テトラレーション

数学において、テトレーション（またはハイパー 4）は、反復された指数演算に基づく演算です。テトレーションには標準的な表記法はありませんが、クヌースの上矢印表記法と左指数^x bが一般的です。 ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$

繰り返し累乗法の定義によれば、 は、右から左への累乗法、つまり累乗法の適用によって、a の n 個のコピーが反復されることを意味します。nは関数の「高さ」と呼ばれ、a は累乗法に類似した「底」と呼ばれます。これは、「 aのn番目のテトレーション」と読みます。 ${\displaystyle {^{n}a}}$${\displaystyle {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}}$${\displaystyle n-1}$

これは、べき乗の次、ペンテーションの前のハイパー演算です。この単語は、ルーベン・ルイス・グッドスタインが、 tetra- (4) とiteration を組み合わせて作った造語です。

テトレーションは再帰的に次のように定義される。

${\displaystyle {a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{if }}n>0,\end{cases}}}$

実数、複素数、順序数などの非自然数にテトレーションを拡張する試みを可能にします。

テトレーションの 2 つの逆関数は、n 乗根と対数関数に類似して、超根と超対数と呼ばれます。3 つの関数はいずれも基本関数ではありません。

テトレーションは非常に大きな数の表記に使用されます。

ここでは最初の 4 つのハイパー演算が示されています。テトレーションはシリーズの 4 番目と見なされます。として定義される単項演算 連続 は、 0 番目の演算と見なされます。 ${\displaystyle a'=a+1}$

1. 1 のn個のコピーを連続して結合したものに追加します。$${\displaystyle a+n=a+\underbrace {1+1+\cdots +1} _{n}}$$
2. 加算によって結合されたaのn個のコピーの乗算。$${\displaystyle a\times n=\underbrace {a+a+\cdots +a} _{n}}$$
3. 乗算によって結合されたaのn個のコピーの累乗。$${\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\times a\times \cdots \times a} _{n}}$$
4. テトレーションaのn 個のコピーを右から左への累乗で結合します。$${\displaystyle {^{n}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} _{n}}$$

重要なのは、ネストされた指数は上から下に解釈されるということです。⁠ ⁠は${\displaystyle a^{b^{c}}}$⁠ ⁠${\displaystyle a^{\left(b^{c}\right)}}$を意味し、⁠ ⁠ ではありません。${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}.}$

継承 は最も基本的な演算です。加算 ( ) は基本的な演算ですが、自然数の加算の場合はの連続する連鎖と考えることができます。乗算 ( ) も基本的な演算ですが、自然数の場合は同様にの数を含む連鎖加算と考えることができます。累乗は の数を含む連鎖乗算、テトレーション ( ) はの数を含む連鎖累乗と考えることができます。上記の各演算は、前の演算を繰り返すことによって定義されます。^{[1]ただし、それ以前の演算とは異なり、テトレーションは}基本関数ではありません。 ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+1}$${\displaystyle a+n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\times n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle ^{n}a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$

パラメータは基数と呼ばれ、パラメータは高さと呼ばれることもあります。テトレーションの元の定義では、高さパラメータは自然数でなければなりません。たとえば、「3 を 5 倍して負の数にする」または「4 を 1/2 倍して負の数にする」というのは不合理です。ただし、加算、乗算、累乗を実数と複素数への拡張が可能な方法で定義できるのと同様に、テトレーションを負の数、実数、複素数に一般化する試みがいくつか行われてきました。その方法の 1 つは、テトレーションの再帰的定義を使用することです。任意の正の実数および負でない整数 に対して、再帰的に次のように定義できます。^[1]${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle \,\!{^{n}a}}$

${\displaystyle {^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

再帰的な定義は、自然の高さの累乗の繰り返しに相当します。ただし、この定義では、、、などの他の高さへの拡張も可能であり、これらの拡張の多くは活発に研究されている分野です。 ${\displaystyle ^{0}a}$${\displaystyle ^{-1}a}$${\displaystyle ^{i}a}$

