CIE 1931色空間

人間の正常な色覚は三色型であり、これは3種類の錐体細胞（L、M、S）によって実現されています。各錐体細胞には、スペクトル感度が異なるわずかに異なるフォトプシンが含まれています。スペクトル感度は、ピーク波長によって要約され、ピーク波長は長波長（「L」、560  nm）、中（「M」、530  nm）、短い（「S」、420  nm）波長は、それぞれ赤、緑、青の錐体と略されることもあります。これら3つの錐体の異なる励起レベルは、三刺激値（「L」、「M」、「S」と表記）を構成し、人間の色覚を定量化するために考案された多くの色空間の1つである3次元「LMS色空間」を定義するパラメータです。原理的には、人間のあらゆる色覚は、一連の三刺激値によって記述できます。光の連続スペクトルパワー分布${\displaystyle S(\lambda )}$離散的な三刺激値に変換されます（この場合）${\displaystyle L}$、${\displaystyle M}$＆${\displaystyle S}$）錐体細胞の1つのスペクトル感度を積分することによって（$\displaystyle {\overline {L}}(\lambda )}$、$\displaystyle {\overline {M}}(\lambda )}$、 または$\displaystyle {\overline {S}}(\lambda )}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {L}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]M&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {M}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]S&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {S}}(\lambda )\,d\lambda .\end{aligned}}}$

これらはすべて内積であり、無限次元スペクトルを三次元色に投影したものと考えることができます。この LMS カラー モデルは、標準観測者に従ってスペクトル感度「原色」が定義されると、 LMS カラー スペースに洗練されます。LMS カラー スペースは、RGB、XYZ、HSV などの同様の三次元カラー スペースや、それらの類似物にさらに変換できます。カラー スペースに関連付けられた三刺激値は、三色加法混色モデルにおける3 つの原色の量として概念化できます。LMS スペースや XYZ スペースを含む一部のカラー スペースでは、使用される原色は、光のスペクトルパワー分布では生成できないという意味で、実際の色ではありません。

連続光スペクトルを三刺激値に変換（投影）する際に多くの情報が失われるため、同じ三刺激値を刺激できるスペクトルは異質なものとなる。これらの異質なスペクトルはメタマーと呼ばれる。例えば、単色光570  nm (黄色) の光はメタメリックであり、2 つの単色部分からなる二色光スペクトルを持つ。535  nm（緑色）光と1パートの単色光700  nm (赤色) の光 (輝度を考慮)。1853 年、ヘルマン・グラスマンは、色の混合を代数的に記述することを目的としたグラスマンの法則^{[ 5 ]}を開発しました。これらの法則は、 1850 年代にヘルマン・フォン・ヘルムホルツ(三色説を普及させたことで知られる) とジェームズ・クラーク・マクスウェルが行った色の実験、そして後に CIE 1931 色空間を開発するために使用された実験に必要な理論的枠組みを築きました。^{[ 6 ]}これらの法則は、次の 3 つの原理に要約できます。

• 加法性：2つのメタマー（aとb）に3番目の光（z）を等しく加えると、結果はメタマーになります（つまり、a = b の場合、a + z = b + z となります）。
• 比例性： 2 つのメタマーの輝度を定数 (m) で等しく増減すると、結果はメタマーになります (つまり、a = b の場合、a*m = b*m となります)。
• 推移性：2つのメタマーのうち1つが3つ目の色とメタマー関係にある場合、すべての色がメタマー関係にある（つまり、a = b かつ b = c であれば、a = c となる）。

これらの法則は、人間の色覚が直線的であるという前提に基づいているが、それはおおよそ正しい。

これらの実験は、典型的な人間の色覚反応（色知覚）を定量化し、それを標準（測色）観察者として定義することを目的としていました。標準観察者は、CIE 1931色空間のいずれかにおける3つの色マッチング関数によって定義されます。実験の設計上、標準観察者には以下の制約があります。

