二価性の原理

論理学において、二価性の意味原理（または法則）は、（検査中の理論の）命題を表現するすべての陳述文は、真か偽のどちらか1つの真理値を持つと述べている。^[1]^[2]この原理を満たす論理は、2値論理^[3]または二価論理と呼ばれる。^[2]^[4]

形式論理では、二価性の原理は意味論が持つかもしれない、あるいは持たないかもしれない性質となる。しかし、それは排中律と同じではなく、意味論は二価でなくてもその法則を満たす可能性がある。^[2]

二価性の原理は、自然言語のどの文が明確に定義された真理値を持つかという問題に取り組むために哲学的論理学で研究されている。未来の出来事を予測する文や解釈の余地があるように見える文は、二価性の原理がすべての宣言的自然言語文に適用されると考える哲学者にとって特に難しい。^[2]多価論理は、結果の概念の現実的な特徴付けには、曖昧さ、時間的または量子的な不確定性、または参照の失敗のために古典的に二価であるとは考えられない前提の許容性が必要であるという考えを形式化する。参照の失敗は自由論理によっても対処できる。^[5]

排中律との関係

二価性原理は排中律と関連しているが、排中律は「P ∨ ¬P」という形式の論理の言語の統語的表現である。二価性原理と排中律の違いは、法則は妥当でも原理は妥当でない論理が存在するため重要である。 ^[2]たとえば、3 値のパラドックス論理(LP) は排中律は妥当だが、矛盾律¬(P ∧ ¬P) は妥当ではなく、その意図する意味論は二価ではない。^[6]直観主義論理では排中律は成立しない。古典的な2 値論理では、排中律と矛盾律の両方が成立する。^[1]

古典論理

古典論理の意図する意味論は二価ですが、これは古典論理のすべての意味論に当てはまるわけではありません。ブール値の意味論(古典命題論理の場合) では、真理値は任意のブール代数の要素であり、「真」は代数の最大要素に対応し、「偽」は最小要素に対応します。代数の中間要素は、「真」と「偽」以外の真理値に対応します。二価性の原理は、ブール代数が中間要素を持たない2 要素代数であるとみなされる場合にのみ当てはまります。

古典的な述語計算にブール意味論を割り当てるには、普遍量化子が下限演算にマッピングされ、存在量化子が上限演算にマッピングされるため、モデルが完全なブール代数である必要があります。 ^[7]これはブール値モデルと呼ばれます。すべての有限ブール代数は完全です。

ススコの論文

ロマン・ススコ（1977）は、真と偽が唯一の論理値であるという主張を正当化するために、あらゆる構造的タルスキアン多値命題論理は二価意味論を備えることができると指摘している。^[8]

批判

将来の派遣団

有名な例^[2]は、アリストテレスの著作『解釈論』第9章に出てくる偶発的な海戦の事例である。

P が「明日は海戦があるだろう」という発言を指していると想像してください。

ここでの二価性の原理は、次のことを主張します。

明日海戦があるというのは真実か、それとも明日海戦があるというのは偽りかのどちらかだ。

アリストテレスは、そのような将来の偶然性について二価性を認めることを否定している。 ^[9] ストア派の論理学者クリュシッポスは、この命題と他のすべての命題について二価性を認めた。この論争は、時間の哲学と論理の哲学の両方において、今も中心的な重要性を持ち続けている。^[^要出典^]

多値論理の研究の初期の動機の1つは、まさにこの問題でした。20世紀初頭、ポーランドの形式論理学者ヤン・ルカシェヴィチは、真、偽、未確定の3つの真理値を提唱しました。このアプローチは後に、アーレント・ヘイティングとLEJ・ブラウワーによって発展しました。^[2]ルカシェヴィチ論理を参照してください。

このような問題は、さまざまな時間論理でも取り上げられており、「結局、明日は海戦があるか、ないかのどちらかだ」と断言することができます。（「明日」が最終的に起こる場合は、これが真実です。）

曖昧さ

ソリテスのパラドックスや関連する連続体の誤謬などのパズルは、応用上曖昧な概念に対する古典論理と二価性の原理の適用可能性について疑問を投げかけています。曖昧な概念をより適切に処理する代替手段として、ファジー論理やその他の多値論理が提案されています。たとえば、ファジー論理における真偽の程度はさまざまです。移動するベルト上でリンゴを仕分ける状況で、次の文を考えてみましょう。

このリンゴは赤いです。^[10]

観察すると、リンゴは黄色と赤の間の不確定な色、または両方の色が混ざった色です。したがって、色は「赤」にも「黄色」にも分類されませんが、リンゴを分類するときに使用できるカテゴリはこれらだけです。「50% 赤」と言うことができます。これは言い換えると、「リンゴが赤い」というのは 50% 真実です。したがって、P は 50% 真実で、50% 偽です。ここで、次のことを考えてみましょう。

このリンゴは赤いですが、赤くはありません。

言い換えれば、P と not-P です。これは、矛盾律に違反し、ひいては二価性にも違反します。ただし、P は部分的にしか真実ではないため、これはこれらの法則を部分的に否定しているにすぎません。P が 100% 真実であれば、not-P は 100% 偽となり、P と not-P はもはや成立しないため、矛盾は発生しません。