テトレーションには多くの用語があり、それぞれに何らかの論理的な根拠がありますが、何らかの理由で一般的に使用されていない用語もあります。ここでは、各用語とその根拠および反論を比較します。

• テトレーションという用語は、グッドスタインが1947年の論文「再帰的数論における超限順序数^{」[2] （}グッドスタインの定理で使用される再帰的基底表現を一般化してより高次の演算を使用する）で導入し、広く使われるようになりました。この用語は、ルディ・ラッカーの「無限と心」でも広く知られるようになりました。
• スーパー指数化という用語は、 1987年にブロマーが論文「スーパー指数化」で発表しました。 ^[3]これは、エド・ネルソンが1986年にプリンストン大学出版局から出版した著書「述語的算術」で以前に使用されていました。
• ハイパーパワー^[4]という用語は、ハイパーとパワーの自然な組み合わせであり、テトレーションを適切に表現しています。問題は、ハイパー演算シーケンスに関するハイパーの意味にあります。ハイパー演算を考えるとき、ハイパーという用語はすべてのランクを指し、スーパーという用語はランク4、つまりテトレーションを指します。したがって、これらの考慮事項では、ハイパーパワーはテトレーションのみを指しているため、誤解を招きます。
• べき乗タワー^[5]という用語は、 の「次数nのべき乗タワー」という形で時々使用されます。べき乗は誤解されやすいため、べき乗演算は右結合であることに注意してください (以下を参照)。テトレーションは、式の右上からインスタンスa^a (この値を c と呼びます) を開始して、反復べき乗 (この右結合演算を ^ と呼びます) です。次の左方向の a (これを「次の底」b と呼びます) をべき乗するには、新しい値 b^c を取得した後、左方向に作業します。左方向に作業し、左にある次の a を底 b として使用し、新しい b^c を評価します。次に、次の下降ステップで c の新しい値を使用して、「タワーを降りて」いきます。${\displaystyle {\ \atop {\ }}{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop n}}$

共通する用語や類似の表記法があるため、テトレーションは関連のある関数や式と混同されることがよくあります。関連する用語をいくつか挙げます。

最初の 2 つの式では、 a は底辺であり、 a の出現回数が高さです ( xに 1 を加算します)。3 番目の式では、n は高さですが、底辺はそれぞれ異なります。

反復指数について言及する際には注意が必要です。この形式の表現を反復指数と呼ぶのが一般的ですが、これは反復累乗または 反復指数のいずれかを意味する可能性があるため、曖昧です。

テトレーションを表現するために使用できる表記法は多数あります。表記法の中には、他のハイパー演算の記述にも使用できるものもありますが、テトレーションに限定され、直接拡張できないものもあります。

上記の表記法の 1 つは反復指数表記法を使用しており、これは一般に次のように定義されます。

${\displaystyle \exp _{a}^{n}(x)=a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a^{x}}}}}}$n a s付き。

反復指数の表記法はそれほど多くありませんが、いくつか例を挙げます。

テトレーションの急速な成長のため、次の表のほとんどの値は科学的記数法で書くには大きすぎます。このような場合、反復指数記数法を使用して 10 進数で表します。小数点を含む値は概算値です。

注: x が10 と桁違いに異ならない場合は、すべての に対して となります。たとえば、上の表では、次の行ではその差はさらに小さくなります。 ${\displaystyle k\geq 3,~^{m}x=\exp _{10}^{k}z,~z>1~\Rightarrow ~^{m+1}x=\exp _{10}^{k+1}z'{\text{ with }}z'\approx z}$${\displaystyle z-z'<1.5\cdot 10^{-15}{\text{ for }}x=3=k,~m=4}$

テトレーションは 2 つの異なる方法で拡張できます。方程式 では、底辺aと高さn の両方を、テトレーションの定義と特性を使用して一般化できます。底辺と高さは、非負の整数を超えて、 、などの複素関数、無限nの高さを含むさまざまな領域に拡張できますが、テトレーションの特性がより制限されているため、テトレーションを拡張する能力は低下します。 ${\displaystyle ^{n}a\!}$${\displaystyle {^{n}0}}$${\displaystyle {}^{n}i}$

