測定の不確かさ

計量学において、測定の不確かさは、間隔または比率スケールで測定された量に起因する値の統計的分散の表現です。

すべての測定には不確実性が伴い、測定結果は標準偏差などの関連する不確実性の記述が伴う場合にのみ完全である。国際協定によれば、この不確実性は確率論的根拠を持ち、量の値に関する不完全な知識を反映している。これは非負のパラメータである。^[1]

測定の不確かさは、多くの場合、測定された量に起因する可能性のある値に対する知識状態の確率分布の標準偏差として取られます。相対的な不確かさは、測定された量の値に対する特定の単一の選択がゼロ以外の場合の、その選択の大きさに対する測定の不確かさです。この特定の単一の選択は通常、測定値と呼ばれ、明確に定義された意味で最適な場合があります (たとえば、平均、中央値、または最頻値)。したがって、相対的な測定の不確かさは、測定値がゼロでない場合、測定の不確かさを測定値の絶対値で割ったものです。

測定の目的は、関心のある量、つまり測定対象に関する情報を提供することです。比率スケールまたは間隔スケールの測定対象には、円筒形の特徴のサイズ、容器の容積、電池の端子間の電位差、フラスコの水中の鉛の 質量濃度などがあります。

正確な測定は存在しません。ある量を測定した場合、その結果は測定システム、測定手順、測定者のスキル、環境、その他の要因によって異なります。^[2]たとえ同じ量を同じ方法で同じ状況で複数回測定したとしても、測定システムが値を区別するのに十分な解像度を持っていると仮定すると、通常は毎回異なる測定値が得られます。

測定値の分散は、測定がどの程度適切に行われたかに関係します。比率または間隔尺度で測定した場合、その平均は、個々の測定値よりも一般的に信頼性の高い量の真の値の推定値を提供します。測定値の分散と数は、真の値の推定値としての平均値に関する情報を提供します。ただし、この情報は通常十分ではありません。

測定システムによって、真の値を中心に分散しているのではなく、真の値からオフセットされた値を中心に分散している測定値が提供される場合があります。家庭用の体重計を例に挙げてみましょう。体重計に誰も乗っていないときにゼロを表示するように設定されておらず、ゼロからオフセットされた値を表示するように設定されているとします。この場合、人の質量を何度再測定しても、このオフセットの影響は値の平均に本質的に存在します。

「計測における不確かさの表現に関するガイド」（一般に GUM として知られています）は、この主題に関する決定的な文書です。GUM は、すべての主要な国家計測研究所（NMI）および国際研究所認定基準（国際研究所認定に必要となるISO/IEC 17025 試験および校正研究所の能力に関する一般要求事項）によって採用されており、計測方法および技術に関する最新の国内および国際文書基準のほとんどで採用されています。 「計量ガイド合同委員会」を参照してください。

測定の不確かさは、校正および測定活動に重大な経済的影響を及ぼします。校正報告書では、不確かさの大きさはしばしば試験所の品質の指標とみなされ、不確かさの値が小さいほど一般的に価値が高く、コストも高くなります。米国機械学会(ASME) は、測定の不確かさのさまざまな側面に対処する一連の規格を作成しました。たとえば、ASME 規格は、測定結果と製品仕様に基づいて製品を承認または拒否する場合の測定の不確かさの役割に対処するため、^[3]寸法測定の不確かさの評価に対する (GUM と比較して) 簡略化されたアプローチを提供するため、^[4]測定の不確かさの記述の大きさに関する意見の相違を解決するため、^[5]製品の承認/拒否の決定に伴うリスクに関するガイダンスを提供するために使用されます。^[6]

上記の説明は、量の直接測定に関するものですが、偶然にも、このような測定はめったに行われません。たとえば、バスルームの体重計は、測定されたバネの伸びを測定対象、つまり体重計に乗っている人の質量の推定値に変換します。伸びと質量の特定の関係は、体重計の較正によって決まります。測定モデルは、量の値を測定対象の対応する値に変換します。

実際の測定には多くの種類があり、したがって多くのモデルがあります。単純な測定モデル (たとえば、質量がバネの伸びに比例するスケール) は、日常の家庭での使用には十分かもしれません。一方、空気浮力などの追加効果を含む、より洗練された計量モデルは、産業目的または科学目的でより優れた結果を提供できます。一般に、温度、湿度、変位など、測定対象の定義に寄与し、測定する必要がある さまざまな量が多数あります。

測定条件が規定どおりでない場合は、補正項を測定モデルに含める必要があります。これらの項は系統的誤差に対応します。補正項の推定値が与えられている場合は、関連する量をこの推定値で補正する必要があります。多くの場合、推定値がゼロであっても、推定値に関連する不確実性が存在します。系統的誤差の例は、高さ測定で、測定機器の調整が完全に垂直でなく、周囲温度が規定と異なる場合に発生します。機器の調整も周囲温度も正確に指定されていませんが、これらの影響に関する情報は入手できます。たとえば、調整の欠如は最大で 0.001° であり、測定時の周囲温度は規定と最大で 2 °C 異なります。