ただし、「または」は包括的であるため、Pかつnot-P は Pまたはnot-P を意味するため、排中律は保持されます。P かつ not-P が偽である唯一の 2 つのケース (P が 100% 真または偽の場合) は、2 値論理で考慮されるケースと同じであり、同じルールが適用されます。

曖昧な（未決定の）ケースに適用される 3 値論理の例: Kleene 1952 ^[11] (§64、pp. 332–340) は、部分再帰関数を含むアルゴリズムが値を返さず、状況 "u" = 未決定になるケースに対して 3 値論理を提案しています。彼は、"t" = "true"、"f" = "false"、"u" = "undecided" とし、すべての命題接続子を再設計します。彼は、次のことを観察しています。

それぞれの一般再帰述語には決定手順があるため、原始的および一般再帰述語を構築する際に接続子を使用していたとき、古典的な 2 値論理を使用することは直観的に正当化されました。つまり、排中律は一般再帰述語に適用できることが直観的に証明されています。
さて、Q(x) が部分再帰述語である場合、その定義範囲には Q(x) の決定手順があるため、排中律または排「三」律 (Q(x) は t または f のいずれかである) が定義範囲に直観的に適用されます。ただし、x が与えられた場合に Q(x) が定義されているかどうかを決定するアルゴリズムは存在しない可能性があります。[...] したがって、排四律 (各 x について、Q(x) は t、f、または u のいずれかである) があるのは、古典的であり、直観的ではありません。
したがって、3 番目の「真理値」u は、私たちの理論の他の 2 つの t および f と同等ではありません。その状態を考慮すると、特別な種類の真理値表に限定されていることがわかります。

以下は彼の「強力な表」である: ^[12]

たとえば、リンゴが赤いか赤くないかを判断できない場合、アサーション Q:「このリンゴは赤い」の真理値は「u」です。同様に、アサーション R「このリンゴは赤くない」の真理値は「u」です。したがって、これらをアサーション Q AND R、つまり「このリンゴは赤い AND このリンゴは赤くない」に AND すると、表に従って「u」が生成されます。また、アサーション Q OR R、つまり「このリンゴは赤い OR このリンゴは赤くない」も同様に「u」を生成します。

参照

参考文献

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^ 「強い表」はクリーネの言葉の選択です。Q または R の値に「 u 」が現れる場合でも、「 QVR 」、「 Q & R 」、および「 Q → R 」の値として「 t 」または「 f 」が現れることに注意してください。一方、「弱い表」は「規則的」であり、値「 u 」が Q または R のいずれか、または両方に適用された場合に常に「 u 」が現れることを意味します。クリーネは、これらの表が Łukasiewicz 1920 の表の元の値と同じではないことに注意します。(クリーネはこれらの違いを 335 ページで示しています)。彼はまた、「 u 」が以下のいずれかまたはすべてを意味する可能性があると結論付けています:「未定義」、「不明 (または重要でない値)」、「現時点では無視される値」、つまり「 t 」と「 f 」を (最終的に) 除外しない第 3 のカテゴリです (335 ページ)。

さらに読む

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ベッティ・アリアナ（2002）「ウカシェヴィチと二価性の不完全な物語」、T. チルダーズ（編）『ロジカ2002年年鑑』、プラハ：チェコ科学アカデミー—哲学、pp. 21–26
Jean-Yves Béziau (2003)「二価性、排中律、無矛盾性」、The Logica Yearbook 2003、L.Behounek (編)、科学アカデミー、プラハ、pp. 73-84。
フォント、JM (2009)。「真実の度合いを真剣に考える」。Studia Logica。91 ( 3 ): 383–406。doi : 10.1007 /s11225-009-9180-7。S2CID 12721181 。

外部リンク

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[10] より曖昧な「The」ではなく、(極めて)定冠詞「This」が使われていることに注意。「The」が使われる場合、それを決定的なものにするためには指差し動作を伴わなければならない。Ff Principia Mathematica (第 2 版)、p. 91。ラッセルとホワイトヘッドは、この「this」は「感覚的に与えられたもの」を示しており、したがって「基本的」であると考えられると述べている。

[11] Stephen C. Kleene 1952 Introduction to Metamathematics、第6版1971年再版、North-Holland Publishing Company、アムステルダム、NY、ISBN 0-7294-2130-9。

[12] 「強い表」はクリーネの言葉の選択です。Q または R の値に「 u 」が現れる場合でも、「 QVR 」、「 Q & R 」、および「 Q → R 」の値として「 t 」または「 f 」が現れることに注意してください。一方、「弱い表」は「規則的」であり、値「 u 」が Q または R のいずれか、または両方に適用された場合に常に「 u 」が現れることを意味します。クリーネは、これらの表が Łukasiewicz 1920 の表の元の値と同じではないことに注意します。(クリーネはこれらの違いを 335 ページで示しています)。彼はまた、「 u 」が以下のいずれかまたはすべてを意味する可能性があると結論付けています:「未定義」、「不明 (または重要でない値)」、「現時点では無視される値」、つまり「 t 」と「 f 」を (最終的に) 除外しない第 3 のカテゴリです (335 ページ)。