• 眼球内の錐体細胞の分布により、三刺激値は観察者の視野に依存します。標準観察者は、網膜中心窩内の2°の弧を囲む刺激に限定されていました。この角度は、色覚錐体細胞が中心窩から2°の弧内に存在するという考えに基づいて選択されました。この元の観察者は、後に10°の刺激を使用する（あまり一般的ではない）代替案（10°標準観察者と呼ばれる）とは対照的に、しばしば2°標準観察者と呼ばれます。10 °標準観察者については後述します。
• これは、中間薄明視から明所視までの明るさの範囲に適用できます。^{[ 6 ]}
• これは加法混色にのみ適用され、減法混色には適用されません。

ライト・ギルドの色合わせ実験は、円形のカラースクリーンを等しい半円に分割した二分割フィールドを用いて行われた。スクリーンは、被験者（観察者）の視野の2°を直径が占めるように、被験者から一定の距離に配置された。スクリーンの片側にはテスト（目標）カラーが投影され、もう片側には観察者が調整可能なカラーが投影された。調整可能なカラーは、それぞれ明るさを調整できる3つの単色原色を混合したものであった。被験者は、3つの原色の明るさをそれぞれ調整し、左右の半円がメタメリックに見えるようにした。

テストカラーが波長λの単色で、3つの原色を相対強度で組み合わせることで再現できる場合$\displaystyle {\bar {r}}(\lambda )}$、$\displaystyle {\bar {g}}(\lambda )}$、 そして$\displaystyle {\bar {b}}(\lambda )}$それぞれ、これらの値をさまざまなλで表にまとめると、波長の3つの関数が推定されます。これらはRGBカラーマッチング関数です。任意のスペクトル分布は、さまざまな強度の多数の単色光源の組み合わせとして考えることができ、(グラスマンの法則により)そのスペクトル分布でカラーマッチング関数を積分すると、それに一致させるために必要な3つの原色の強度が得られます。問題は、3つの原色は、その色域内にある色しか生成できないことです。色域とは、原色によって形成される色空間の三角形であり、3つの原色以外では単色軌跡や紫の線に接することはありません。言い換えれば、3つの原色の組み合わせで一致させることができる単色ターゲットは、3つの原色自体の波長以外では存在しません。単色ターゲットに一致させるには、原色の1つが負の明るさを持つ必要があります。これは物理的には不可能ですが、（グラスマンの法則に依拠して）調整フィールドから負の主光値を引くのではなく、ターゲットフィールドに負の主光値を加えることで近似的に実現でき、負の主光値でマッチングを行うことができます。 

青色と緑色の原色の間の波長では、ターゲットに赤色の原色を追加する必要があり、その結果、負の値になります。$\displaystyle {\bar {r}}(\lambda )}$同様に、緑と赤の原色の間には、目標値にいくらかの青を加える必要があり、その結果、負の値になります。$\displaystyle {\bar {b}}(\lambda )}$青色の原色の波長より短い波長、または赤色の原色の波長より長い波長には、緑色を追加する必要があります。$\displaystyle {\bar {g}}(\lambda )}$負の値になります。原色で定義される色を除くすべてのスペクトル色に対して、常に 2 つの正の色合わせ関数と 1 つの負の色合わせ関数が存在します (原色がすべて単色である限り)。右の色度図からわかるように、三角形の CIE RGB 色域の境界のずれは、青と緑の原色の間を除いて、 xy色度図のスペクトル軌跡とよく一致しています。青と緑の原色の間では、テストフィールドにかなり多くの赤の原色を追加する必要があり、この帯域で赤の色合わせ関数が最も大きな負の値になります。

