マクスウェル・ブロッホ方程式

マクスウェル・ブロッホ方程式は、光ブロッホ方程式とも呼ばれ、 ^[1]光共振器の電磁モードと相互作用する2状態量子システムのダイナミクスを記述します。これらは、電磁場における核磁気モーメントの運動を記述するブロッホ方程式に類似していますが、まったく同じではありません。方程式は、半古典的に導くことも、特定の近似を行うことで場を完全に量子化して導くこともできます。

半古典的光学ブロッホ方程式の導出は、2 状態量子システムを解くこととほぼ同じです(その議論を参照)。ただし、通常はこれらの方程式を密度行列形式に変換します。ここで扱うシステムは、波動関数で記述できます。

${\displaystyle \psi =c_{g}\psi _{g}+c_{e}\psi _{e}}$

${\displaystyle \left|c_{g}\right|^{2}+\left|c_{e}\right|^{2}=1}$

密度行列は

${\displaystyle \rho ={\begin{bmatrix}\rho _{ee}&\rho _{eg}\\\rho _{ge}&\rho _{gg}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{e}c_{e}^{*}&c_{e}c_{g}^{*}\\c_{g}c_{e}^{*}&c_{g}c_{g}^{*}\end{bmatrix}}}$

（他の慣例も可能であり、これはMetcalf（1999）の導出に従う）。^[2]これでハイゼンベルクの運動方程式を解くか、シュレーディンガー方程式を解いた結果を密度行列形式に変換することができる。自然放出を含む次の方程式が得られる。

${\displaystyle {\frac {d\rho _{gg}}{dt}}=\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg}-\Omega {\bar {\rho }}_{ge})}$

${\displaystyle {\frac {d\rho _{ee}}{dt}}=-\gamma \rho _{ee}+{\frac {i}{2}}(\Omega {\bar {\rho }}_{ge}-\Omega ^{*}{\bar {\rho }}_{eg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{ge}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\delta \right){\bar {\rho }}_{ge}+{\frac {i}{2}}\Omega ^{*}(\rho _{ee}-\rho _{gg})}$

${\displaystyle {\frac {d{\bar {\rho }}_{eg}}{dt}}=-\left({\frac {\gamma }{2}}-i\delta \right){\bar {\rho }}_{eg}+{\frac {i}{2}}\Omega (\rho _{gg}-\rho _{ee})}$

これらの式の導出では、および を定義します。また、自然放出は減衰定数 を持つ係数の指数関数的減衰によって記述されると明示的に仮定しました。はラビ周波数であり、これは ${\displaystyle {\bar {\rho}}_{ge}\equiv \rho _{ge}e^{-i\delta t}}$${\displaystyle {\bar {\rho }}_{eg}\equiv \rho _{eg}e^{i\delta t}}$${\displaystyle \rho _{eg}(t)}$${\displaystyle {\frac {\gamma }{2}}}$${\displaystyle \オメガ}$

${\displaystyle \Omega ={\vec {d_{g,e}}}\cdot {\vec {E_{0}}}/\hbar }$、

は離調であり、光周波数 が遷移 からどれだけ離れているかを表します。ここで、は遷移の遷移双極子モーメントであり、 は分極を含むベクトル電場振幅です( の意味で)。 ${\displaystyle \delta =\omega -\omega _{0}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega _{0}}$${\displaystyle {\vec {d}}_{g,e}}$${\displaystyle g\rightarrow e}$${\displaystyle {\vec {E}}_{0}={\hat {\epsilon }}E_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {E}}={\frac {\vec {E_{0}}}{2}}e^{-i\omega t}+cc}$

コヒーレント駆動によるジェインズ・カミングス・ハミルトニアンから始める

${\displaystyle H=\omega _{c}a^{\dagger }a+\omega _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }e^{-i\omega _{l}t}-ae^{i\omega _{l}t})}$

ここで、はキャビティ場に対する下降演算子であり、はパウリ行列の組み合わせとして書かれた原子下降演算子である。時間依存性は、波動関数をに従って変換することで除去することができ、変換されたハミルトニアンが得られる 。${\displaystyle a}$${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{x}-i\sigma _{y}\right)}$${\displaystyle |\psi \rangle \rightarrow \operatorname {e} ^{-i\omega _{l}t\left(a^{\dagger }a+\sigma ^{\dagger }\sigma \right)}|\psi \rangle }$

${\displaystyle H=\Delta _{c}a^{\dagger }a+\Delta _{a}\sigma ^{\dagger }\sigma +ig(a^{\dagger }\sigma -a\sigma ^{\dagger })+iJ(a^{\dagger }-a)}$

