プリーストリースペース

数学において、プリーストリー空間は特別な性質を持つ順序付き 位相空間である。プリーストリー空間は、それを導入し研究したヒラリー・プリーストリーにちなんで名付けられた。 ^{[1]プリーストリー空間は}分配格子の研究において基本的な役割を果たす。特に、プリーストリー空間のカテゴリと有界分配格子のカテゴリの間には双対性（「プリーストリー双対性」^[2]）がある。 ^{[3] [4]}

プリーストリー空間は、順序付き位相空間 ( X , τ ,≤) 、すなわち、半順序≤と位相τを備えた集合Xであり、次の 2 つの条件を満たします。

1. ( X , τ )はコンパクトである。
2. ならば、 Xの閉開集合U が存在し、x ∈ Uかつy ∉ Uとなる。(この条件はプリーストリーの分離公理として知られている。)${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$

• 各プリーストリー空間はハウスドルフです。実際、プリーストリー空間( X , τ ,≤)の2 点x、yが与えられたとき、x ≠ yであれば、 ≤ が半順序であるので、または です。一般性を失うことなく と仮定すると、(ii) は、 x ∈ Uかつy ∉ UとなるようなXの閉開集合U を提供します。したがって、UおよびV = X − U は、xとy を分けるXの互いに素な開部分集合です。${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$${\displaystyle \scriptstyle y\,\not \leq \,x}$${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$
• 各プリーストリー空間もゼロ次元です。つまり、プリーストリー空間( X , τ ,≤)の点xの各開近傍 Uには、 xの閉開近傍C が含まれます。これを確認するには、次のようにします。各y ∈ X − Uについて、またはです。プリーストリーの分離公理により、 xを含みy を含まない閉開アップセットまたは閉開ダウンセットが存在します。これらのxの閉開近傍の共通部分は、 X − Uと交わりません。したがって、Xはコンパクトなので、 X − Uを含まないこれらのxの閉開近傍の共通部分は有限個存在します。この有限個の共通部分が、 Uに含まれるxの目的の閉開近傍Cです。 ${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$${\displaystyle \scriptstyle y\,\not \leq \,x}$

したがって、各プリーストリー空間( X , τ ,≤)に対して、位相空間( X , τ )はストーン空間、つまりコンパクトなハウスドルフのゼロ次元空間になります。

プリーストリー空間のさらに有用な特性をいくつか以下に挙げます。

( X , τ ,≤)をプリーストリー空間と する。

(a) Xの各閉部分集合Fに対して、↑ F = { x ∈ X   :  y ≤ x for some y ∈ F }と↓ F = { x ∈ X   :  x ≤ y for some y ∈ F }はどちらもXの閉部分集合です。

(b) Xの各開アップセットはXの閉開アップセットの和集合であり、 Xの各開ダウンセットはXの閉開ダウンセットの和集合である。

(c) Xの各閉アップセットはXの閉開アップセットの共通部分であり、 Xの各閉ダウンセットはXの閉開ダウンセットの共通部分である。

(d) Xのクローオープンアップセットとクローオープンダウンセットは( X , τ )の部分基底を形成する。

(e) Xの閉部分集合FとGの各ペアに対して、↑ F ∩ ↓ G = ∅ならば、 F ⊆ UかつU ∩ G = ∅となるような閉開集合Uが存在する。

Priestley空間( X , τ ,≤)から別のPriestley空間( X ′, τ ′,≤′)へのPriestley射は、連続かつ順序を保存する写像f: X → X ′である。

Pries がPriestley 空間と Priestley 射のカテゴリを表すもの とします。

プリーストリー空間はスペクトル空間と密接な関係があります。プリーストリー空間( X , τ ,≤)について、τ ^{u は}Xのすべての開アップセットの集合を表します。同様に、τ ^{d は}Xのすべての開ダウンセットの集合を表します。

定理: ^[5] ( X , τ ,≤)がプリーストリー空間で あれば、 ( X , τu ⁾と( X , τd ⁾は両方ともスペクトル空間である。

逆に、スペクトル空間( X、τ )が与えられたとき、τ ^{# は}X上のパッチ位相、つまり( X、τ )のコンパクトな開部分集合とその補集合からなる部分基底によって生成される位相を表すものとします。また、≤ は( X、τ )の特殊化順序を表すものとします。

定理: ^[6] ( X , τ )がスペクトル空間 ならば、 ( X , τ ^# ,≤)はプリーストリー空間である。

実際、プリーストリー空間とスペクトル空間の間のこの対応は関数的であり、プリースとスペクトル空間およびスペクトル写像のカテゴリSpecの間に同型性を生み出します。

プリーストリー空間は、ビトポロジカル空間とも密接に関連しています。

定理: ^[7] ( X , τ ,≤)がプリーストリー空間で あれば、 ( X , τ ^u , τ ^d )はペアワイズストーン空間である。逆に、( X , τ ₁ , τ ₂ )がペアワイズストーン空間であれば、( X , τ ,≤)はプリーストリー空間であり、τはτ ₁とτ ₂の結合であり、≤ は( X , τ ₁ )の特殊化順序である。

プリーストリー空間と対のストーン空間の間の対応は関数的であり、プリーストリー空間とプリーストリー射のカテゴリPriesと、対のストーン空間と双連続写像のカテゴリPStoneの間に同型性が生じる。

したがって、次のようなカテゴリの同型が存在します。

${\displaystyle \mathbf {Spec} \cong \mathbf {Pries} \cong \mathbf {PStone} }$

分配束の双対性理論の主な結果の 1 つは、これらの各カテゴリが、有界分配束のカテゴリと双対的に同値であるということです。

• スペクトル空間
• ペアワイズストーン空間
• 分配格子
• 石の二重性
• 分配格子の双対性理論

• Priestley, HA (1970). 「順序付きストーン空間による分配格子の表現」Bull. London Math. Soc . 2 (2): 186–190. doi :10.1112/blms/2.2.186.
• Priestley, HA (1972). 「順序付けられた位相空間と分配格子の表現」(PDF) . Proc. London Math. Soc . 24 (3): 507–530. doi :10.1112/plms/s3-24.3.507. hdl :10338.dmlcz/134149.
• Cornish, WH (1975). 「H. Priestley の有界分配格子のカテゴリの双対について」. Mat. Vesnik . 12 (27): 329–332.
• Hochster, M. (1969). 「可換環における素イデアル構造」. Trans. Amer. Math. Soc . 142 : 43–60. doi : 10.1090/S0002-9947-1969-0251026-X .
• Bezhanishvili, G.; Bezhanishvili, N.; Gabelaia, D.; Kurz, A (2010). 「分配格子と Heyting 代数のビットトポロジカル双対性」(PDF) .コンピュータサイエンスにおける数学的構造. 20 .
• ディックマン、マックス; シュワルツ、ニールス; トレスル、マーカス (2019)。スペクトル空間。新しい数学モノグラフ。第35巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。doi :10.1017 / 9781316543870。ISBN 978-1-107-14672-3。