畳み込み型の特異積分演算子

数学において、畳み込み型の特異積分演算子は、超関数による畳み込みを通じてR ⁿおよびT ⁿ上に生じる特異積分演算子であり、同値であり、並進と可換な特異積分演算子である。調和解析における古典的な例としては、円上の調和共役演算子、円と実数直線上のヒルベルト変換、複素平面上のベーリング変換、ユークリッド空間におけるリース変換などがある。これらの演算子のL ^{2上の連続性は、}フーリエ変換によって乗算演算子に変換されるため明らかである。L ^p空間上の連続性は、マルセル・リースによって初めて確立された。古典的な手法には、ポアソン積分、補間理論、ハーディ・リトルウッド最大関数の使用が含まれる。より一般的な演算子については、 1952 年にAlberto CalderónとAntoni Zygmundによって導入された基本的な新しい手法が、 L ^p空間上の連続性の一般的な基準を与えるために多くの著者によって開発されました。この記事では、古典的な演算子の理論を説明し、その後の一般的な理論を概説します。

L ²関数の理論は円周上では特に単純である。^{[1] [2]} f ∈ L ² ( T )ならば、フーリエ級数展開が成り立つ。 $${\displaystyle f(\theta )=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta }.}$$

ハーディ空間 H ² ( T )は、負の係数が0となる関数、すなわち_{n < 0に対してn} = 0となる関数から構成される。これらはまさに、開単位円板における正則関数の境界値として生じる2乗可積分関数である。実際、fは関数の境界値である。

$${\displaystyle F(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n},}$$

関数が

$${\displaystyle f_{r}(\theta )=F(re^{i\theta }),}$$

Fの同心円への制限によって定義される| z | = rは、

$${\displaystyle \|f_{r}-f\|_{2}\rightarrow 0.}$$

L ² ( T )のH ² ( T ) への直交射影P は、セゲー射影と呼ばれます。これは、演算子ノルムが 1 であるL ² ( T )上の有界演算子です。コーシーの定理により、

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{|\zeta |=1}{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\,d\zeta ={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\theta ) \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\theta .}$$

したがって

$${\displaystyle F(re^{i\varphi })={1 \over 2\pi }\int _{-\pi }^{\pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1-re^{i\theta }}\,d\theta .}$$

r = 1のとき、右辺の被積分関数はθ = 0で特異点を持つ。打ち切りヒルベルト変換は次のように定義される。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(\varphi )={i \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }{f(\varphi -\theta ) \over 1 -e^{i\theta }}\,d\theta ={1 \over \pi }\int _{|\zeta -e^{i\varphi }|\geq \delta }{f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta ,}$$

ここでδ = |1 – eは^ε |である。これは有界関数との畳み込みとして定義されているので、L ² ( T )上の有界演算子である。

$${\displaystyle H_{\varepsilon}{1}={i \over \pi}\int _{\varepsilon}^{\pi}2\Re (1-e^{i\theta})^{-1}\,d\theta ={i \over \pi}\int _{\varepsilon}^{\pi}1\,d\theta =i-{i\varepsilon\over \pi}.}$$

fがzの多項式であれ ば

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(z)-{i(1-\varepsilon ) \over \pi }f(z)={1 \over \pi i}\int _{|\zeta -z|\ geq \delta }{f(\zeta )-f(z) \over \zeta -z}\,d\zeta .}$$

コーシーの定理によれば、右辺はε、したがってδが0に近づくにつれて一様に0に近づく。したがって、

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow if}$$

多項式に対して一様である 。一方、u ( z ) = z の場合には、

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-u^{-1}H_{\varepsilon }(u{\overline {f}}).}$$