指数関数は一貫して定義されていない。したがって、テトレーションは前述の式では明確に定義されていない。しかし、は明確に定義されており、存在する：^[10]${\displaystyle 0^{0}}$${\displaystyle \,{^{n}0}}$${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x={\begin{cases}1,&n{\text{ even}}\\0,&n{\text{ odd}}\end{cases}}}$

したがって、 を一貫して定義できます。これは を定義することに類似しています。 ${\displaystyle {}^{n}0=\lim _{x\rightarrow 0}{}^{n}x}$${\displaystyle 0^{0}=1}$

この拡張では、となるため、元の定義の 規則は依然として有効です。${\displaystyle {}^{0}0=1}$${\displaystyle {^{0}a}=1}$

複素数は累乗できるため、テトレーションはz = a + biの形式の基数に適用できます(ここで、aとbは実数)。たとえば、z = iのⁿ zでは、自然対数の主枝を使用してテトレーションが実現されます。オイラーの公式を使用すると、次の関係が得られます。

${\displaystyle i^{a+bi}=e^{{\frac {1}{2}}{\pi i}(a+bi)}=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\left(\cos {\frac {\pi a}{2}}+i\sin {\frac {\pi a}{2}}\right)}$

これは、任意のⁿ i = a + biに対して^{n +1} i = a′ + b′iの再帰定義を示唆している。

${\displaystyle {\begin{aligned}a'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\cos {\frac {\pi a}{2}}\\[2pt]b'&=e^{-{\frac {1}{2}}{\pi b}}\sin {\frac {\pi a}{2}}\end{aligned}}}$

以下のおおよその値が導き出されます。

前のセクションと同様に、逆関係を解くと、予想どおり⁰ i = 1および⁻¹ i = 0が得られ、nの値が負の場合は虚軸上で無限大の結果が得られます。複素平面にプロットすると、シーケンス全体が極限0.4383 + 0.3606 iまで螺旋状に進みます。これは、 n が無限大である値として解釈できます。

このようなテトレーション列はオイラーの時代から研究されてきましたが、その混沌とし​​た振る舞いのために十分に理解されていません。歴史的に発表された研究のほとんどは、無限反復指数関数の収束に焦点を当ててきました。現在の研究は、フラクタルおよび記号数学ソフトウェアを備えた強力なコンピューターの出現によって大きな恩恵を受けています。テトレーションについて知られていることの多くは、複雑な力学の一般的な知識と指数マップの特定の研究から来ています。^{[引用が必要]}

テトレーションは無限の高さまで拡張できます。つまり、 における特定のaおよびn値に対して、無限のnに対して明確に定義された結果が存在します。これは、特定の間隔内の基数に対して、高さが無限大に向かうにつれて、テトレーションが有限値に収束するためです。たとえば、は 2 に収束するため、 は 2 に等しいと言えます。 2 に向かう傾向は、小さな有限の塔を評価することで確認できます。 ${\displaystyle {}^{n}a}$${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.414}}}}}&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.63}}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.76}}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{1.84}}\\&\approx {\sqrt {2}}^{1.89}\\&\approx 1.93\end{aligned}}}$

一般に、無限反復指数関数は、 n が無限大に近づくにつれて の極限として定義され、 e − e ≤ x ≤ e 1/ e 、つまりおよそ 0.066 から 1.44 の区間で収束します。これは^{、レオンハルト}・オイラーによって示さ^れた結果です。[ ^{11]この極限が存在する場合、方程式}y = x ^yの正の実数解になります。したがって、x = y ^{1/ y}です。 xの無限指数関数を定義する極限は、y ^{1/ y}の最大値がe ^{1/ e}であるため、 x > e ^{1/ e}のときには存在しません。また、 0 < x < e ^{− e の}ときにも極限は存在しません。 ${\displaystyle x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}\!\!}$${\displaystyle {}^{n}x}$

