ニールセン・サーストン分類

数学において、サーストンの分類定理はコンパクトな有向曲面の同相写像を特徴づける。 ウィリアム・サーストンの定理は、ヤコブ・ニールセン (1944) によって開始された研究を完成させるものである。

同相写像f  :  S  →  Sが与えられたとき、 fに同位な写像g が存在し、以下の少なくとも 1 つが成り立つ。

• g は周期的である、つまりgの何らかのべき乗は恒等関数である。
• g はS上の互いに交わらない単純閉曲線の有限和を保存する（この場合、g は可約と呼ばれる）；または
• g は擬似アノソフです。

Sがトーラス(つまり、種数が 1 の曲面)である場合は別途扱われ (トーラス束を参照)、サーストンの研究以前に知られていました。S の種数が 2 以上の場合、Sは自然に双曲的になり、タイヒミュラー理論のツールが役に立ちます。以下では、サーストンが検討したケースであるため、 S の種数が少なくとも 2 であると仮定します。(ただし、 S が境界を持つ場合や向き付け可能でない場合は、間違いなく依然として興味深いことに注意してください。)

この分類の 3 つのタイプは相互に排他的ではありませんが、擬似アノソフ同相写像は周期的でも簡約可能でもありません。簡約可能な同相写像gは、単純な閉曲線Γの保存された和集合に沿って曲面を切断することでさらに分析できます。結果として得られる境界を持つコンパクトな曲面のそれぞれは、 gの何らかのべき乗 (つまり、反復合成)によって作用され、この同相写像に分類を再度適用できます。

サーストンの分類は、種数 ≥ 2 の有向面の同相写像に適用されますが、同相写像の型は、マッピング類群 Mod(S)の関連要素にのみ依存します。実際、分類定理の証明により、優れた幾何学的特性を持つ各マッピング類の標準的な代表が得られます。たとえば、次のようになります。

• gが周期的である場合、そのマッピングクラスの要素はS上の双曲構造の等長変換である。
• gが擬似アノソフの場合、そのマッピング類の要素がSの横断特異葉層のペアを保存し、一方の葉 (不安定な葉層) を伸ばし、もう一方の葉 (安定した葉層) を収縮させます。

サーストンがこの分類法を開発した当初の動機は、幾何化予想によって予測されるタイプの写像トーラス上の幾何構造を見つけることであった。曲面Sの同相写像gの写像トーラスM _gは、 gを使用してS × {0} をS × {1}に接着することによってS × [0,1]から得られる3 次元多様体である。S の種数が 2 以上の場合、M _gの幾何構造は、次のように分類における gのタイプに関連付けられる。

• gが周期的であれば、M _gはH ² × R構造を持ちます。
• gが可約な場合、M _{g は}非圧縮 トーラスを持ち、これらのトーラスに沿って切断して、それぞれが幾何学的構造を持つ部分を生成する必要があります ( JSJ 分解)。
• gが擬似アノソフの場合、M _{g は}双曲型（つまりH ³ ）構造を持ちます。

最初の 2 つの場合は比較的簡単ですが、擬似アノソフ同相写像の写像トーラス上の双曲構造の存在は、深く難しい定理です (これもサーストンによる)。このようにして生じる双曲 3 次元多様体は、円 上の曲面束であるためファイバー化と呼ばれ、これらの多様体は、ハーケン多様体に対するサーストンの幾何化定理の証明で別途扱われます。ファイバー化された双曲 3 次元多様体には、興味深く病的な特性がいくつかあります。たとえば、キャノンとサーストンは、生じるクライン群の曲面部分群が球面充填曲線である極限集合を持つことを示しました。

3 種類の表面同相写像は、タイヒミュラー空間T ( S )上の写像類群 Mod( S ) のダイナミクスにも関連しています。サーストンは、閉じた球に同相で、Mod( S ) の作用が自然に拡張される T ( S )のコンパクト化を導入しました。サーストン分類における写像類群の元gのタイプは、 T ( S )のコンパクト化に作用するときのその不動点に関連しています。

• gが周期的である場合、 T ( S )内に固定点が存在する。この点は、等長変換群にgと同位体の元素が含まれるS上の双曲構造に対応する。
• gが擬アノソフの場合、g はT ( S )内に不動点を持たないが、サーストン境界上に不動点のペアを持つ。これらの不動点は、gによって保存されるSの安定な葉脈と不安定な葉脈に対応する。
• いくつかの可約写像類gでは、サーストン境界上に単一の不動点が存在します。一例として、パンツ分解 Γ に沿った多重ツイストが挙げられます。この場合、サーストン境界上のgの不動点はΓに対応します。

これは、双曲等長 変換を楕円型、放物型、双曲型（上記の周期型、可約型、擬似アノソフ型と同様の固定小数点構造を持つ）に分類することを彷彿とさせます。

• 鉄道路線図

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