昇る太陽の補題

数学解析学において、日の出の補題は、ハーディ・リトルウッドの極大定理の証明に使われる、フリジェシュ・リースによる補題である。この補題は、カルデロン・ジグムントの補題の一次元の前身であった。^[1]

補題は次のように述べられている: ^[2]

g が区間 [ a , b ] 上の実数値連続関数であり、Sが[ a , b ] 内のxの集合であって、 g ( y ) > g ( x )となるa y ∈( x , b ]が存在するとします。( b はS内に存在できませんが、a は存在する可能性があります。) E = S ∩ ( a , b ) と定義します。

するとEは開集合となり、互いに素な区間の可算和として表される。

${\displaystyle E=\bigcup _{k}(a_{k},b_{k})}$

g ( a _k ) = g ( b _k )である。ただし、あるkについてa _k = a ∈ Sである場合を除き、その場合にはそのkについてg ( a ) < g ( b _k ) である。さらに、x ∈ ( a _k , b _k ) であれば、g ( x ) < g ( b _k ) である。

この補題の華やかな名前は、関数gのグラフを、太陽が右から水平に輝く山岳風景として想像することに由来しています。集合E は影になっている点から構成されます。

次のような補題が必要です。[ c , d ) ⊂ Sだが d ∉ Sとします。するとg ( c ) < g ( d ) となります。これを証明するために、g ( c ) ≥ g ( d ) とします。するとg は[ c , d ] においてz < d の点で最大値に達します。z ∈ Sなので、 ( z , b ]内にg ( z ) < g ( y )となるyが存在します。 y ≤ dであれば、g は[ c , d ] においてzで最大値に達しません。したがって、y ∈ ( d , b ] であり、g ( d ) ≤ g ( z ) < g ( y ) となります。これはd ∈ Sであることを意味し、これは矛盾であるため補題が成立します。

集合E は開集合なので、互いに素な区間 ( a _k、b _k )の可算な和集合で構成されます。

この補題から、x in ( a _k , b _k )に対してg ( x ) < g ( b _k ) であることが直ちに分かります。g は連続なので、 g ( a _k ) ≤ g ( b _k ) も成り立ちます。

もしa _k ≠ aまたはa ∉ Sならばa _k ∉ Sなので、g ( a _k ) ≥ g ( b _k ) となり、それ以外の場合にはa _k ∈ Sとなります。したがって、これらの場合にはg ( a _k ) = g ( b _k ) となります。

最後に、a _k = a ∈ Sの場合、補題はg ( a ) < g ( b _k ) であることを示しています。

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