これは、次の定義により 複素数zに拡張できます。

${\displaystyle {}^{\infty }z=z^{z^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}={\frac {\mathrm {W} (-\ln {z})}{-\ln {z}}}~,}$

ここでWはランバートのW関数を表します。

極限y = ^∞ x (正の実数直線上に存在する場合、つまりe ^{− e} ≤ x ≤ e ^{1/ e}の場合) はx ^y = yを満たす必要があるため、 x ↦ y = ^∞ xはy ↦ x = y ^{1/ y}の逆関数 (の下側ブランチ) であることがわかります。

テトレーションには再帰規則を使うことができます。

${\displaystyle {^{k+1}a}=a^{\left({^{k}a}\right)},}$

証明する： ${\displaystyle {}^{-1}a}$

${\displaystyle ^{k}a=\log _{a}\left(^{k+1}a\right);}$

kに-1を代入すると

${\displaystyle {}^{-1}a=\log _{a}\left({}^{0}a\right)=\log _{a}1=0}$^[12 ]

より小さい負の値は、この方法ではうまく定義できない。同じ式で kに-2を代入すると、

${\displaystyle {}^{-2}a=\log _{a}\left({}^{-1}a\right)=\log _{a}0=-\infty }$

明確に定義されていないが、集合として考えられることもある。^[12]

については、 の任意の定義は規則と矛盾しない。 なぜなら、${\displaystyle n=1}$${\displaystyle \,\!{^{-1}1}}$

${\displaystyle {^{0}1}=1=1^{n}}$いずれの場合も。${\displaystyle \,\!n={^{-1}1}}$

現時点では、テトレーションをnの実数値または複素数値に拡張するという一般的な問題に対する、一般に受け入れられている解決策はありません。ただし、この問題に対しては複数のアプローチがあり、以下にさまざまなアプローチの概要を示します。

一般的に、問題は、任意の実数a > 0に対して、実数x > −2上の超指数関数 で、 ${\displaystyle \,f(x)={}^{x}a}$

• ${\displaystyle \,{}^{-1}a=0}$
• ${\displaystyle \,{}^{0}a=1}$
• ${\displaystyle \,{}^{x}a=a^{\left({}^{x-1}a\right)}}$すべての実数について^[13]${\displaystyle x>-1.}$

より自然な拡張を見つけるには、通常、1 つ以上の追加要件が必要です。これは通常、次のようなものの集合です。

• 連続性の要件(通常は、の両方の変数で が連続していることだけ)。${\displaystyle {}^{x}a}$${\displaystyle x>0}$
• 微分可能性の要件( xで 1 回、 2 回、 k回、または無限に微分可能)。
• 正則性要件（ xで 2 回微分可能であることを意味する）：

  ${\displaystyle \left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)>0\right)}$全ての${\displaystyle x>0}$

4 番目の要件は、著者によって、またアプローチによって異なります。テトレーションを実際の高さに拡張する主なアプローチは 2 つあります。1 つは規則性要件に基づき、もう 1 つは微分可能性要件に基づきます。これら 2 つのアプローチは非常に異なっているため、互いに矛盾した結果が生成され、調和できない可能性があります。^{[引用が必要]}

が長さ1の区間に対して定義されている場合、関数全体はすべてのx > −2に対して簡単に従います。 ${\displaystyle \,{}^{x}a}$

線形近似（連続性要件の解、微分可能性要件の近似）は次のように与えられます。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left(^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+x&-1<x\leq 0\\a^{\left(^{x-1}a\right)}&0<x\end{cases}}}$

したがって:

などです。しかし、これは区分的にしか微分可能ではありません。つまり、 xの整数値では、導関数は で乗算されます。の場合に限り、 について連続的に微分可能です。たとえば、これらの方法と${\displaystyle \ln {a}}$${\displaystyle x>-2}$${\displaystyle a=e}$${\displaystyle {}^{\frac {\pi }{2}}e\approx 5.868...}$${\displaystyle {}^{-4.3}0.5\approx 4.03335...}$

