スクイーズドコヒーレント状態

物理学において、スクイーズドコヒーレント状態とは、通常、連続的な固有値スペクトルを持つ2つの非可換な観測量によって記述される量子状態のことである。例としては位置などが挙げられる。${\displaystyle x}$そして勢い${\displaystyle p}$粒子の、そして振幅の（無次元）電場${\displaystyle X}$（フェーズ0）そしてモードで${\displaystyle Y}$光波の位相（90°）（波の直交位相）。このような2つの演算子の標準偏差の積は不確定性原理に従う。

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}\;}$ そして ${\displaystyle \;\デルタ X\デルタ Y\geq {\frac {1}{4}}}$、 それぞれ。

実際には圧縮されていない自明な例としては、基底状態が挙げられる。${\displaystyle |0\rangle }$量子調和振動子とコヒーレント状態のファミリー${\displaystyle |\alpha \rangle }$これらの状態は上記の不確実性を飽和させ、演算子の不確実性の対称分布を持ち、$\displaystyle \Delta x_{g}=\Delta p_{g}}$「自然振動子単位」で、${\displaystyle \Delta X_{g}=\Delta Y_{g}=1/2}$[^{注1 ]}

スクイーズド状態という用語は、実際には、いずれかの演算子または2つの線形結合の基底状態の標準偏差よりも小さい標準偏差を持つ状態に対して使用されます。この背後にある考え方は、直交位相空間におけるコヒーレント状態の不確定性を表す円（右図参照）が、同じ面積の楕円に「圧縮」されているということです。 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}スクイーズド状態は不確定性原理を飽和させる必要はないことに注意してください。

光のスクイーズド状態は1980年代半ばに初めて生成された。^{[ 4 ] [ 5 ]}当時、量子ノイズの分散を約2倍（3  dB）までスクイーズすることが達成された。${\displaystyle \Delta ^{2}X\approx \Delta ^{2}X_{g}/2}$2017年現在、スクイーズファクター31（15  dB）が直接観測されている。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

上記の恒等式を満たす最も一般的な波動関数はスクイーズドコヒーレント状態である（単位系は${\displaystyle \hbar =1}$）

${\displaystyle \psi (x)=C\,\exp \left(-{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2w_{0}^{2}}}+ip_{0}x\right)}$

どこ${\displaystyle C,x_{0},w_{0},p_{0}}$は定数（正規化定数、波束の中心、その幅、およびその運動量の期待値）である。コヒーレント状態に対する新しい特徴は、幅の値が自由であることだ。${\displaystyle w_{0}}$そのため、この状態は「圧迫された」状態と呼ばれます。

上記のスクイーズド状態は線形演算子の固有状態である。

${\displaystyle {\hat {x}}+i{\hat {p}}w_{0}^{2}}$

そして対応する固有値は${\displaystyle x_{0}+ip_{0}w_{0}^{2}}$この意味では、それは基底状態とコヒーレント状態の一般化である。

量子調和振動子のスクイーズドコヒーレント状態の一般形は次のように表される。

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle ={\hat {S}}(\zeta )|\alpha \rangle ={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )|0\rangle }$

どこ${\displaystyle |0\rangle }$真空状態です。${\displaystyle D(\alpha )}$は変位演算子であり、${\displaystyle S(\zeta )}$はスクイーズ演算子であり、次式で与えられる。

$\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )=\exp(\alpha {\hat {a}}^{\dagger }-\alpha ^{*}{\hat {a}})\qquad {\text{および}}\qquad {\hat {S}}(\zeta )=\exp {\bigg [}{\frac {1}{2}}(\zeta ^{*}{\hat {a}}^{2}-\zeta {\hat {a}}^{\dagger 2}){\bigg ]}}$

どこ${\displaystyle {\hat {a}}}$そして$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$はそれぞれ消滅演算子と生成演算子である。角周波数の量子調和振動子の場合${\displaystyle \omega }$これらの演算子は次のように与えられる。

$\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x-{\frac {ip}{m\omega }}\right)\qquad {\text{および}}\qquad {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m\omega }{2\hbar }}}\left(x+{\frac {ip}{m\omega }}\right)}$