CIE RGB色空間は、それぞれ固有の原色セットによって区別される数多くのRGB色空間の一つです。ライトとギルドの実験は、さまざまな原色をさまざまな強度で使用し、また複数の異なる観察者を用いて行われましたが、彼らの結果はすべて標準化されたCIE RGB色マッチング関数によってまとめられました。$\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$、$\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$、 そして$\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$これは、 700 nm（赤）、546.1 nm（緑）、435.8 nm （青）の標準化された波長の3つの単色原光を使用して得られたものです。波長546.1 nmと435.8 nmの原光は、水銀蒸気放電の再現しやすい単色線であるため選択されました。 1931年当時は単色ビームとして再現するのが困難だった700 nmの波長は、この波長では人間の目の色の知覚がほとんど変化しないため、この原光の波長のわずかな誤差が結果にほとんど影響しないという理由で選択されました。（正規化されていない）色合わせ関数は、単色目標色に合わせるために必要な原光の量です。これらの関数は右側のグラフに示されています。$\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$そして$\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$435.8 nmではゼロです。$\displaystyle {\overline {r}}(\lambda )}$そして$\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$546.1 nmではゼロであり、$\displaystyle {\overline {g}}(\lambda )}$そして$\displaystyle {\overline {b}}(\lambda )}$これらの場合、テストカラーはゼロ以外の原色と完全に一致するため、700 nmではゼロになります。

色合わせ関数と原色は、CIE特別委員会が相当な審議を経て決定しました。^{[ 7 ]}図の短波長側と長波長側のカットオフは、ある程度恣意的に選択されています。人間の目は実際には約810 nmまでの波長の光を見ることができますが、緑色の光に対する感度よりも数千倍低い感度です。これらの色合わせ関数は、「1931 CIE標準観測者」として知られるものを定義します。各原色の明るさを指定する代わりに、曲線は、その下の面積が一定になるように正規化されています。この面積は、次のように指定することで特定の値に固定されます。

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda =\int _{0}^{\infty }{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda .}$

得られた正規化された色合わせ関数は、光源の輝度については 1:4.5907:0.0601、光源の放射輝度については 72.0962:1.3791:1の r:g:b 比でスケーリングされ、真の色合わせ関数が再現されます。CIE は、原色を標準化することを提案することで、客観的な色表記の国際システムを確立しました。

これらのスケーリングされた色マッチング関数を考慮すると、スペクトルパワー分布を持つ色のRGB三刺激値は${\displaystyle S(\lambda )}$すると、次のように与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}R&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {r}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]G&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {g}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]B&=\int _{0}^{\infty }S(\lambda )\,{\overline {b}}(\lambda )\,d\lambda .\end{aligned}}}$

これらはすべて内積であり、無限次元スペクトルを三次元の色に投影したものと考えることができます。

CIE RGBマッチング関数を用いて人間の視覚のRGBモデルを定義した後、CIE特別委員会はCIE RGB色空間から別の色空間を導出することを希望した。グラスマンの法則が成り立つと仮定し、新しい色空間は線形変換によってCIE RGB色空間と関連付けられるとされた。新しい色空間は3つの新しい色マッチング関数によって定義される。 $\displaystyle {\overline {x}}(\lambda )}$、$\displaystyle \overline y(\lambda )$、 そして${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$次のような望ましい特性を持つものとして選ばれるだろう。

1. 新しい色合わせ関数は、常に0以上となるように定められていた。1931年当時、計算は手計算または計算尺で行われており、正の値を指定することは計算を簡略化する上で有効な手段であった。
2. の$\displaystyle \overline y(\lambda )$色合わせ関数は、「CIE標準明所視者​​」の明所視感度関数V ( λ )と完全に等しくなります。 ^{[ 8 ]}輝度関数は、波長による知覚される明るさの変化を表します。輝度関数がRGB色合わせ関数の線形結合で構築できるという事実は、決して保証されたものではありませんでしたが、人間の視覚のほぼ線形性により、ほぼ真であると予想されました。繰り返しますが、この要件の主な理由は計算の簡略化でした。
3. 一定エネルギー白色点の場合、 x = y = z = 1/3である必要がありました。
4. 色度の定義と、 xとyが正の値であるという要件から、すべての色域は三角形[1, 0]、[0, 0]、[0, 1]内に収まることがわかります。色域はこの領域をほぼ完全に満たすことが求められました。
5. 発見されたのは${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$色合わせ関数は、実験誤差の範囲内に収まる限り、 650 nm以上の波長ではゼロに設定できる。計算を簡略化するため、そのように規定した。