したがって、fがz ⁻¹の定数項のない 多項式である場合、

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow -if}$均一に。

円上の ヒルベルト変換を次のように定義する。$${\displaystyle H=i(2P-I).}$$

したがって、fが三角多項式である 場合

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$均一に。

したがって、fが任意のL ²関数 である場合、

${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf}$L ²ノルムで。

これは、演算子H _εが演算子ノルムで一様に有界であることが確立されると、三角多項式の結果から直接導かれる。しかし、[– π , π ] では

$${\displaystyle (1-e^{i\theta })^{-1}=[(1-e^{i\theta })^{-1}-i\theta ^{-1}]+i\シータ ^{-1}.}$$

最初の項は[–π,π]全体に制限されているので、畳み込み演算子S _{ε が}次のように定義されること を示すだけで十分である。

$${\displaystyle S_{\varepsilon }f(\varphi )=\int _{\varepsilon \leq |\theta |\leq \pi }f(\varphi -\theta )\theta ^{-1}\,d\シータ }$$

は一様に有界である。正規直交基底e ^inθに関して、畳み込み演算子は対角であり、それらの演算子ノルムはフーリエ係数の絶対値の上限を取ることによって与えられる。直接計算により、これらはすべて次の形式を持つことが示される。

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\left|\int _{a}^{b}{\sin t \over t}\,dt\right|}$$

ここで、0 < a < bです。これらの積分は一様に有界であることがよく知られています。

また、円上の連続関数fに対して、 H _ε f はHfに一様収束し、特に点ごとに収束する。点ごとの極限はコーシー主値であり、次のように表される 。

$${\displaystyle Hf=\mathrm {PV} \,{1 \over \pi }\int {f(\zeta ) \over \zeta -e^{i\varphi }}\,d\zeta .}$$

もしfがL ²にちょうど属するならば、H _ε fはほぼすべての点でHfに収束する。実際、L ²関数 上のポアソン作用素を次のように定義する。

$${\displaystyle T_{r}\left(\sum a_{n}e^{in\theta }\right)=\sum r^{|n|}a_{n}e^{in\theta },}$$

r < 1に対してである。これらの演算子は対角演算子なので、r が1 に増加するにつれてL ^2でT _r f がfに近づくことは容易にわかる。さらに、ルベーグが証明したように、 T _r fもfの各ルベーグ点で点ごとにf に近づく。一方、T _r Hf − H _{1 − r} f はfの各ルベーグ点でゼロに近づくことも知られている。したがって、 H _{1 – r} f はfとHfの共通ルベーグ点上で点ごとにfに近づくため、ほとんどどこでもそうなる。^{[3] [4] [5]}

点ごとの収束に関するこの種の結果は、ポアソン演算子とfのハーディ・リトルウッド最大関数を使用して、 L ^p関数に対して以下でより一般的に証明されます。

ヒルベルト変換は円の向きを保存する微分同相写像と自然に互換性がある。^[6]したがって、Hが円の微分同相写像で

$${\displaystyle H(e^{i\theta })=e^{ih(\theta )},\,\,\,h(\theta +2\pi )=h(\theta )+2\pi ,}$$

そしてオペレーター

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int _{|e^{ih(\theta )}-e^{ih(\varphi )}|\geq \varepsilon }{\frac {f(e^{i\theta })}{e^{i\theta }-e^{i\varphi }}}e^{i\theta }\,d\theta ,}$$

は一様有界であり、強い作用素位相ではHに近づく。さらに、Vf ( z ) = f ( H ( z ) ) ならば、VHV ⁻¹ − H は滑らかな核を持つ作用素なので、ヒルベルト・シュミット作用素となる。

実際、Gが対応する関数g ( θ )を持つHの逆関数である場合、

$${\displaystyle (VH_{\varepsilon }^{h}V^{-1}-H_{\varepsilon })f(e^{i\varphi })={1 \over \pi }\int _{|e^{i\theta }-e^{i\varphi }|\geq \varepsilon }\left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