本当の${\displaystyle \zeta }$、 （ご了承ください${\displaystyle \zeta =re^{2i\theta }}$[ ^{9 ]}ここでrは圧縮パラメータである）不確実^性${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$は次のように与えられる。

${\displaystyle (\Delta x)^{2}={\frac {\hbar }{2m\omega }}\mathrm {e} ^{-2\zeta }\qquad {\text{and}}\qquad (\Delta p)^{2}={\frac {m\hbar \omega }{2}}\mathrm {e} ^{2\zeta }}$

したがって、スクイーズドコヒーレント状態はハイゼンベルクの不確定性原理を飽和させる。${\displaystyle \Delta x\Delta p={\frac {\hbar }{2}}}$一方の直交成分の不確実性は減少し、もう一方の直交成分の不確実性は増加する。

スクイーズドコヒーレント状態の期待値には以下のようなものがある。

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha \cosh(r)-\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{2}|\alpha ,\zeta \rangle =\alpha ^{2}\cosh ^{2}(r)+{\alpha ^{*}}^{2}e^{2i\theta }\sinh ^{2}(r)-(1+2{|\alpha |}^{2})e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \alpha ,\zeta |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\alpha ,\zeta \rangle =|\alpha |^{2}\cosh ^{2}(r)+(1+{|\alpha |}^{2})\sinh ^{2}(r)-({\alpha }^{2}e^{-i\theta }+{\alpha ^{*}}^{2}e^{i\theta })\cosh(r)\sinh(r)}$

量子調和振動子の変位スクイーズド状態の一般形は次のように表される。

${\displaystyle |\zeta ,\alpha \rangle ={\hat {D}}(\alpha )|\zeta \rangle ={\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )|0\rangle }$

変位スクイーズド状態の期待値は以下のとおりです。

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha }$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{2}|\zeta ,\alpha \rangle =\alpha ^{2}-e^{i\theta }\cosh(r)\sinh(r)}$

${\displaystyle \langle \zeta ,\alpha |{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}|\zeta ,\alpha \rangle =|\alpha |^{2}+\sinh ^{2}(r)}$

以来${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta )}$そして${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha )}$お互いに通勤しない、

${\displaystyle {\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\alpha )\neq {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )}$

${\displaystyle |\alpha ,\zeta \rangle \neq |\zeta ,\alpha \rangle }$

どこ${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {S}}^{\dagger }(\zeta ){\hat {D}}(\alpha ){\hat {S}}(\zeta )={\hat {S}}(\zeta ){\hat {D}}(\gamma )}$、 と${\displaystyle \gamma =\alpha \cosh r+\alpha ^{*}e^{i\theta }\sinh r}$^{[ 10 ]}

状態の幅が縮小される位相角に応じて、振幅スクイーズ状態、位相スクイーズ状態、および一般的な直交スクイーズ状態を区別できます。スクイーズ演算子をコヒーレント状態ではなく真空に直接適用すると、結果はスクイーズ真空と呼ばれます。以下の図は、スクイーズ状態とハイゼンベルクの不確定性関係の密接な関係を視覚的に分かりやすく示しています。波の特定の直交（位相）における量子ノイズの減少は、相補的な直交、つまり位相シフトされた場のノイズの増大に直接的な影響を与えます。${\displaystyle \pi /2}$。

電場の量子ノイズの測定値（最初の2つの状態については3π間隔、最後の3つの状態については4π間隔で表示）

5つの状態の振動する波束。

5つの状態のウィグナー関数。波紋は実験誤差によるものです。

真空中のレーザー光の様々なスクイーズ状態は、光場の位相に依存する。^{[ 11 ]}上から順に、(1) 真空状態、(2) スクイーズ真空状態、(3) 位相スクイーズ状態、(4) 任意スクイーズ状態、(5) 振幅スクイーズ状態