派生した CIE XYZ 色空間は、一般的な人間が知覚できるすべての色感覚を包含します。基となる色マッチング関数は、CIE 三刺激値X、Y、Zを生成する 3 つの線形光検出器のスペクトル感度曲線と考えることができます。これら 3 つの関数はまとめて CIE 標準観測者を記述します。^{[ 9 ]}そのため、CIE XYZ 三刺激値は、デバイスに依存しない色の表現です。^{[ 10 ]}これは、他の多くの色空間が定義される標準参照として機能します。LMS色空間のスペクトル感度曲線のような一連の色マッチング関数は、非負の感度に限定されず、物理的に生成された光スペクトルを特定の三刺激値に関連付けます。

ほとんどの波長は、3種類の錐体細胞の分光感度曲線が重なり合うため、2種類または3種類すべての錐体細胞を刺激します。そのため、特定の三刺激値は物理的に不可能です。例えば、M成分がゼロ以外で、L成分とS成分の両方がゼロであるLMS三刺激値などです。さらに、純粋なスペクトル色は、通常の三原色加法色空間（例えばRGB色空間）では、色度が原色によって定義される色の三角形の外側にあるため、少なくとも3つの原色のうちの1つが負の値になります。これらの負のRGB値を回避し、知覚される明るさを表す1つの成分を持つために、「仮想」原色とそれに対応する色合わせ関数が考案されました。CIE 1931色空間では、結果として得られる三刺激値が定義され、それらは「X」、「Y」、「Z」で表されます。^{[ 11 ]} XYZ空間では、非負の座標のすべての組み合わせが意味を持ちますが、主要な位置[1, 0, 0]、[0, 1, 0]、[0, 0, 1]など、多くの組み合わせは、可能なLMS座標の空間外の仮想色に対応します。仮想色は波長のスペクトル分布に対応しないため、物理的な実体はありません。

X、Y、Zの意味

CIE 1931モデルでは、Yは輝度、Zは （CIE RGBの）青色とほぼ等しく、Xは非負となるように選択された3つのCIE RGB曲線の混合です。Yを輝度として設定すると、任意のY値に対して、XZ平面にはその輝度におけるすべての可能な色度が含まれるという有用な結果が得られます。

三刺激値X、Y、Zの単位は、カラーディスプレイがサポートする最も明るい白色がY =1またはY =100となるように、しばしば任意に選択されます。この場合、Y値は相対輝度と呼ばれます。XとZに対応する白色点値は、標準光源を使用して推測できます。

XYZ値は1950年代の錐体細胞の特性評価（ラグナル・グラニットによる）よりもずっと前に定義されているため^{[ 12 ]} 、これらの値の生理学的意味ははるか後になって初めて知られるようになった。1980年代のハント・ポインター・エステベス行列はXYZとLMSの関係を示している^{[ 13 ]} 。これを反転すると、3つの錐体応答がどのようにXYZ関数に加算されるかがわかる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.91020&-1.11212&0.20191\\0.37095&0.62905&0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}L\\M\\S\end{bmatrix}}_{\rm {HPE}}}$

つまり、Z値はS錐体細胞の反応のみで構成され、Y値はL錐体細胞とM錐体細胞の反応の混合であり、X値はこれら3つの反応の混合である。この事実から、XYZ値は人間の目のLMS錐体細胞の反応に類似しているが、異なる性質を持つと言える。