右辺の核はT × T上で滑らかであるため、右辺の演算子は一様有界であり、したがって演算子H _ε ^hも同様である。これらがHに強く傾向することを確認するには、三角多項式でこれを確認すれば十分である。その場合、

$${\displaystyle H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{\frac {f(z)}{z-\zeta }}dz={1 \over \pi i}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz+{\frac {f(\zeta )}{\pi i}}\int _{|H(z)-H(\zeta )|\geq \varepsilon }{dz \over z-\zeta }.}$$

最初の積分では、被積分関数はzと ζの三角多項式であり、したがって積分はζの三角多項式である。L ^2では、三角多項式に 近づく。$${\displaystyle {1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz.}$$

2番目の項の積分は、引数の原理によって計算できます^{。L 2}では定数関数1に近づくため、

$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}H_{\varepsilon }^{h}f(\zeta )=f(\zeta )+{1 \over \pi i}\int {f(z)-f(\zeta ) \over z-\zeta }\,dz,}$$

ここで極限はL ²にある。一方、右辺は微分同相写像とは独立である。恒等微分同相写像では左辺はHfに等しいので、これもHfに等しい（これはfが三角多項式であれば直接確認できる）。最後に、 ε → 0 とすると、

$${\displaystyle (VHV^{-1}-H)f(e^{i\varphi })={\frac {1}{\pi }}\int \left[{g^{\prime }(\theta )e^{ig(\theta )} \over e^{ig(\theta )}-e^{ig(\varphi )}}-{e^{i\theta } \over e^{i\theta }-e^{i\varphi }}\right]\,f(e^{i\theta })\,d\theta .}$$

フーリエ係数を直接評価して演算子H ^εの一様有界性を証明する方法は、1 < p < ∞ のL ^p空間に直接一般化できない。代わりに、 H ^ε fとヒルベルト変換のポアソン積分との直接比較が、これを証明するために古典的に使用されている。fがフーリエ級数を持つ 場合

$${\displaystyle f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}e^{in\theta },}$$

そのポアソン積分は次のように定義される。

$${\displaystyle P_{r}f(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }a_{n}r^{|n|}e^{in\theta }={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{(1-r^{2})f(e^{i\theta }) \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}\,d\theta =K_{r}\star f(e^{i\theta }),}$$

ここでポアソン核 K _rは次のように与えられる。 $${\displaystyle K_{r}(e^{i\theta })=\sum _{n\in \mathbf {Z} }r^{|n|}e^{in\theta }={1-r^{2} \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

fがL ^p ( T )に属する場合、演算子P _rは以下を満たす 。$${\displaystyle \|P_{r}f-f\|_{p}\rightarrow 0.}$$

実際、K _rは正なので $${\displaystyle \|K_{r}\|_{1}={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }K_{r}(e^{i\theta })\,d\theta =1.}$$

したがって、演算子P _{r は、} L ^p上で演算子ノルムが 1 で制限されます。上記の収束ステートメントは、三角多項式の結果から連続して従い、 K _rのフーリエ係数の公式から直接導かれます。

H _εの作用素ノルムの一様有界性は、 HP _r − H _{1− r が}関数ψ _rによる畳み込みとして与えられることから導かれる。ここで^[7] 1 − r ≤ |θ| ≤ πに対して、また|θ| < 1 − rに対して、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi _{r}(e^{i\theta })&=1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\\&\leq 1+{\frac {1-r}{1+r}}\cot \left({\tfrac {1-r}{2}}\right)K_{r}(e^{i\theta })\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \psi _{r}(e^{i\theta })=1+{2r\sin \theta \over 1-2r\cos \theta +r^{2}}.}$$

これらの推定値は、L ¹ノルム ∫ |ψ _r | が一様に有界であることを示しています。H は有界演算子であるため、演算子H _εはL ² ( T )上の演算子ノルムで一様に有界になります。ヒルベルト変換HがL ^p ( T ) 上の演算子ノルムで有界であることがわかれば、同じ議論をL ^p ( T ) に対しても使用できます。