図からわかるように、コヒーレント状態とは対照的に、スクイーズド状態の量子ノイズは光波の位相に依存しなくなります。1回の振動周期中にノイズが特徴的に広がり、狭まる様子が観察されます。スクイーズド状態の確率分布は、前の段落で述べた波動関数のノルムの二乗として定義されます。これは、古典的な光波の電場（および磁場）強度の二乗に相当します。移動する波束は、分布の広がりと狭まりを伴う振動運動、つまり波束の「呼吸」を示します。振幅スクイーズド状態の場合、波束の最も狭い分布は電場の最大値で達成され、その結果、振幅はコヒーレント状態の場合よりも正確に定義されます。位相スクイーズド状態の場合、最も狭い分布は電場のゼロで達成され、その結果、平均位相値はコヒーレント状態の場合よりもよく定義されます。

位相空間において、量子力学的不確定性はウィグナー準確率分布によって表すことができる。光波の強度、すなわちそのコヒーレント励起は、ウィグナー分布の原点からの変位によって与えられる。スクイーズド直交位相の変化は、分布の回転をもたらす。

スクイージング角、すなわち量子ノイズが最小となる位相は、光波の光子数分布と位相分布の両方に大きな影響を与える。

量子統計の測定から再構成された、振幅スクイーズ状態、コヒーレント状態、および位相スクイーズ状態の実験的な光子数分布。棒グラフは理論値、ドットは実験値を示します。^{[ 12 ]}

3つの状態のペッグ・バーネット位相分布

振幅スクイーズド光の場合、光子数分布は通常、同じ振幅のコヒーレント状態の分布よりも狭くなり、サブポアソン光となるが、位相分布は広くなる。位相スクイーズド光の場合はその逆で、強度（光子数）ノイズは大きいが、位相分布は狭い。しかし、振幅スクイーズド光の統計は、実験上の困難さから、光子数分解検出器で直接観測されていない。 ^{[ 13 ]}

スクイーズド真空状態では、光子数分布は奇偶振動を示します。これは、二光子生成・消滅過程の演算子に似たスクイージング演算子の数学的形式によって説明できます。スクイーズド真空状態では、光子はペアで出現する可能性が高くなります。

2準位中性原子アンサンブルのスクイージングには、原子をスピン1/2粒子とみなし、対応する角運動量演算子を以下のように定義することが有用である。

${\displaystyle J_{v}=\sum _{i=1}^{N}j_{v}^{(i)}}$

どこ${\displaystyle v={x,y,z}}$そして${\displaystyle j_{v}^{(i)}}$は、${\displaystyle v}$方向。${\displaystyle J_{z}}$これは、2段階システムにおける人口差、すなわち上状態と下状態が等しい重ね合わせに対応する。${\displaystyle J_{z}=0}$.${\displaystyle J_{x}}$−${\displaystyle J_{y}}$平面は、2 つの状態間の位相差を表します。これはブロッホ球図としても知られています。次に、次のような不確定性関係を定義できます。${\displaystyle \Delta J_{z}\cdot \Delta J_{y}\geq \left|\Delta J_{x}\right|/2}$コヒーレント（非エンタングル）状態の場合、${\displaystyle \Delta J_{z}=\Delta J_{y}={\sqrt {N}}/2}$スクイーズとは、ここでは不確実性をある変数（通常は${\displaystyle J_{z}}$）から別の（通常）へ${\displaystyle J_{y}}$) を指す状態を考えると、${\displaystyle J_{x}}$方向、スクイーズングのワインランド基準^{[ 23 ]}、またはスクイーズ状態の計測学的強化を次のように定義できます。

${\displaystyle \chi ^{2}=\left({\frac {{\sqrt {N}}/2}{\Delta J_{z}}}{\frac {\left|J_{x}\right|}{N/2}}\right)^{2}}$。

この基準には2つの要素があり、1つ目の要素はスピンノイズ低減、つまり量子ノイズがどれだけ減少するかです。${\displaystyle J_{z}}$コヒーレント（非エンタングル）状態と比較して減少します。2 番目の要因は、コヒーレンス（ブロッホベクトルの長さ、${\displaystyle \left|J_{x}\right|}$）はスクイージング手順によって減少します。これらの量を合わせると、スクイージング手順によってどれだけの計測精度が向上するかがわかります。ここで、計測精度の向上とは、特定の不確かさの測定を行うために必要な平均化時間または原子数の減少を指します。20  dBの計測精度の向上とは、同じ精度の測定を100分の1の原子数、または100分の1の短い平均化時間で行えることを意味します。