幾何学的に言えば、新しい色空間を選択することは、rg色度空間で新しい三角形を選択することに相当します。右上の図では、rg色度座標が 2 つの軸上に黒で示されており、1931 年の標準観測者の色域も示されています。赤で示されているのは、上記の要件によって決定された CIE xy色度軸です。XYZ 座標が非負であるという要件は、C _r、C _g、C _bによって形成される三角形が標準観測者の色域全体を包含しなければならないことを意味します。C _rと C _bを結ぶ線は、${\displaystyle {\overline {y}}(\lambda )}$関数は輝度関数と等しくなります。この線は輝度がゼロの線であり、アリクネと呼ばれます。${\displaystyle {\overline {z}}(\lambda )}$関数が650 nm以上でゼロになるということは、C _gと C _rを結ぶ線がK _rの領域で色域に接していなければならないことを意味します。これにより、点 C _rの位置が定義されます。等エネルギー点がx = y = 1/3で定義されるという要件は、 C _bと C _gを結ぶ線に制約を課し、最後に、色域が空間を満たすという要件は、この線が緑色領域で色域に非常に近いという 2 番目の制約を課し、これにより C _gと C _bの位置が規定されます。上記の変換は、CIE RGB 空間から XYZ 空間への線形変換です。CIE 特別委員会によって決定された標準化された変換は次のとおりです。

CIE RGB空間は、通常の方法で色度を定義するために使用できます。色度座標はr、g、bで、次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\frac {R}{R+G+B}},\\[5mu]g&={\frac {G}{R+G+B}},\\[5mu]b&={\frac {B}{R+G+B}}.\end{aligned}}}$

以下の変換マトリックスの数値は正確であり、桁数はCIE規格で指定されています。^{[ 7 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}\\[10mu]&={\begin{bmatrix}0.490\,00&0.310\,00&0.200\,00\\0.176\,97&0.812\,40&0.010\,63\\0.000\,00&0.010\,00&0.990\,00\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

上記の行列は等エネルギー刺激に対してバランスが取れており、RGB座標とXYZ座標の両方で座標(1,1,1)を持っています。

上記の行列は規格で厳密に規定されていますが、逆行列は規定されていません。これは、往復の丸め誤差を減らすために、機械精度で近似できるようにするためです。その値は、有理数を用いて正確に計算できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}={\frac {1}{3400850}}{\begin{bmatrix}8041697&-3049000&-1591847\\-1752003&4851000&301853\\17697&-49000&3432153\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}}$

それぞれの近似値は以下のとおりです。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}R\\G\\B\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.364\,61385&-0.896\,54057&-0.468\,07328\\-0.515\,16621&1.426\,4081&0.088\,7581\\0.005\,2037&-0.014\,40816&1.009\,20446\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}}$

XYZ原色はXYZ空間で[1,0,0]、[0,1,0]、[0,0,1]のXYZ座標を持つため、上記の逆行列の列はRGB空間におけるXYZ原色（Cr、Cg、Cb）を指定します。各列をその合計で割ると、RGB空間におけるXYZ原色の座標が得られ、次のようになります。

Cr = {1.27496, -0.27777, 0.00280576}

Cg = {-1.7393, 2.76726, -0.0279521}

Cb = {-0.743104, 0.140911, 1.60219}

XYZ原色のr座標とg座標は、上記のrg色度空間図に示されています。

XYZ 色マッチング関数の積分は、上記の要件 3 によりすべて等しくなければならず、これは上記の要件 2 により明所視感度効率関数の積分によって設定されます。表に示された感度曲線には、ある程度の恣意性があります。個々のX、Y、Z感度曲線の形状は、妥当な精度で測定できます。しかし、全体の輝度曲線 (実際にはこれら 3 つの曲線の加重和です) は、たとえ完全に異なる色であっても、2 つの光源の明るさが同じかどうかを被験者に尋ねる必要があるため、主観的です。同様に、X、Y、Z曲線の相対的な大きさは任意です。さらに、振幅が 2 倍のX感度曲線を持つ有効な色空間を定義することもできます。この新しい色空間は、異なる形状になります。CIE 1931 および 1964 XYZ 色空間の感度曲線は、曲線の下の面積が等しくなるようにスケーリングされています。