測定値を表す生データのほかに、測定モデルで頻繁に必要となる別の形式のデータがあります。そのようなデータには、それぞれが不完全にしかわかっていない物理定数を表す量に関連するものがあります。例としては、弾性係数や比熱などの材料定数があります。参考書や校正証明書などに記載されているその他の関連データは、多くの場合、さらなる量の推定値と見なされます。

測定モデルが測定対象を定義するために必要な項目は、測定モデルでは入力量と呼ばれます。このモデルは、機能関係と呼ばれることもあります。測定モデルの出力量は、測定対象です。

正式には、情報が必要となる出力量（ ）は、情報が入手可能な入力量（ ）と、次のような測定モデルによって 関連付けられることが多い。${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots,X_{N}),}$

ここで、は測定関数として知られています。測定モデルの一般的な表現は ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(Y,}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N})=0.}$

与えられた を計算する手順が存在し、それがこの式によって一意に定義されると仮定します。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle Y}$

入力量の真の値は未知です。GUM アプローチでは、は確率分布によって特徴付けられ、数学的にはランダム変数として扱われます。これらの分布は、それぞれの真の値がさまざまな間隔に存在する確率を表し、 に関する利用可能な知識に基づいて割り当てられます。 の一部またはすべてが相互に関連していることもあり、関連する分布 (結合と呼ばれます) がこれらの量をまとめて適用します。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$

証明書や報告書、製造元の仕様、測定データの分析などから得られる入力量 の推定値 をそれぞれ考えます。 を特徴付ける確率分布は、推定値がそれぞれ の期待値^[7]となるように選択されます。 さらに、 番目の入力量 について、記号 が与えられた、入力量 の標準偏差^[7]として定義される、いわゆる標準不確かさを考えます。 この標準不確かさは、（対応する）推定値 に関連付けられていると言われています。 ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle u(x_{i})}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$

利用可能な知識を利用して各関心量を特徴付ける確率分布を確立することは、 および にも当てはまります。後者の場合、 を特徴付ける確率分布は、の確率分布とともに測定モデルによって決定されます。この情報からの確率分布を決定することは、分布の伝播として知られています。^[7]${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle Y}$

下の図は、 と がそれぞれ (異なる) 長方形、つまり一様 の確率分布によって特徴付けられる場合の測定モデルを示しています。 この場合、 は対称台形確率分布を持ちます。 ${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle Y}$

入力量が適切な確率分布によって特徴付けられ、測定モデルが開発されると、測定対象の確率分布はこの情報に基づいて完全に指定されます。特に、 の期待値はの推定値として使用され、 の標準偏差はこの推定値に関連する標準不確かさとして使用されます。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

多くの場合、指定された確率で を含む区間が必要になります。このような区間、カバレッジ区間は、 の確率分布から推測できます。指定された確率はカバレッジ確率と呼ばれます。特定のカバレッジ確率に対して、複数のカバレッジ区間が存在します。確率的に対称なカバレッジ区間は、区間の左側と右側の値の確率 (合計すると 1 からカバレッジ確率を引いた値) が等しい区間です。最短のカバレッジ区間は、同じカバレッジ確率を持つすべてのカバレッジ区間の中で長さが最小となる区間です。 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

出力量の真の値に関する事前知識も考慮に入れることができる。家庭用体重計の場合、人の質量が正であること、および測定されているのは自動車の質量ではなく人の質量であるという事実は、この例における測定量の可能な値に関する事前知識を構成する。このような追加情報を使用して、の確率分布を提供でき、これによりの標準偏差が小さくなり、したがっての推定値に関連する標準不確かさが小さくなる。^{[8] [9] [10]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$

入力量に関する知識は、繰り返し測定された値（「不確実性のタイプ A 評価」）、または量の可能な値に関する科学的判断やその他の情報（「不確実性のタイプ B 評価」）から推測されます。 ${\displaystyle X_{i}}$

測定の不確かさのタイプAの評価では、入力量の繰り返し測定値（独立して取得）を与えられた場合にその入力量を最もよく表す分布はガウス分布であると仮定されることが多い。 その場合、期待値は平均測定値に等しく、標準偏差は平均の標準偏差に等しい。不確かさが少数の測定値（ガウス分布によって特徴付けられる量のインスタンスと見なされる）から評価される場合、対応する分布はt分布としてとらえることができる。^[11] 測定値が独立して取得されない場合は、他の考慮事項が適用されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

不確実性のタイプBの評価では、多くの場合、指定された区間[ ]内にあるという情報しか入手できません。このような場合、量に関する知識は、限界とを持つ矩形確率分布^[11]によって特徴付けられます。異なる情報が入手できる場合は、その情報と一致する確率分布が使用されます。^[12]${\displaystyle X}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

