値関数が加法的であることを意味します。つまり、${\displaystyle n\geq 3}$

${\displaystyle v(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(x_{i})}}$

• を属性 1 の 2 つの異なる値とします。を宝くじの確実性同等物とします。UI 仮定は、他の属性の値のすべての組み合わせに対して、次の同等性が成り立つことを意味します。${\displaystyle x_{1},z_{1}}$${\displaystyle y_{1}}$${\displaystyle <x_{1}:z_{1}>}$${\displaystyle (w_{2},\dots ,w_{n})}$

${\displaystyle (y_{1},w)\sim <(x_{1},w):(z_{1},w)>}$

• 前の 2 つのステートメントは、すべてのwに対して、値空間で次の同値性が成り立つことを意味します。

${\displaystyle \lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>}$

• これは、宝くじの両側に任意の量を追加すると（項 を通じて）、宝くじの確実性相当量が同じ量だけ増加することを意味します。${\displaystyle \sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}}$
• 後者の事実は、絶え間ないリスク回避を意味します。

• 複数属性オークション
• 多目的最適化
• 複数議題の投票
• 意思決定ソフトウェア