^{Hooshmandの論文[6]}の主な定理は次のように述べています。 が連続であり、条件を満たす 場合:${\displaystyle 0<a\neq 1}$${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=a^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$は(−1, 0)上で微分可能であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }}$は（−1, 0）上の非減少または非増加関数であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{+}\right)=(\ln a)f^{\prime }\left(0^{-}\right){\text{ or }}f^{\prime }\left(-1^{+}\right)=f^{\prime }\left(0^{-}\right).}$

は方程式によって一意に決定される 。${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=\exp _{a}^{[x]}\left(a^{(x)}\right)=\exp _{a}^{[x+1]}((x))\quad {\text{for all}}\;\;x>-2,}$

ここで、 はxの小数部を表し、 は関数 の-反復関数です。 ${\displaystyle (x)=x-[x]}$${\displaystyle \exp _{a}^{[x]}}$${\displaystyle [x]}$${\displaystyle \exp _{a}}$

証明は、2番目から4番目の条件が、fが[−1, 0]上の線形関数であることを自明に意味するということである。

自然テトレーション関数の線形近似は連続的に微分可能であるが、その2次導関数は引数の整数値では存在しない。フーシュマンドは、これに対して別の一意性定理を導出した。 ${\displaystyle {}^{x}e}$

が次を満たす連続関数である 場合:${\displaystyle f:(-2,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;{\text{for all}}\;\;x>-1,\;f(0)=1,}$
• ${\displaystyle f}$は(−1, 0)に凸であり、
• ${\displaystyle f^{\prime }\left(0^{-}\right)\leq f^{\prime }\left(0^{+}\right).}$

すると、 となります。[これは、自然なテトレーション関数の線形近似に対する Hooshmand の名前です。] ${\displaystyle f={\text{uxp}}}$${\displaystyle f={\text{uxp}}}$

証明は前とほぼ同じです。再帰方程式は であることを保証し、凸性条件は が(−1, 0)上で線形であることを意味します。 ${\displaystyle f^{\prime }(-1^{+})=f^{\prime }(0^{+}),}$${\displaystyle f}$

したがって、自然テトレーションの線形近似は、方程式の唯一の解であり、(−1, +∞)上で凸です。他の十分に微分可能な解はすべて、区間(−1, 0)上に変曲点を持つ必要があります。 ${\displaystyle f(x)=e^{f(x-1)}\;\;(x>-1)}$${\displaystyle f(0)=1}$

線形近似を超えて、（微分可能性の要件に対する） 二次近似は次のように与えられます。

${\displaystyle {}^{x}a\approx {\begin{cases}\log _{a}\left({}^{x+1}a\right)&x\leq -1\\1+{\frac {2\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x-{\frac {1\;-\;\ln(a)}{1\;+\;\ln(a)}}x^{2}&-1<x\leq 0\\a^{\left({}^{x-1}a\right)}&x>0\end{cases}}}$

これはすべての に対して微分可能ですが、2回微分することはできません。たとえば、は線形近似と同じです。^[1]${\displaystyle x>0}$${\displaystyle {}^{\frac {1}{2}}2\approx 1.45933...}$${\displaystyle a=e}$

この関数は計算方法により、指数とは異なり「打ち消されない」。つまり、 ${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a}$

${\displaystyle {}^{n}\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)=\underbrace {\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{\left({}^{\frac {1}{n}}a\right)}}}}}}} _{n}\neq a}$。

2次近似があるように、3次近似やn次の近似に一般化する方法も存在しますが、扱いにくいものです。^{[1] [14]}

1に近い二項近似

二項近似式の使用

${\displaystyle (1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.}$

xの値が小さい場合、指数を好きなだけネストすることができます。

${\displaystyle ^{2}(1+x)=(1+x)^{(1+x)}\approx 1+x(1+x)=1+x+x^{2}}$

${\displaystyle ^{3}(1+x)=(1+x)^{((1+x)^{(1+x)})}\approx 1+x(1+x+x^{2})=1+x+x^{2}+x^{3}}$