感度係数は、入力量の推定値の小さな変化が の推定値にどのような影響を与えるかを表します。測定モデル の場合、感度係数は、 などで評価されたの1次偏微分に等しくなります。線形測定モデル の場合、${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{N}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{N}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots,X_{N})}$${\displaystyle c_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle X_{1}=x_{1}}$${\displaystyle X_{2}=x_{2}}$

${\displaystyle Y=c_{1}X_{1}+\cdots +c_{N}X_{N},}$

が独立している場合、 が に等しい変化をすると、 が に変化します。この記述は 、測定モデル では一般に近似値となります。項の相対的な大きさは、に関連する標準不確かさに対する入力量のそれぞれの寄与を評価するのに役立ちます。出力量の推定値に関連する標準不確かさは、の合計ではなく、求積法で結合されたこれらの項、^[1]、つまり、測定モデル では一般に近似値となる式で表されます。 ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{N}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle u(x_{i})}$${\displaystyle c_{i}u(x_{i})}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots,X_{N})}$${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle |c_{i}|u(x_{i})}$${\displaystyle Y=f(X_{1},\ldots,X_{N})}$

${\displaystyle u^{2}(y)=c_{1}^{2}u^{2}(x_{1})+\cdots +c_{N}^{2}u^{2}(x_{N}),}$

これは不確実性の伝播の法則として知られています。

入力量に依存関係がある場合、上記の式は共分散を含む項によって拡張され、^[1]が増加または減少する可能性があります。 ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle u(y)}$

不確実性評価の主な段階は定式化と計算から成り、計算は伝播と要約から成ります。定式化段階は

1. 出力量（測定対象）を定義する${\displaystyle Y}$
2. 依存する入力量を特定する、${\displaystyle Y}$
3. 入力量に関する測定モデルの開発、および${\displaystyle Y}$
4. 利用可能な知識に基づいて、入力量に確率分布（ガウス分布、矩形分布など）を割り当てます（または、独立していない入力量には結合確率分布を割り当てます）。

計算段階は、入力量の確率分布を測定モデルに伝播させて出力量の確率分布を取得し、この分布を使用して要約して ${\displaystyle Y}$

1. の期待値は、の推定値としてとらえられ、${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$
2. の標準偏差、に関連する標準不確かさとしてとられ、${\displaystyle Y}$${\displaystyle u(y)}$${\displaystyle y}$
3. 指定されたカバレッジ確率を含むカバレッジ間隔。${\displaystyle Y}$

不確実性評価の伝播段階は分布の伝播として知られており、これにはさまざまなアプローチがあり、

1. GUM不確実性フレームワークは、不確実性の伝播の法則を適用し、出力量をガウス分布または分布で特徴付けるものである。${\displaystyle Y}$${\displaystyle t}$
2. 解析的手法では、数学的解析を用いて確率分布の代数形式を導出する。${\displaystyle Y}$
3. モンテカルロ法[ ^7]では、入力量の確率分布からランダムに抽出し、得られた値でモデルを評価することで、分布関数の近似値を数値的に確立します。${\displaystyle Y}$

特定の不確実性評価問題では、アプローチ 1)、2)、または 3) (またはその他のアプローチ) が使用されます。1) は一般に近似的であり、2) 正確であり、3) 制御可能な数値精度を持つソリューションを提供します。

測定モデルが多変量、つまり任意の数の出力量を持つ場合、上記の概念を拡張することができます。^[13]出力量は結合確率分布によって記述され、カバレッジ間隔はカバレッジ領域になり、不確実性の伝播の法則は自然に一般化され、多変量モンテカルロ法を実装する計算手順が利用可能になります。

測定の不確実性に関する最も一般的な見解は、不確実な量の数学モデルとしてランダム変数を使用し、測定の不確実性を表すには単純な確率分布で十分であると考えている。しかし、状況によっては、数学的間隔の方が確率分布よりも不確実性のモデルとして適している場合がある。これには、定期的な測定、ビン化されたデータ値、打ち切り、検出限界、または特定の確率分布が正当化されない、または個々の測定間の誤差が完全に独立していると仮定できない測定のプラスマイナス範囲を含む状況が含まれる可能性がある。^{[引用が必要]}

このような場合の測定不確実性のより堅牢な表現は、区間から作ることができます。^{[14] [15]}区間 [ a ,  b ] は、同じ範囲の矩形または一様確率分布とは異なり、後者は、真の値が範囲 [( a  +  b )/2,  b ] の右半分に 1/2 の確率で含まれ、 [ a ,  b ]の任意の部分区間内には、部分区間の幅をb  −  aで割った値に等しい確率で含まれることを示唆します。この区間は、測定値が区間内のどこかにあるというだけで、そのような主張はしません。このような測定区間の分布は、 偶然性と認識論的不確実性の両方を組み込んだ、実数上の確率ボックスとデンプスター・シェーファー構造として要約できます。

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