スネルの法則

スネルの法則は、光が最短時間で進む経路を通るというフェルマーの原理から導き出すことができます。光路長の微分をとることで、光が通る経路を示す停留点が求められます。（球面鏡での反射のように、光が最短時間経路を通らず、フェルマーの原理に反する状況もあります。）古典的な例えでは、屈折率の低い領域を砂浜に、屈折率の高い領域を海に置き換え、砂浜にいる救助者が海で溺れている人に最も早くたどり着くには、スネルの法則に従う経路に沿って走るのが最速の方法となります。

右図に示すように、媒質1と媒質2の屈折率は${\displaystyle n_{1}}$そして${\displaystyle n_{2}}$それぞれ。光は点Oを経由して媒体1から媒体2に入射する。

$\displaystyle \theta _{1}}$入射角は、$\displaystyle \theta _{2}}$は、法線に対する屈折角です。

媒質1と媒質2における光の位相速度は${\displaystyle v_{1}=c/n_{1}}$そして${\displaystyle v_{2}=c/n_{2}}$それぞれ、${\displaystyle c}$は真空中における光速である。

Tを、光が点Qから点Oを経由して点Pに到達するのに必要な時間とする 。$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+(\ell -x)^{2}}}{v_{2}}}\\&={\frac {\sqrt {x^{2}+a^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {b^{2}+\ell ^{2}-2\ell x+x^{2}}}{v_{2}}}\end{aligned}}}$$ ここで、 a、b、ℓ、およびxは右図に示されているとおりであり、xは変化するパラメータである。

それを最小限に抑えるには、次のように区別すればよい。 $${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {x}{v_{1}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}}+{\frac {-(\ell -x)}{v_{2}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}}}$$ そして、それを0に設定して停留点を見つけます。

ご了承ください ${\displaystyle {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}}=\sin \theta _{1}}$

そして${\displaystyle {\frac {\ell -x}{\sqrt {(\ell -x)^{2}+b^{2}}}}=\sin \theta _{2}}$

したがって、

$${\displaystyle {\frac {dT}{dx}}={\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}-{\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\sin \theta _{1}}{v_{1}}}&={\frac {\sin \theta _{2}}{v_{2}}}\\{\frac {n_{1}\sin \theta _{1}}{c}}&={\frac {n_{2}\sin \theta _{2}}{c}}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}$$

あるいは、スネルの法則は、光源から観測者までのあらゆる経路における光波の干渉を利用して導き出すこともできる。その結果、破壊的干渉が生じる。

スネルの法則を導出するもう一つの方法は、電磁放射と誘導に関するマクスウェル方程式の一般的な境界条件を適用することである。

スネルの法則を導出するもう一つの方法は、並進対称性の考察に基づくものである。^{[ 21 ]}例えば、z方向に垂直な均質な表面は横方向の運動量を変化させることはできない。伝播ベクトルは${\displaystyle \mathbf {k} }$光子の運動量、横方向の伝播方向に比例する${\displaystyle (k_{x},k_{y},0)}$は両領域で同じでなければならない。一般性を失うことなく、入射面が${\displaystyle z,x}$飛行機${\displaystyle k_{x{\text{Region}}_{1}}=k_{x{\text{Region}}_{2}}}$波数と媒質の屈折率とのよく知られた関係を利用すると、スネルの法則がすぐに導出されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{x{\text{Region}}_{1}}&=k_{x{\text{Region}}_{2}}\\n_{1}k_{0}\sin \theta _{1}&=n_{2}k_{0}\sin \theta _{2}\\n_{1}\sin \theta _{1}&=n_{2}\sin \theta _{2}\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle k_{0}={\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}={\frac {\omega }{c}}}$は真空中の波数である。原子スケールでは真に均質な表面は存在しないが、光の波長スケールで領域が均質であれば、完全な並進対称性は優れた近似となる。

正規化された光ベクトルが与えられた場合${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}}$（光源から表面に向かう方向）および正規化された平面法線ベクトル${\displaystyle \mathbf {n} }$入射角のコサインを用いて、正規化された反射光線と屈折光線を算出することができる。${\displaystyle \theta _{1}}$屈折角${\displaystyle \theta _{2}}$正弦値や三角関数、角度を明示的に使用せずに：^{[ 22 ]}

$${\displaystyle \cos \theta _{1}=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}$$

注記：${\displaystyle \cos \theta _{1}}$正でなければならない、${\displaystyle \mathbf {n} }$は、表面から光が来る側、つまりインデックス の領域に向かう法線ベクトルです。${\displaystyle n_{1}}$。 もし${\displaystyle \cos \theta _{1}}$負の場合、${\displaystyle \mathbf {n} }$ライトのない側を指しているので、やり直してください${\displaystyle \mathbf {n} }$そのネガティブ版に置き換えられた。

$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }={\boldsymbol {\ell }}+2\cos \theta _{1}\mathbf {n} }$$ この反射方向ベクトルは、光が来た面の側を指し示している。

次に、正弦比にスネルの法則を適用して、屈折光線の方向ベクトルの公式を導出します。 $${\displaystyle \sin \theta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \theta _{1}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}{\sqrt {1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}}}}$$$${\displaystyle \cos \theta _{2}={\sqrt {1-(\sin \theta _{2})^{2}}}={\sqrt {1-\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right)^{2}\left(1-\left(\cos \theta _{1}\right)^{2}\right)}}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\right){\boldsymbol {\ell }}+\left({\frac {n_{1}}{n_{2}}}\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2}\right)\mathbf {n} }$$

名前を変更した単純な値の観点から見ると、この式はよりシンプルに見えるかもしれない。${\displaystyle r=n_{1}/n_{2}}$そして${\displaystyle c=-\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\ell }}}$三角関数名や角度名が一切表示されないようにする。 $${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=r{\boldsymbol {\ell }}+\left(rc-{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}\right)\mathbf {n} }$$

例： $${\displaystyle {\boldsymbol {\ell }}=\{0.707107,-0.707107\},~\mathbf {n} =\{0,1\},~r={\frac {n_{1}}{n_{2}}}=0.9}$$$${\displaystyle c=\cos \theta _{1}=0.707107,~{\sqrt {1-r^{2}\left(1-c^{2}\right)}}=\cos \theta _{2}=0.771362}$$$${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {reflect} }=\{0.707107,0.707107\},~\mathbf {v} _{\mathrm {refract} }=\{0.636396,-0.771362\}}$$

コサイン値は保存しておき、フレネル方程式で使用して、結果として生じる光線の強度を計算することができます。

全反射は、次の式における負の根号で示されます。${\displaystyle \cos \theta _{2}}$これは、密度の低い媒質に光線が進入する場合にのみ起こり得る（${\displaystyle n_{2}<n_{1}}$応用光学では、これらのベクトル計算は、反射防止コーティングやディスプレイパネルなどの複雑な多層光学スタックをモデル化するために順次利用されます。これらのシステムでは、精密な位置合わせを保証するために、各誘電体界面で横方向のビーム変位と全反射条件を確認する必要があります。^{[ 23 ]}