基数

位取り記数法では、基数（複数形：radices）または基数は、数字を表すために使用される、数字の 0 を含む固有の桁の数です。たとえば、10 進法（現在最も一般的に使用されているシステム）では、0 から 9 までの 10 桁を使用するため、基数は 10 です。

標準的な位取り記数法では、数字は慣例的に( x ) _yと表記され、 xは数字列、yはその基数であるが、基数が 10 の場合は下付き文字が通常想定され（括弧のペアと共に省略される）、これが値を表す最も一般的な方法である。たとえば、(100) ₁₀は 100 に相当し（後者には 10 進法が暗示されている）、100 という数を表す。一方、(100) _{2 は}（基数が 2 の2 進法では）4 という数を表す。^[1]

語源

Radix はラテン語で「根」を意味します。算術的な意味では、 root はbaseの同義語と考えることができます。

数字体系では

一般に、基数b ( b > 1 )のシステムでは、数字の列d ₁ ... d _{n は、}数d ₁b ^{n −1} + d ₂b ^{n −2} + … + d _n b ⁰を表します。ここで、0 ≤ d _i < bです。^[1]一の位、十の位、百の位などがある 10 進数、つまり基数 10 とは対照的に、基数bでは一の位、次にb ¹の位、b ²の位、などになります。 ^[2]

たとえば、b = 12 の場合、59A などの数字の文字列 (文字「A」は 10 の値を表します) は、 10 進数で5 × 12 ² + 9 × 12 ¹ + 10 × 12 ⁰ = 838 の値を表します。

一般的に使用される数値システムは次のとおりです。

8 進数と 16 進数は、2 進数の簡略表現として使いやすいため、コンピューターでよく使用されます。16 は 2 の 4 乗であるため、16 進数の各桁は 4 つの 2 進数のシーケンスに対応します。たとえば、16 進数 78 _{16は、2 進数}111 1000₂です。同様に、8 は 2 の 3 乗であるため、8 進数の各桁は 3 つの 2 進数の一意のシーケンスに対応します。

この表現は一意である。bを1より大きい正の整数とする。すると、すべての正の整数aは次の形式で一意に表現できる。

a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},

ここでmは非負の整数であり、rは

0 < r _m < bかつ 0 ≤ r _i < b（i = 0, 1, ... , m − 1）。^[4]

基数は通常自然数です。しかし、他の位置体系も可能で、例えば黄金比基数（基数が非整数代数数）^[5]や負の基数（基数が負）^[6]などがあります。負の基数では、マイナス記号を使用せずに負の数を表すことができます。例えば、b = −10とします。すると、19などの数字列は（10進）数1 × (−10) ¹ + 9 × (−10) ⁰ = −1を表します。

参照

注記

^ ab マノ、M.モリス; キム、チャールズ (2014)。ロジックとコンピュータ設計の基礎(第4版)。ハーロウ: ピアソン。pp. 13–14。ISBN 978-1-292-02468-4。
^ “Binary”. experimonkey.com . 2023年5月14日閲覧。
^ バートマン、スティーブン（2005年）。古代メソポタミア生活ハンドブック（ペーパーバック版）。オックスフォード[ua]：オックスフォード大学出版局。p. 257。ISBN 978-019-518364-1。
^ マッコイ（1968年、75ページ）
^ バーグマン、ジョージ (1957)。 「無理数基数を持つ数体系」。数学雑誌。31 (2): 98–110。doi :10.2307 / 3029218。JSTOR 3029218。
^ William J. Gilbert (1979年9月). 「負の数に基づく数体系」(PDF) . Mathematics Magazine . 52 (4): 240–244. doi :10.1080/0025570X.1979.11976792 . 2015年2月7日閲覧。

参考文献

マッコイ、ニール H. (1968)、現代代数学入門、改訂版、ボストン：アリン＆ベーコン、LCCN 68015225

外部リンク

基地のMathWorldエントリー

[morris_mano_p13_14-1] マノ、M.モリス; キム、チャールズ (2014)。ロジックとコンピュータ設計の基礎(第4版)。ハーロウ: ピアソン。pp. 13–14。ISBN 978-1-292-02468-4。

[2] “Binary”. experimonkey.com . 2023年5月14日閲覧。

[3] バートマン、スティーブン（2005年）。古代メソポタミア生活ハンドブック（ペーパーバック版）。オックスフォード[ua]：オックスフォード大学出版局。p. 257。ISBN 978-019-518364-1。

[4] マッコイ（1968年、75ページ）

[5] バーグマン、ジョージ (1957)。 「無理数基数を持つ数体系」。数学雑誌。31 (2): 98–110。doi :10.2307 / 3029218。JSTOR 3029218。

[6] William J. Gilbert (1979年9月). 「負の数に基づく数体系」(PDF) . Mathematics Magazine . 52 (4): 240–244. doi :10.1080/0025570X.1979.11976792 . 2015年2月7日閲覧。