ルーン（幾何学）

平面幾何学において、ルーン（ラテン語の luna 「月」に由来）は、2つの円弧 で囲まれた凹凸領域である。^[1]ルーンには、2つの近くの点を結ぶ線分が領域の外側に移動する境界部分と、2つの近くの点を結ぶ線分が完全に領域の内側にある境界部分がある。凸凹領域はレンズと呼ばれる。 [ ^2]

正式には、ルーンとは、ある円板を別の円板で相対的に補うものです(円板は交差しますが、どちらも他方の部分集合ではありません)。あるいは、と が円板である場合、 はルーンです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\smallsetminus A\cap B}$

紀元前5世紀、ヒオス島のヒポクラテスは、ヒポクラテスの月と他の2つの月が定規とコンパスで正確に平方できる（同じ面積の正方形に変換できる）ことを示した。1766年、フィンランドの数学者ダニエル・ヴィンクイストはダニエル・ベルヌーイを引用して、ヒポクラテスが知っていた月に加えて、幾何学的に平方できる5つの月をすべてリストアップした。1771年、レオンハルト・オイラーは一般的なアプローチを示し、この問題に対する一定の方程式を得た。1933年と1947年に、ニコライ・チェボタリョフとその弟子アナトリー・ドロドノフは、これら5つだけが平方できる月であることを証明した。 ^{[3] [1]}

半径aとb（b>a ）の中心間の距離cの円で形成される三角円の面積は^[3]

${\displaystyle A=2\Delta +a^{2}\sec ^{-1}\left({\frac {2ac}{b^{2}-a^{2}-c^{2}}}\right)-b^{2}\sec ^{-1}\left({\frac {2bc}{b^{2}+c^{2}-a^{2}}}\right),}$

ここで は正割関数の逆関数であり、ここで ${\displaystyle {\text{sec}}^{-1}}$

${\displaystyle \Delta ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+bc)}}}$

辺がa、b、cの三角形の面積です。

• アルベロス
• 三日月
• ガウス・ボネ定理
• レンズ

• MathPages の 5 つの正方形の月