量子位相空間 (QPS) の概念は、不確定性原理を考慮に入れることで、位相空間の概念を古典物理学から量子物理学へと拡張する。QPS の定義は、運動量座標量子状態の導入に基づいている。${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$これは、ある種のスクイーズドコヒーレント状態とみなすことができる。状態に対応する波動関数の表現${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ 座標表現では^{[ 24 ]}

${\displaystyle \varphi (x)=\langle x|\langle z\rangle \rangle ={\frac {e^{-{\frac {B}{(\hbar )^{2}}}(x-\langle x\rangle )^{2}+{\frac {i}{\hbar }}\langle p\rangle x}}{(2\pi A)^{\tfrac {1}{4}}}}}$

その中で ：

• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。
• ${\displaystyle x}$そして${\displaystyle p}$はそれぞれ座標演算子の固有値（取りうる値）である。${\displaystyle X}$そして運動量演算子${\displaystyle P}$
• ${\displaystyle \langle x\rangle }$、${\displaystyle \langle p\rangle }$、${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$はそれぞれ、量子状態に対応する座標と運動量の平均値と統計的分散である。 ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$自体

${\displaystyle {\begin{cases}\langle x\rangle =\langle \langle z\rangle |X|\langle z\rangle \rangle \\\langle p\rangle =\langle \langle z\rangle |P|\langle z\rangle \rangle \\A=\langle \langle z\rangle |(X-\langle x\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \\B=\langle \langle z\rangle |(P-\langle p\rangle )^{2}|\langle z\rangle \rangle \end{cases}}}$

州${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$ 不確定性関係を飽和させる、すなわち次の関係が得られる。

${\displaystyle {\sqrt {A}}{\sqrt {B}}={\frac {\hbar }{2}}}$

状態は${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$は演算子の固有状態である${\displaystyle Z=P-{\frac {2i}{\hbar }}BX}$対応する固有値方程式は次のとおりです。

${\displaystyle Z|\langle z\rangle \rangle =\langle z\rangle |\langle z\rangle \rangle }$

と

${\displaystyle \langle z\rangle =\langle p\rangle -{\frac {2i}{\hbar }}B\langle x\rangle }$

また、状態の多次元一般化も示されました。  ${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$これらは、多次元線形正準変換によって形成される群の作用の下で共変な波動関数に対応する基本的な量子状態である。^{[ 25 ]}

量子位相空間（QPS）は、以下の集合として定義される。${\displaystyle \{\langle z\rangle \}}$すべての可能な値のうち${\displaystyle \langle z\rangle }$または同等に集合として${\displaystyle \{(\langle p\rangle ,\langle x\rangle )\}}$ペアの可能な値のうち${\displaystyle (\langle p\rangle ,\langle x\rangle )}$運動量統計分散の特定の値に対して${\displaystyle B}$[ ^{24 ]}この定義から、量子位相空間の構造は運動量統計分散の値に明示的に依存することがわかる。この明示的な依存性によって、この定義は不確定性原理と自然に両立する。また、熱力学的平衡状態では、運動量^統計分散は${\displaystyle B}$温度、圧力、体積の形状とサイズなどの熱力学的パラメータと関連付けることができます。^{[ 26 ]}古典的な極限では、運動量と座標の統計的分散がゼロに等しいとみなされる場合（不確定性原理を無視すると）、前述の量子位相空間は古典的な位相空間に縮小されます。

より一般化されたスクイーズドコヒーレント状態があり、${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$と${\displaystyle n}$正の整数であり、QPS の概念に関連し、不確実性関係を飽和させないもの${\displaystyle n>0}$これらの状態は、状態から推論できます。${\displaystyle |\langle z\rangle \rangle }$以下の関係式^{[ 24 ]を用いて}