3 次元の色は、明るさと彩度の2 つの部分に分けられます。たとえば、白色は明るい色ですが、灰色は同じ白色の明るさが低いバージョンと考えられています。言い換えれば、白色と灰色の彩度は同じですが、明るさが異なります。CIE xyY 色空間は、Yパラメータが色の輝度の尺度でもあるように意図的に設計されています。彩度は、3 つの正規化値X、Y、Zから導出される 2 つの^派生パラメータxとyによって指定されます。 [ ^{14 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {X}{X+Y+Z}}\\[5mu]y&={\frac {Y}{X+Y+Z}}\\[5mu]z&={\frac {Z}{X+Y+Z}}=1-x-y\end{aligned}}}$

つまり、各三刺激値パラメータX、Y、Zは、これら3つの値の合計で割られるため、結果として得られる値x、y、zはそれぞれ全体に対する割合を表し、したがってそれらの合計は1に等しくなければなりません。したがって、 xとyが分かればzの値を求めることができ、結果として、後者の2つの値だけで任意の色の彩度を記述するのに十分です。

x、y、Yによって指定される派生色空間は、CIE xyY色空間として知られており、実際に色を指定する際に広く用いられています。

XとZの三刺激値は、色度値xとyおよびYの三刺激値から逆算できます。 ^{[ 15 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {Y}{y}}x,\\[5mu]Z&={\frac {Y}{y}}(1-x-y).\end{aligned}}}$

数学的には、色度図の色は実射影平面上の領域を占める。

2 つ以上の色が加法混色される場合、結果として得られる色の x および y 色度座標 (x _mix、y _mix ) は、混合成分の色度 (x ₁、y ₁ ; x ₂、y ₂ ; ...; x _n、y _n ) およびそれらに対応する輝度 (L ₁、L ₂、...、L _n ) から次の式で計算できます。^{[ 16 ]}

${\displaystyle x_{\mathrm {mix} }={\frac {{\dfrac {x_{1}}{y_{1}}}L_{1}+{\dfrac {x_{2}}{y_{2}}}L_{2}+\dots +{\dfrac {x_{n}}{y_{n}}}L_{n}}{{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}}}\quad ,\quad y_{\mathrm {mix} }={\frac {L_{1}+L_{2}+\dots +L_{n}}{{\dfrac {L_{1}}{y_{1}}}+{\dfrac {L_{2}}{y_{2}}}+\dots +{\dfrac {L_{n}}{y_{n}}}}}}$

これらの式は、XYZ（三刺激値）の値が加算されるという事実を利用して、xおよびyの色度座標の定義から導き出すことができます。輝度値L1、L2などの代わりに_、対象_となる文脈において三刺激値Yに比例する任意の測光量（もちろんY自体も含む）を使用できます。これは、以下の混合比の計算にも適用されます。

前述のとおり、2つの色を混合すると、結果として得られる色 x _mix、 y _{mix は}、CIE xy 色度図上でそれらを結ぶ直線セグメント上に位置します。この直線セグメント上で特定の x _mix、 y _mixが得られる色 x ₁、 y ₁と x ₂、 y ₂の混合比は、次式で与えられます。

${\displaystyle {\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {y_{1}\left(x_{2}-x_{\mathrm {mix} }\right)}{y_{2}\left(x_{\mathrm {mix} }-x_{1}\right)}}={\frac {y_{1}\left(y_{2}-y_{\mathrm {mix} }\right)}{y_{2}\left(y_{\mathrm {mix} }-y_{1}\right)}}}$