円の場合と同様に、L ²関数の理論は特に簡単に展開できます。実際、ローゼンブラムとデビナツが観察したように、2つのヒルベルト変換はケーリー変換を使用して関連付けることができます。^[8]

L ² ( R ) 上のヒルベルト変換 H R は次のように定義される。 ここで フーリエ_変換 は次のように与えられる。 $${\displaystyle {\widehat {H_{\mathbf {R} }f}}=\left(i\chi _{[0,\infty )}-i\chi _{(-\infty ,0]}\right){\widehat {f}},}$$$${\displaystyle {\widehat {f}}(t)={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-itx}\,dx.}$$

ハーディ空間 H ² ( R ) を、実軸の負の部分でフーリエ変換がゼロになる関数からなる L 2 ⁽ R )の閉部分空間として定義する。その直交補空間は、実軸の正の部分でフーリエ変換がゼロになる関数によって与えられる。これはH ² ( R ) の複素共役である。P _{R が}^{H 2} ( R )への直交射影である場合、

$${\displaystyle H_{\mathbf {R} }=i(2P_{\mathbf {R} }-I).}$$

ケーリー変換は、 拡張された実数直線を円上に乗せ、∞ の点を 1 に、上半平面を単位円上に乗せます。 $${\displaystyle C(x)={x-i \over x+i}}$$

L ² ( T )からL ² ( R ) へのユニタリ演算子を次のように定義する。$${\displaystyle Uf(x)=\pi ^{-1/2}(x+i)^{-1}f(C(x)).}$$

この演算子は円H ² ( T )のハーディ空間をH ² ( R )に持ち込む。実際、| w | < 1の場合、関数の線型範囲は H ² ( T ) に稠密である。さらに 、 $${\displaystyle f_{w}(z)={\frac {1}{1-wz}}}$$$${\displaystyle Uf_{w}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {1}{(1-w)(x-{\overline {z}})}}}$$$${\displaystyle z=C^{-1}({\overline {w}}).}$$

一方、z ∈ Hの場合、関数の線形範囲は L ² ((0,∞)) に稠密です。フーリエ反転公式により、これらは のフーリエ変換である ため、これらの関数の線形範囲は H ² ( R ) に稠密です。Uはf _wをh _zの倍数に乗せるので、 U はH ² ( T ) を H ² ( R ) に乗せることになります。したがって、 $${\displaystyle g_{z}(t)=e^{itz}\chi _{[0,\infty )}(t)}$$$${\displaystyle h_{z}(x)={\widehat {g_{z}}}(-x)={i \over {\sqrt {2\pi }}}(x+z)^{-1},}$$$${\displaystyle UH_{\mathbf {T} }U^{*}=H_{\mathbf {R} }.}$$

Nikolski (1986) では、円と単位円からの結果を転送することによって、実数直線と上半平面上のL ^{2理論の一部が展開されています。円板上の同心円の自然な置き換えは、} H内の実軸に平行な直線です。ケーリー変換では、これらは円板内の点 1 で単位円に接する円に対応します。これらの円上の H ² ( T )内の関数の挙動は、カルレソン測度の理論の一部です。ただし、特異積分の理論は、 Rに直接取り組むことでより簡単に展開できます。

H ² ( R ) は、次の意味でH上の正則関数の境界値から生じるL ²関数fから正確に構成されます。 ^[9] f が H ^{2に属するためには、} H上に正則関数F ( z )が存在し、 y > 0に対して関数f _y ( x ) = f ( x + iy ) がL ²に含まれ、y → 0 のときにf _{y が}L ^2でfに近づく必要があります。この場合、F は必ず一意であり、コーシーの積分公式によって与えられます。

$${\displaystyle F(z)={1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds.}$$