${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}[{\frac {-i(Z-\langle z\rangle )^{\dagger }}{2{\sqrt {B}}}}]^{n}|\langle z\rangle \rangle }$

座標と運動量の統計的分散はそれぞれ次のように表される。${\displaystyle A_{n}}$そして${\displaystyle B_{n}}$状態に対応${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$は

${\displaystyle {\begin{cases}A_{n}=\langle n,\langle z\rangle |(X-\langle x\rangle )^{2}|n,\langle z\rangle \rangle =(2n+1)A\\B_{n}=\langle n,\langle z\rangle |(P-\langle p\rangle )^{2}|n,\langle z\rangle \rangle =(2n+1)B\end{cases}}}$

すると、次の関係が得られます。

${\displaystyle {\sqrt {A_{n}}}{\sqrt {B_{n}}}=(2n+1){\frac {\hbar }{2}}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

この関係は、状態が${\displaystyle |n,\langle z\rangle \rangle }$ 不確実性関係を飽和させない${\displaystyle n>0}$前述のとおりです。

スクイーズド状態の実証にはさまざまな成功例がある。最初の実証は、レーザーと非線形光学を用いた光場の実験であった（光パラメトリック発振器を参照）。これは、4光子混合の単純なプロセスによって実現される。${\displaystyle \chi ^{(2)}}$結晶; 同様に進行波位相感応増幅器は、${\displaystyle \chi ^{(2)}}$信号がない状態で結晶が励起される。半導体レーザーダイオードを駆動するサブポアソン電流源により、振幅スクイーズド光が得られた。^{[ 27 ]}

スクイーズ状態は、トラップ内のイオンの運動状態、結晶格子内のフォノン状態、中性原子アンサンブル内のスピン状態によっても実現されています。^{[ 28 ] [ 29 ]}中性原子およびイオンのアンサンブルにおけるスピンスクイーズ状態の生成と観測には大きな進歩があり、これは時間、加速度、場の測定の強化に使用でき、現在の測定強化の最先端は20 dBです。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}スピンスクイーズ状態の生成は、コヒーレントスピン状態のコヒーレント進化と射影的コヒーレンス保存測定の両方を使用して実証されています。マクロスコピックな振動子でさえ、スクイーズされたコヒーレント状態に非常によく似た古典的な運動状態に駆動されました。スクイーズドライトを使用したレーザー放射のノイズ抑制における現在の最先端技術は、15 dB (2016 年時点) に達しており、^{[ 34 ] [ 7 ]}以前の記録である 12.7 dB (2010 年) を更新しました。^{[ 35 ]}   

光場のスクイーズド状態は、精密測定の精度向上に利用できます。例えば、位相スクイーズド光は干渉計測定の位相読み出しを改善できます（例えば重力波を参照）。振幅スクイーズド光は、非常に微弱な分光信号の読み出しを改善できます。^{[ 36 ]}

原子のスピンスクイーズ状態は、原子時計の精度を向上させるために使用できます。^{[ 37 ] [ 38 ]}これは、原子時計や、量子射影ノイズがセンサーの精度に対する根本的な制限となる、冷却原子の小さな集合体を使用する他のセンサーにおいて重要な問題です。^{[ 39 ]}

様々なスクイーズドコヒーレント状態は、自由度が多い場合に一般化され、量子場理論における様々な計算、例えばアンルー効果やホーキング放射、そして一般的には曲がった背景における粒子生成やボゴリューボフ変換などに用いられます。

近年、連続変数（CV）領域における量子情報処理のためのスクイーズド状態の利用が急速に増加している。 ^{[ 40 ]}連続変数量子光学は、量子通信、無条件量子テレポーテーション、一方向量子コンピューティングのためのCVプロトコルを実現するための重要なリソースとして光のスクイーズを利用している。^{[ 41 ] [ 42 ]}これは、量子ビットとして単一光子または光子ペアを使用する量子情報処理とは対照的である。CV量子情報処理は、スクイーズド状態の直交位相がショットノイズ以下の量子相関を示すことから、スクイーズが量子もつれと密接に関連しているという事実に大きく依存している。

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