ここで である。現在のところ、ハミルトニアンには 4 つの項がある。最初の 2 つは原子 (または他の 2 レベル システム) の自己エネルギーとフィールドである。3 番目の項はエネルギー保存相互作用項であり、キャビティと原子がポピュレーションとコヒーレンスを交換できるようにする。これらの 3 つの項だけで、ドレス状態の Jaynes-Cummings ラダーと、エネルギー スペクトルの関連する非調和性が生じる。最後の項は、キャビティ モードと古典的なフィールド (つまりレーザー) 間の結合をモデル化する。駆動強度は、空の 2 面キャビティを介して伝送される電力で として与えられる (ここではキャビティの線幅)。これにより、レーザーまたは他のCQEDデバイスの動作における散逸の役割に関する重要な点が明らかになる。散逸とは、システム (結合した原子/キャビティ) がその環境と相互作用する手段である。この目的のために、散逸は、問題をマスター方程式で表すことによって組み込まれる。ここで、最後の 2 つの項は​​Lindblad 形式である。${\displaystyle \Delta _{i}=\omega _{i}-\omega _{l}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle J={\sqrt {2P(\Delta _{c}^{2}+\kappa ^{2})/(\omega _{c}\kappa )}}}$${\displaystyle 2\kappa }$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[H,\rho ]+2\kappa \left(a\rho a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(a^{\dagger }a\rho +\rho a^{\dagger }a\right)\right)+2\gamma \left(\sigma \rho \sigma ^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{\dagger }\sigma \rho +\rho \sigma ^{\dagger }\sigma \right)\right)}$

演算子の期待値の運動方程式は、マスター方程式から式 および によって導出 できます。、... ${\displaystyle \langle O\rangle =\operatorname {tr} \left(O\rho \right)}$${\displaystyle \langle {\dot {O}}\rangle =\operatorname {tr} \left(O{\dot {\rho }}\right)}$${\displaystyle \langle a\rangle }$${\displaystyle \langle \sigma \rangle }$${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle a\rangle =i\left(-\Delta _{c}\langle a\rangle -ig\langle \sigma \rangle -iJ\right)-\kappa \langle a\rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma \rangle =i\left(-\Delta _{a}\langle \sigma \rangle -ig\langle a\sigma _{z}\rangle \right)-\gamma \langle \sigma \rangle }$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \sigma _{z}\rangle =-2g\left(\langle a^{\dagger }\sigma \rangle +\langle a\sigma ^{\dagger }\rangle \right)-2\gamma \langle \sigma _{z}\rangle -2\gamma }$

この時点で、無限に続く連立方程式のうち 3 つができました。3 番目の方程式からわかるように、高次の相関が必要です。 の時間発展の微分方程式には、演算子の高次の積の期待値が含まれるため、連立方程式の無限セットになります。演算子の積の期待値は、個々の演算子の期待値の積に等しいという近似を経験的に行います。これは、演算子が相関していないと仮定することと似ており、古典的限界では良好な近似です。結果として得られる方程式は、単一励起領域でも正しい定性的な動作を与えることがわかります。さらに、方程式を簡略化するために、次の置き換えを行います。 ${\displaystyle \langle a^{\dagger }\sigma \rangle }$

${\displaystyle \langle a\rangle =(\gamma /{\sqrt {2}}g)x}$

${\displaystyle \langle \sigma \rangle =-p/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \langle \sigma _{z}\rangle =-D}$

${\displaystyle \Theta =\Delta _{c}/\kappa }$

${\displaystyle C=g^{2}/2\kappa \gamma }$

${\displaystyle y={\sqrt {2}}gJ/\kappa \gamma }$

${\displaystyle \Delta =\Delta _{a}/\gamma }$

そしてマクスウェル・ブロッホ方程式は最終的な形で次のように表すことができる。

${\displaystyle {\dot {x}}=\kappa \left(-2Cp+y-(i\Theta +1)x\right)}$

${\displaystyle {\dot {p}}=\gamma \left(-(1+i\Delta )p+xD\right)}$

${\displaystyle {\dot {D}}=\gamma \left(2(1-D)-(x^{*}p+xp^{*})\right)}$

双極子近似と回転波近似では、レーザー場と相互作用するときの原子密度行列のダイナミクスは光ブロッホ方程式によって記述され、その効果は2つの部分に分けることができます：^[3]光双極子力と散乱力^{[4] 。}

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