実際、フーリエ変換によってH ^{2 を}L ² (0,∞)と同一視すると、 y > 0に対してL ² (0,∞)上のe ^{− ytの}乗算により、 H ²上の縮約半群V _yが誘導される。したがって、L ^2上のfに対して

$${\displaystyle {1 \over 2\pi i}\int _{-\infty }^{\infty }{f(s) \over s-z}\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(s){\widehat {g_{z}}}(s)\,ds={1 \over {\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(s)g_{z}(s)\,ds=V_{y}Pf(x).}$$

f がH ²に属する場合、 L ²関数の族g _{z は}zに正則に依存するため、 F ( z ) は Im z > 0 に対して正則である。さらに、フーリエ変換の場合と同様に、 f _y = V _y f はH ²に属するfに近づく。逆に、そのようなF が存在する場合、コーシーの積分定理と上記の恒等式をf _{yに適用すると、}

$${\displaystyle f_{y+t}=V_{t}Pf_{y}}$$

t > 0の場合。 t を0に近づけると、 Pf _y = f _yとなり、f _{y は}H ²に含まれます。 しかし、極限fも同様です。 F の一意性は次式から導かれます 。$${\displaystyle V_{t}f_{y}=f_{y+t}=V_{y}f_{t},}$$$${\displaystyle f_{t}=\lim _{y\to 0}f_{y+t}=\lim _{y\to 0}V_{t}f_{y}=V_{t}f.}$$

L ^2のfに対して、切断ヒルベルト変換は次のように定義される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{\varepsilon ,R}f(x)&={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y-x|\leq R}{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{\varepsilon \leq |y|\leq R}{f(x-y) \over y}\,dy\\H_{\varepsilon }f(x)&={1 \over \pi }\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{f(y) \over x-y}\,dy={1 \over \pi }\int _{|y|\geq \varepsilon }{f(x-y) \over y}\,dy.\end{aligned}}}$$

演算子H _ε、Rはコンパクトな台を持つ有界関数による畳み込みなので、それらの演算子ノルムはフーリエ変換の均一ノルムで与えられる。前と同様に、絶対値は次の形式を持つ。

$${\displaystyle {1 \over {\sqrt {2\pi }}}\left|\int _{a}^{b}{2\sin t \over t}\,dt\right|.}$$

ここで、 0 < a < bなので、演算子H _{ε、R は}演算子ノルムに関して一様有界です。H _ε、R f は、コンパクトな台を持つfに対してL ²でH _ε fに近づくため、任意のfに対して、演算子H _εも演算子ノルムに関して一様有界です。

εがゼロに近づくにつれてH _ε fがHfに近づくことを証明するには、関数の稠密な集合でこれを確認すれば十分である。一方、

$${\displaystyle {\overline {H_{\varepsilon }f}}=-H_{\varepsilon }({\overline {f}}),}$$

^{したがって、 H 2} ( R )の密な関数集合、たとえば(0,∞) にコンパクトな台を持つ滑らかな関数gのフーリエ変換に対して、 H _ε f がとなることを証明すれば十分である。しかし、フーリエ変換f はC上の関数F全体に拡張され、これは Im( z ) ≥ 0で制限される。同じことがgの導関数にも当てはまる。スカラーまで、これらはF ( z ) にzの累乗を掛けることに対応する。したがって、F はIm( z ) ≥ 0 に対してPaley-Wiener 推定を満たす: ^[10]

$${\displaystyle |F^{(m)}(z)|\leq K_{N,m}(1+|z|)^{-N}}$$

任意のm、N ≥ 0に対して、 H _ε f ( x )を定義する積分は、x を中心とする標準半円輪郭を取ることによって計算できます。これは、半径Rの大きな半円と、実軸の 2 つの部分を挟んだ半径 ε の小さな円で構成されます。コーシーの定理により、輪郭の周りの積分はゼロです。大きな輪郭の周りの積分は、ペイリー-ウィーナー推定によりゼロに近づきます。実軸上の積分が、求められる極限です。したがって、小さな半円輪郭上の極限を引いたものとして与えられます。しかし、これは