ここで、L _{1は色 x 1}、 y ₁の輝度、L _{2は色 x 2}、 y ₂の輝度です。 y _{mix はx mix}によって一意に決定され、その逆も同様であるため (x ₁ = x ₂または y ₁ = y ₂でない限り)、混合比を計算するには 1 つだけで十分です。

スペクトル放射輝度L _e,Ω,λを持つ色の三刺激値は、標準観測者に関して次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\int _{\lambda }L_{\mathrm {e} ,\Omega ,\lambda }(\lambda )\,{\overline {x}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]Y&=\int _{\lambda }L_{\mathrm {e} ,\Omega ,\lambda }(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[6mu]Z&=\int _{\lambda }L_{\mathrm {e} ,\Omega ,\lambda }(\lambda )\,{\overline {z}}(\lambda )\,d\lambda .\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \lambda }$は等価単色光の波長（ナノメートル単位で測定）であり、積分の慣習的な限界は${\displaystyle \lambda \in [380,780]}$。

放射スペクトルL _{e,Ω,λが有界であれば、} X、Y、Zの値も有界となる。

反射および透過の場合、いくつかの違いはあるものの、放射の場合と非常によく似ています。スペクトル放射輝度L _e,Ω,λは、測定対象物のスペクトル反射率(または透過率) S(λ)に光源I(λ)のスペクトルパワー分布を乗じたものに置き換えられます。

${\displaystyle {\begin{aligned}X&={\frac {K}{N}}\int _{\lambda }S(\lambda )\,I(\lambda )\,{\overline {x}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[8mu]Y&={\frac {K}{N}}\int _{\lambda }S(\lambda )\,I(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda ,\\[8mu]Z&={\frac {K}{N}}\int _{\lambda }S(\lambda )\,I(\lambda )\,{\overline {z}}(\lambda )\,d\lambda ,\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle N=\int _{\lambda }I(\lambda )\,{\overline {y}}(\lambda )\,d\lambda ,}$

Kはスケーリング係数（通常は1または100）であり、${\displaystyle \lambda }$は等価単色光の波長（ナノメートル単位）であり、積分の標準限界は${\displaystyle \lambda \in [380,780]}$。

元の2°標準観察者に対する代替案が1964年に定義され、より大きな10°刺激に焦点を当てました。これはStilesとBurch ^{[ 18 ]} 、およびSperanskaya ^{[ 19 ]}の研究から派生したものです。10 °実験では、観察者は中心の2°スポットを無視するように指示されました。1964年の補助標準観察者関数は、視野が約4°を超える場合に推奨されますが、「人間の広視野色弁別は中心窩色弁別よりも約2～3倍正確である」^{[ 6 ]}ため、常にこれを使用することを好む人もいます。両方の標準観察者の色マッチング関数はCIE ^{[ 20 ]によって公開されており、CIEは2° [ 21 ]}および10° ^{[ 22 ]}標準観察者関数のデータも公開しています。データは離散化されています。1  nm波長間隔から360  nmから830  nm。

テーブル参照は、一部の計算タスクでは非現実的になる場合があります。公開されているテーブルを参照する代わりに、CIE XYZ 色マッチング関数は、次のようにガウス関数の和で近似できます。^{[ 23 ]}

g ( x )を、次のように定義される区分的ガウス関数とする。

${\displaystyle g(x;\mu ,\tau _{1},\tau _{2})={\begin{cases}\exp {\bigl (}{-\tau _{1}^{2}(x-\mu )^{2}/2}{\bigr )},&x<\mu ,\\[2mu]\exp {\bigl (}{-\tau _{2}^{2}(x-\mu )^{2}/2}{\bigr )},&x\geq \mu .\end{cases}}}$

