単純な多面体

幾何学において、d次元単純多面体とは、各頂点がちょうどd個の辺（またはd個の面）に隣接するd次元多面体である。単純d多面体の頂点図形は、 ( d – 1)単体である。^[1]

単純多面体は位相的に単体多面体の双対である。単純かつ単体である多面体の族は単体または2次元多角形である。単純多面体は頂点が3辺と3面に隣接する3次元多面体である。単純多面体の双対はすべての面が三角形である単体多面体である。 ^[2]

3 次元の単純多面体には、角柱(立方体を含む)、正四面体、正十二面体、およびアルキメデスの立体のうち、切頂四面体、切頂立方体、切頂八面体、切頂立方八面体、切頂十二面体、切頂二十面体、切頂二十二十十二面体が含まれます。また、面取り四面体、面取り立方体、面取り十二面体を含むゴールドバーグ多面体やフラーレンも含まれます。一般に、どの多面体も、価数が 4 以上の頂点を切り落とすことで単純多面体にすることができます。たとえば、切頂台面体は、台面体の高次頂点のみを切り落とすことで形成されます。それらはまたシンプルです。

4 次元の単純な多面体には、正120 セルと四次元方位角錐が含まれます。単純な均一 4 次元多面体には、切断 5 セル、切断四次元方位角錐、切断 24 セル、切断 120 セル、およびデュオプリズムが含まれます。すべてのビット切断、カンティ切断、またはオムニ切断の 4 次元多面体は単純です。

高次元の単純多面体には、d 単体、超立方体、連想面体、パーミュトヘドロン、およびすべての全切断多面体が含まれます。

ミカ・パールズは、単純な多面体はその1次元の骨格によって完全に決定されると予想しました。彼の予想は1987年にロスウィザ・ブラインドとピーター・マニ・レヴィツカによって証明されました。^[3] ギル・カライはその後すぐに、一意のシンクの向きの理論に基づいてこの結果のより簡単な証明を提供しました。^[4]