$${\displaystyle {1 \over \pi }\int _{\Gamma }{F(z) \over z-x}\,dz.}$$

ここでΓは反時計回りの小さな半円の輪郭線です。輪郭線積分の通常の手法により、この極限はif ( x )に等しくなります。^{[11]この場合、収束が}L ²で支配的であることは簡単に確認できます。

$${\displaystyle H_{\varepsilon }f(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }{\frac {f(y)-f(x)}{y-x}}\,dy={\frac {1}{\pi }}\int _{|y-x|\geq \varepsilon }\int _{0}^{1}f^{\prime }(x+t(y-x))\,dt\,dy}$$

そのため、収束は Paley-Wiener 推定によって L ² に含まれるものによって支配されます。$${\displaystyle G(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{1}\int _{-\infty }^{\infty }|f^{\prime }(x+ty)|\,dy}$$

したがって、L ² ( R ) 上のfについては、$${\displaystyle H_{\varepsilon }f\rightarrow Hf.}$$

これは、フーリエ変換に渡された後、 H _εとHが一様有界関数による乗算演算子になるため、直接推論することもできます。 H _εの乗数は、ほぼすべての点でHの乗数に近づくため、上記のステートメントは、フーリエ変換に適用された 優勢収束定理から従います。

円周上のヒルベルト変換に関しては、fがL ^{2関数であれば、} H _ε f はほぼすべての点でHfに近づく。実際、 L ²関数 上のポアソン作用素は次のように定義される。

$${\displaystyle T_{y}f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }P_{y}(x-t)f(t)\,dt,}$$

ここでポアソン核は次のように与えられる。

$${\displaystyle P_{y}(x)={\frac {y}{\pi (x^{2}+y^{2})}}.}$$

y > 0の場合、そのフーリエ変換は $${\displaystyle {\widehat {P_{y}}}(t)=e^{-y|t|},}$$

ここから、 y が0 に増加するにつれて、 L ²でT _y f がfに近づくことが容易に分かります。さらに、ルベーグが証明したように、 T _y fもfの各ルベーグ点で点ごとにfに近づきます。一方、T _y Hf – H _y f はfの各ルベーグ点で 0 に近づくことも知られています。したがって、H _ε f はfとHfの共通ルベーグ点上で点ごとにfに近づき、したがってほとんどすべての場所で f に近づきます。^{[12] [13]} 関数T _y f − fとT _y Hf – H _y fの絶対値は、 fの最大関数の倍数によって点ごとに制限できます。^[14]

円上のヒルベルト変換に関しては、H _εの演算子ノルムの一様有界性は、 H が有界であることが分かっている場合、 T _εのそれに従う。これは、 HT _ε − H _εが関数による畳み込み演算子である ためである。

$${\displaystyle g_{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}&|x|\leq \varepsilon \\{\frac {x}{\pi (x^{2}+\varepsilon ^{2})}}-{\frac {1}{\pi x}}&|x|>\varepsilon \end{cases}}}$$

これらの関数のL ¹ノルムは一様に制限されます。

複素平面上の複素リース変換RとR * は、 L ² ( C )上のユニタリ演算子であり、L ²関数fのフーリエ変換上のz /| z | とその共役による乗算として定義されます。

$${\displaystyle {\widehat {Rf}}(z)={{\overline {z}} \over |z|}{\widehat {f}}(z),\,\,\,{\widehat {R^{*}f}}(z)={z \over |z|}{\widehat {f}}(z).}$$

CをR ²、R、R *と同一視すると、次の式で表される。

$${\displaystyle R=-iR_{1}+R_{2},\,\,\,R^{*}=-iR_{1}-R_{2},}$$

ここで、R ₁とR _{2は、以下で定義される}R ²上のリース変換です。

L ² ( C )上では、演算子Rとその整数乗はユニタリである。これらは特異積分演算子として表現することもできる: ^[15]

$${\displaystyle {R^{k}f(w)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

どこ $${\displaystyle M_{k}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over |z|^{k+2}}\,\,\,\,(k\geq 1),\,\,\,\,M_{-k}(z)={\overline {M_{k}(z)}}.}$$