意味：

${\displaystyle ^{n}(1+x)\approx \sum _{k=1}^{n}x^{k}}$

この合計は、実数または複素数の任意のnに対して一般化できる。

${\displaystyle (x^{n-1}-1)/(x-1)}$

2017 年には、方程式F ( z + 1) = exp( F ( z ))の解である唯一の関数Fが存在し、 z が ± ^{i ∞ に近づくにつれて}F (0) = 1かつF ( z )が対数の不動点 (およそ0.318 ± 1.337 i )に近づくという追加条件と、z ≤ −2の実軸の部分を除く複素z平面全体でFが正則であるという条件を満たすことが証明されました。この証明は以前の予想を裏付けています。^[16]このような関数の構成は、1950 年に Kneser によって最初に実証されました。[ ^17]この関数の複素写像は右の図に示されています。この証明は、基数が より大きい限り、e以外の基数に対しても機能します。その後の研究では、すべての複素基数に構築が拡張されました。^[18]${\displaystyle e^{\frac {1}{e}}\approx 1.445}$

テトレーションが正則であるという要件は、その一意性にとって重要である。多くの関数Sは次のように構成できる。

${\displaystyle S(z)=F\!\left(~z~+\sum _{n=1}^{\infty }\sin(2\pi nz)~\alpha _{n}+\sum _{n=1}^{\infty }{\Big (}1-\cos(2\pi nz){\Big )}~\beta _{n}\right)}$

ここで、αとβは、少なくともIm  zの中程度の値では、級数の収束を提供するのに十分速く減衰する実数列です。

関数Sは、四分方程式S ( z + 1) = exp( S ( z ))、S (0) = 1 を満たし、α _nとβ _{n が}十分速く 0 に近づく場合、正の実軸の近傍で解析的になります。ただし、{ α }または{ β }の一部の要素がゼロでない場合、関数Sには、虚軸に沿った sin と cos の指数関数的増加により、複素平面に多数の追加の特異点とカットラインがあります。係数{ α }と{ β }が小さいほど、これらの特異点は実軸から遠ざかります。

したがって、複素平面へのテトレーションの拡張は一意性にとって不可欠であり、実解析的テトレーションは一意ではありません。

テトレーションは超限帰納法によって順序数に対して定義できる。すべてのαおよびすべてのβ > 0に対して: $${\displaystyle {}^{0}\alpha =1}$$ $${\displaystyle {}^{\beta }\alpha =\sup(\{\alpha ^{{}^{\gamma }\alpha }:\gamma <\beta \})\,.}$$

テトレーション（ に限定）は初等再帰関数ではない。帰納法によって、すべての初等再帰関数fに対して定数cが存在し、 ${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$

${\displaystyle f(x)\leq \underbrace {2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{x}}}}} _{c}.}$

右辺を で表します。逆に、テトレーションが基本再帰的であると仮定します。も基本再帰的です。上記の不等式により、となる定数c が存在します。 とすると、 となり、矛盾が生じます。 ${\displaystyle g(c,x)}$${\displaystyle g(x,x)+1}$${\displaystyle g(x,x)+1\leq g(c,x)}$${\displaystyle x=c}$${\displaystyle g(c,c)+1\leq g(c,c)}$

指数演算には、ルートと対数という2 つの逆演算があります。同様に、テトレーションの逆は、しばしばスーパールート、スーパー対数と呼ばれます(実際、3 以上のすべてのハイパー演算には、類似の逆があります)。たとえば、関数 では、2 つの逆は、 yの 3 乗スーパールートとxのy を底とするスーパー対数 です。 ${\displaystyle {^{3}}y=x}$

スーパールートは、基数に関するテトレーションの逆演算です。 の場合、yはx (または) のn番目のスーパールートです。 ${\displaystyle ^{n}y=x}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$

例えば、

${\displaystyle ^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=65{,}536}$