つまり、g ( x )はx = μでピークを持つベルカーブに似ており 、広がり/標準偏差は${\displaystyle 1/\tau _{1}}$平均値の左側、およびばらつき${\displaystyle 1/\tau _{2}}$平均値の右側。波長λをナノメートル単位で測定し、1931年の色合わせ関数を近似します。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {x}}(\lambda )&=1.056\,g(\lambda ;599.8,0.0264,0.0323)+0.362\,g(\lambda ;442.0,0.0624,0.0374)\\[2mu]&\quad -0.065\,g(\lambda ;501.1,0.0490,0.0382),\\[5mu]{\overline {y}}(\lambda )&=0.821\,g(\lambda ;568.8,0.0213,0.0247)+0.286\,g(\lambda ;530.9,0.0613,0.0322),\\[5mu]{\overline {z}}(\lambda )&=1.217\,g(\lambda ;437.0,0.0845,0.0278)+0.681\,g(\lambda ;459.0,0.0385,0.0725).\end{aligned}}}$

上記の近似と測定された CIE XYZ 色マッチング関数との二乗差は、CIE 標準を作成するために使用された実験測定で発生した観察者内変動よりも小さい。また、各「ローブ」に 1 つのガウス関数を使用するなど、より少ないガウス関数を使用することも可能である。CIE 1964 は 1 つのローブ関数によく適合する。^{[ 23 ]}

CIE XYZ色マッチング関数は非負であり、すべての実色（つまり、非負の光スペクトル）に対して非負のXYZ座標をもたらします。CIE RGB空間やその他のRGB色空間などの他の観測者は、一般に非負ではない別の3つの色マッチング関数のセットによって定義され、それらの他の空間における三刺激値をもたらします。これらの値には、一部の実色に対して負の座標が含まれる場合があります。

2° CMFに対するジャッドとヴォスの補正

1931 CIE XYZ 色マッチング関数の最も深刻な問題は、明所視 Y (または${\displaystyle V(\lambda )}$スペクトルの青色端での機能。^{[ 24 ]} Judd (1951) とそれに続く Vos (1978) ^{[ 25 ]}の修正は、元の方法論から逸脱することなく、この問題を修正しようとした。^{[ 17 ]}

CIE 1964 X ₁₀ Y ₁₀ Z ₁₀

X ₁₀ Y ₁₀ Z ₁₀ (XYZ ₁₀とも表記され、以下同様) は、CIE 1964 10° オブザーバー CMF を使用して定義された XYZ スタイルの色空間です。^{[ 26 ]} 3 つの CMF は主に Stiles と Burch の RGB カラーマッチング関数から派生しており、^{[ 27 ]} Wright – Guild 関数 (およびその後の Judd – Vos 補正) とは異なり、「直接測定」されているため、1931 関数の再構成誤差から解放されています。^{[ 17 ]}

StilesとBurchは2°RGBカラーマッチング関数のセットも発表したが、それらから派生したXYZ空間はCIEによって正式に認められていない。^{[ 17 ]}

CIE 170-2 X _F Y _F Z _F

X _F Y _F Z _Fは、Stockman & Sharpe (2000) の生理学的 2° オブザーバーを使用して定義された XYZ スタイルの色空間であり、これはLMS 錐体応答関数の線形結合です。^{[ 28 ]} CMF データは、生理学的 10° データセットとともに、ユニバーシティ カレッジ ロンドンの色と視覚研究室から0.1 nm の解像度まで入手可能です 。^{[ 29 ]}

CIE 170-2 X _F,10 Y _F,10 Z _F,10

この空間は、ストックマンとシャープ（2000）の生理学的10°オブザーバーに基づいています。^{[ 28 ]}

コニカミノルタによると、古いCIE 1931 CMFはOLEDのような狭帯域発光体を含む広色域ディスプレイでメタメリズムの失敗（色が同じに見えるタイミングを予測できないこと）を示すが、2015 XYZ _F CMFは影響を受けない。^{[ 30 ]}ソニーの古いマニュアルでは、使用するディスプレイ技術に応じてホワイトポイントにオフセットを適用することで、Judd-Vos補正を使用することを推奨している。