切り捨てられた高次のリース変換を次のように定義すると、 これらの演算子は演算子ノルムで一様に有界であることが示されます。奇数乗の場合、これは以下で説明するカルデロンとジグムンドの回転法によって推論できます。^[16]演算子が演算子ノルムで有界であることがわかっている場合は、ポアソン演算子を使用して推論することもできます。^[17]$${\displaystyle {R_{\varepsilon }^{(k)}f(w)=\int _{|z-w|\geq \varepsilon }M_{k}(w-z)f(z)\,dx\,dy,}}$$

R ²上のポアソン作用素T _{s は}s > 0 に対して次のよう に定義される。

$${\displaystyle {T_{s}f(x)={1 \over 2\pi }\int _{\mathbf {R} ^{2}}{sf(x) \over (|x-t|^{2}+s^{2})^{3/2}}\,dt.}}$$

これらは関数との畳み込みによって与えられる。

$${\displaystyle {P_{s}(x)={s \over 2\pi (|x|^{2}+s^{2})^{3/2}}.}}$$

P _{s は}関数e ^{− s | x |}のフーリエ変換なので、フーリエ変換ではこれらの関数による乗算に対応し、L 2 ( R 2 ) 上の縮約半群を形成します。P ^yは正^で積分可能で積分値は 1 なので_、演算子T _sも 1 < p < ∞ の各 L ^p空間上の縮約半群を定義します。

ポアソンカーネルの高次リース変換は次のように計算できます。

$${\displaystyle {R^{k}P_{s}(z)={k \over 2\pi i^{k}}{z^{k} \over (|z|^{2}+s^{2})^{k/2+1}}}}$$

となる。実際、右辺は3変数の調和関数F ( x , y , s )であり、そのような関数に対しては^{[18]となる。}

$${\displaystyle {T_{s_{1}}F(x,y,s_{2})=F(x,y,s_{1}+s_{2}).}}$$

以前と同様に、オペレーターは

$${\displaystyle {T_{\varepsilon }R^{k}-R_{\varepsilon }^{(k)}}}$$

^{は積分可能な関数との畳み込みによって与えられ、一様に有界な演算子ノルムを持ちます。リース変換はL 2} ( C )上でユニタリなので、切断されたリース変換の一様に有界であることは、それらが強演算子位相で対応するリース変換に収束することを意味します。

変換と切断変換の差が一様有界であることは、カルデロン・ジグムント回転法を用いて奇数kに対しても確認できる。 ^{[19] [20]} T群はC上の関数 に対して回転作用を及ぼし、$${\displaystyle {U_{\theta }f(z)=f(e^{i\theta }z).}}$$

^{これは L 2} ( C )上のユニタリ表現を定義し、ユニタリ演算子R _{θ は}フーリエ変換と可換である。AがL ² ( R )上の有界演算子である場合、 A を最初の座標に作用させるだけで、 L ² ( C )上の有界演算子A ⁽¹⁾が定義される。同一視 L ² ( R ² ) = L ² ( R ) ⊗ L ² ( R ) により、A ⁽¹⁾ = A ⊗ Iとなる。φ が円上の連続関数である場合、新しい演算子を次のように定義できる。 $${\displaystyle {B={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}\,d\theta .}}$$

この定義は、 $${\displaystyle {(Bf,g)={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\varphi (\theta )(U_{\theta }A^{(1)}U_{\theta }^{*}f,g)\,d\theta }}$$

任意のf , g がL ² ( C ) に属する場合、$${\displaystyle {\|B\|\leq {1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }|\varphi (\theta )|\cdot \|A\|\,d\theta .}}$$