KMS 状態

量子力学系の統計力学と量子場の理論では、熱平衡状態にある系の特性は、KMS（久保・マーティン・シュウィンガー）状態と呼ばれる数学的対象、すなわちKMS条件を満たす状態によって記述することができます。

久保良五は1957年にこの条件を導入し、^[1]ポール・C・マーティン [de]とジュリアン・シュウィンガーは1959年にこの条件を使用して熱力学的 グリーン関数 を定義し、^[2]ルドルフ・ハーグ、マリヌス・ウィンニンク、ニコ・フーゲンホルツは1967年にこの条件を使用して平衡状態を定義し、それをKMS条件と呼びました。^[3]

最も単純なケースは有限次元ヒルベルト空間の場合であり、この場合は相転移や自発的な対称性の破れなどの複雑な問題に遭遇しない。熱状態の密度行列は次のように与えられる。

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

ここでHはハミルトン 演算子、Nは粒子数演算子（またはより一般的に言えば 電荷演算子）であり、

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[\mathrm {e} ^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

は分割関数です。NはHと可換、つまり粒子数が保存されると仮定します。

ハイゼンベルク描像では、密度行列は時間とともに変化しないが、演算子は時間に依存する。特に、演算子Aをτだけ未来に平行移動させると、演算子

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{iH\tau }A\mathrm {e} ^{-iH\tau }}$。

時間変換と内部対称性の「回転」を組み合わせると、より一般的な

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {e} ^{i\left(H-\mu N\right)\tau }A\mathrm {e} ^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

少し代数的に計算してみると、期待値は

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

任意の2つの演算子AとBと任意の実数τに対して（結局は有限次元ヒルベルト空間を扱っている）。密度行列は（H − μ N）の任意の関数と可換であり、トレースは巡回的であるという事実を使用しました。

前に示唆したように、無限次元ヒルベルト空間では、相転移、自発的な対称性の破れ、トレースクラスではない演算子、発散するパーティション関数など の多くの問題に遭遇します。

zの複素関数は複素ストリップで収束しますが、H − μ Nのスペクトルが下から有界であり、その密度が指数関数的に増加しない（ハーゲドン温度を参照）などの特定の技術的仮定をすると、複素ストリップで収束します。関数が収束する場合、関数は定義されているストリップ内で、その導関数として 解析的である必要があります。${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$${\displaystyle -\beta <\Im {z}<0}$${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$${\displaystyle 0<\Im {z}<\beta }$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

そして

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

存在する。

しかし、KMS状態は、以下の条件を満たす状態であると 定義することができます。

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

およびは、その定義域ストリップ内でzの解析関数です。 ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$およびは、問題となっている解析関数の 境界分布値です。${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

これにより、適切な大容量、大容量の粒子数の熱力学的限界が得られます。相転移または自発的な対称性の破れがある場合、KMS 状態は一意ではありません。

KMS状態の密度行列は、富田-竹崎理論を介して、時間変換（または、非ゼロ化学ポテンシャルの場合は時間変換と内部対称変換）を含むユニタリー変換に関連しています。

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