したがって、2 は 65,536 の 4 番目のスーパールートです。

2次超根、平方超根、または超平方根には、とという2つの同値な表記法があります。これは の逆であり、ランバートW関数で表すことができます。^[19]${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)}$${\displaystyle {\sqrt {x}}_{s}}$${\displaystyle ^{2}x=x^{x}}$

${\displaystyle \mathrm {ssrt} (x)=\exp(W(\ln x))={\frac {\ln x}{W(\ln x)}}}$

この関数は、以下の式が次の場合にのみ成り立つため、根関数と対数関数の反射的な性質も示しています。 ${\displaystyle y=\mathrm {ssrt} (x)}$

${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=\log _{y}x}$

平方根と同様に、 xの平方超根には単一の解がない場合があります。平方根とは異なり、xの平方超根の数を決定することは困難な場合があります。一般に、の場合、xには0 から 1 の間に 2 つの正の平方超根があります。の場合、xには1 より大きい 1 つの正の平方超根があります。 xが正で より小さい場合、実数の平方超根はありませんが、上記の式では、1 以外の有限のxに対して、無限に多くの複素平方超根が生成されます。 ^{[19]関数は、}データ クラスターのサイズを決定するために使用されています。^[20]${\displaystyle e^{-1/e}<x<1}$${\displaystyle x>1}$${\displaystyle e^{-1/e}}$

で： ${\displaystyle x=1}$

3 次超根を求めるための、より単純で高速な公式の 1 つは、再帰式です。次の式を使用できます。 ${\displaystyle y=x^{x^{x}}}$

• ${\displaystyle x_{0}=1}$
• ${\displaystyle x_{n+1}=\exp(W(W(x_{n}\ln y)))}$

各整数n > 2に対して関数ⁿ xが定義され、x ≥ 1に対して増加し、ⁿ 1 = 1であるため、x ≥ 1に対してxのn番目のスーパールート、が存在します。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

しかし、上記の線形近似を使用すると、−1 < y ≤ 0の場合、は存在できません。 ${\displaystyle ^{y}x=y+1}$${\displaystyle ^{y}{\sqrt {y+1}}_{s}}$

平方超ルートと同様に、他の超ルートの用語も通常のルートに基づいて定義できます。「立方超ルート」は と表現できます。「4 次超ルート」は と表現できます。また、「n次超ルート」は です。n^次ルートは複数存在する可能性があるため、 は一意に定義されない場合があることに注意してください。たとえば、nが奇数の場合、 xには 1 つの (実数) 超ルートがあり、 nが偶数の場合、最大 2 つの超ルートがあります。^{[引用が必要]}${\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}_{s}}$

テトレーションの無限高への拡張と同様に、スーパールートはn = ∞まで拡張でき、 1/ e ≤ x ≤ eであれば明確に定義されます。であり、したがって であることに注意してください。 したがって、 が明確に定義されている場合、および は、通常のテトレーションとは異なり、基本関数です。 たとえば、です。 ${\displaystyle x={^{\infty }y}=y^{\left[^{\infty }y\right]}=y^{x},}$${\displaystyle y=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{x}}_{s}=x^{1/x}}$${\displaystyle {\sqrt[{\infty }]{2}}_{s}=2^{1/2}={\sqrt {2}}}$

ゲルフォン・シュナイダーの定理によれば、任意の正の整数nの超根は整数か超越根のいずれかであり、は整数か無理数のいずれかである。^[21]後者の場合、無理数超根が超越数であるかどうかはまだ未解決の問題である。 ${\displaystyle {\sqrt {n}}_{s}}$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n}}_{s}}$

連続的に増加する（xに関して）テトレーションの定義^x aが選択されると、対応する超対数またはがすべての実数xおよびa > 1に対して定義されます。 ${\displaystyle \operatorname {slog} _{a}x}$${\displaystyle \log _{a}^{4}x}$

