単純多面体

幾何学において、d次元単純多面体とは、各頂点がちょうどd 個の辺（またはd個の面）に隣接しているd次元多面体のことである。単純なd次元多面体の頂点図形は( d – 1)単体である。^{[ 1 ]}

単純多面体は、位相的に単体多面体と双対です。単純かつ単体である多面体の族は、単体または2次元多角形です。単純多面体は、頂点が3つの辺と3つの面に隣接している3次元多面体です。単純多面体の双対は単体多面体であり、すべての面が三角形です。^{[ 2 ]}

3 次元の単純多面体には、プリズム(立方体を含む)、正4 面体と正 12 面体、およびアルキメデス立体の中では、切頂 4 面体、切頂 立方体、切頂 8 面体、切頂 立方 8 面体、切頂 12 面体、切頂 20 面体、切頂 22 12面体が含まれます。また、面取り 4 面体、面取り 立方体、面取り12面体を含むゴールドバーグ多面体とフラーレンも含まれます。一般に、任意の多面体は、価数が 4 以上である頂点を切り落とすことによって単純多面体にすることができます。たとえば、切頂台形多面体は、台形多面体の高次の頂点のみを切り落とすことによって形成されます。それらはまた、シンプルである。

4次元単純多面体には、正120胞体とテセラクトが含まれます。単純均一4次元多面体には、切頂5胞体、切頂テセラクト、切頂24胞体、切頂120胞体、およびデュオプリズムが含まれます。すべての二重切頂、片側切頂、または全切頂4次元多面体は単純です。

高次元における単純多面体には、d単体、超立方体、連想多面体、順列多面体、およびすべての全切頂多面体が含まれる。

ミカ・ペルレスは、単純多面体は1-スケルトンによって完全に決定されると予想した。彼の予想は1987年にロスヴィータ・ブラインドとピーター・マニ＝レヴィツカによって証明された。^{[ 3 ]}ギル・カライはその後まもなく、一意シンク方向の理論に基づいてこの結果のより簡単な証明を提供した。^{[ 4 ]}

• エーベルハルトの定理は、3次元単純多面体の多角形の面の列に関する定理である。