関数slog _a  x は次を満たします:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {slog} _{a}{^{x}a}&=x\\\operatorname {slog} _{a}a^{x}&=1+\operatorname {slog} _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&=1+\operatorname {slog} _{a}\log _{a}x\\\operatorname {slog} _{a}x&\geq -2\end{aligned}}}$

テトレーションの拡張に関する問題以外にも、特に整数や無理数などの数体系間の関係に関しては、テトレーションに関して未解決の問題がいくつかあります。

• の小数点以下の桁数を正確に計算できなかったため、に対してⁿ πとなる正の整数nが存在するかどうかはわかっていません。^{[22] [追加の引用が必要] のn} eについても同様で、直接計算以外の方法はわかりません。実際、であるため、となります。および が与えられている場合、 に対してとなります。Schanuelの予想が与えられると、の代数的独立性により、任意の正の整数nに対してⁿ e は整数ではないと考えられています。^[23]${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle \log _{10}(e)\cdot {}^{3}e=1656520.36764}$${\displaystyle {}^{4}e>2\cdot 10^{1656520}}$${\displaystyle {}^{3}\pi <1.35\cdot 10^{18}\ll 10^{1656520}}$${\displaystyle \pi <e^{2}}$${\displaystyle {}^{4}\pi <{}^{n}e}$${\displaystyle n\geq 5}$${\displaystyle e,{}^{2}e,{}^{3}e,\dots }$
• 任意の正の整数nと正の非整数有理数qに対してⁿ qが有理数であるかどうかは分かっていない。^{[21]例えば、方程式4} x = 2の正の根が有理数であるかどうかは分かっていない。 ^[要出典]
• ^e πまたは^π eが有理数であるかどうかは不明です。

h個の頂点を持つ各グラフHと各ε > 0に対して、定義する

${\displaystyle D=2\uparrow \uparrow 5h^{4}\log(1/\varepsilon ).}$

すると、最大でn ^h / D個のHのコピーを持つn頂点上の各グラフGは、最大でεn ^2個の辺を削除することでHフリーにすることができる。^[24]

• アッカーマン関数
• ビッグオー表記
• 二重指数関数
• ハイパーオペレーション
• 反復対数
• 対称レベルインデックス演算

• ダニエル・ガイスラー、テトレーション
• イオアニス・ガリダキス、ハイパー4 を非整数に拡張することについて(日付なし、2006 年以前) (次の参考文献のよりシンプルで読みやすいレビュー)
• Ioannis Galidakis、「hyper4 と Knuth の上矢印表記法の実数への拡張について」 (日付なし、2006 年以前)。
• Robert Munafo、ハイパー4 関数の実数への拡張 (テトレーションの実数への拡張に関する非公式な議論。)
• Lode Vandevenne、「2 の平方根のテトレーション」。(2004 年)。(テトレーションを実数に拡張する試み。)
• Ioannis Galidakis、数学、(テトレーション研究に関する参考文献の決定的なリスト。Lambert W 関数、リーマン面、解析接続に関する多くの情報。)
• Joseph MacDonell、ハイパーパワー関数のいくつかの重要なポイント、Wayback Machineに 2010-01-17 にアーカイブ。
• Dave L. Renfro、無限反復指数の Web ページ
• Knobel, R. (1981). 「指数関数の反復」アメリカ数学月刊誌. 88 (4): 235–252. doi :10.1080/00029890.1981.11995239.
• ハンス・マウラー「Über die Funktion für ganzzahliges Argument (Abundanzen)」。Mittheilungen der Mathematische Gesellschaft in Hamburg 4、(1901)、p. 33〜50。( Knobel の論文の の使用法を参照。)${\displaystyle y=x^{[x^{[x(\cdots )]}]}}$ ${\displaystyle \ {^{n}a}}$
• 第四次作戦
• ルカ・モロニ、無限のパワータワーの奇妙な性質 (https://arxiv.org/abs/1908.05559)

• Galidakis, Ioannis; Weisstein, Eric Wolfgang . 「Power Tower」. MathWorld . 2019-07-05閲覧。