シーゲル上半空間

数学では、正の整数が与えられた場合${\displaystyle g}$シーゲル上半空間${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$学位${\displaystyle g}$は、${\displaystyle g\times g}$虚部が正定値である複素数上の対称行列。これはシーゲル（1939 ）によって導入された。空間 ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$はシンプレクティック群に関連付けられた対称空間である。${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )}$。 いつ${\displaystyle g=1}$ポアンカレ上半平面が回復される。

スペース${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$シーゲル上半平面と呼ばれることもある。^{[ 1 ]}

スペース${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$次のように書くことができます $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {R} )+i\,{\mathcal {P}}_{g},}$$ どこ${\displaystyle \operatorname {Sym} _{g}(\mathbb {R} )}$実対称空間${\displaystyle g\times g}$行列と${\displaystyle {\mathcal {P}}_{g}}$は正定値実対称行列の錐である。特に、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$は、対称行列の複素ベクトル空間における管状領域であり、したがって凸領域である。シロフ境界はラグランジュ・グラスマン多様体である。${\displaystyle \Lambda (2g)}$。

幾何学的に、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$はカルタン III 型の既約エルミート対称領域である。同等に、対称空間^{[ 4 ] [ 5 ]と同一視することができる。}$${\displaystyle \mathrm {Sp} (2g,\mathbb {R} )/U(g).}$$

ケイリー変換を介して、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$は有界対称領域、すなわちシーゲル円盤と双正則である。$${\displaystyle \{W\in M_{g}(\mathbb {C} ):W^{t}=W,\ I_{g}-W^{*}\!W>0\}.}$$^{[ 6 ]}

実多様体として、すべての対称領域はユークリッド空間と微分同相である。この場合、これは次のようになる。 $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}\cong \mathbb {R} ^{g(g+1)},}$$ それで${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$接続されており、単純に接続されています。^{[ 7 ] [ 8 ]}

境界のある対称領域として、${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$は、正準不変ケーラー計量、すなわちベルグマン計量を持ち、その下では負の曲率を持つエルミート対称空間である。^{[ 9 ]}座標では、${\displaystyle Z=X+iY}$この不変計量は次のように与えられる。 $${\displaystyle ds^{2}=\オペレーター名 {tr} (Y^{-1}dZ\,Y^{-1}d{\bar {Z}})。}$$ いつ${\displaystyle g=1}$空間$\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$はポアンカレ上半平面であり、この計量は通常のポアンカレ計量に帰着する。^{[ 10 ]} この計量は次のように書ける。 $${\displaystyle g=\operatorname {tr} \left((t^{-1}d\tau )(t^{-1}d{\bar {\tau }})\right),\quad \tau =s+it.}$$

定義条件$\displaystyle \tau \in \mathcal {H}}_{g}}$コンパクトリーマン面および複素アーベル多様体の古典的な周期行列と密接に関連している。^{[ 12 ] [ 13 ]}

させて${\displaystyle S}$種数のコンパクトリーマン面である${\displaystyle g}$、そしてシンプレクティック基底を選択する $${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{g},b_{1},\dots ,b_{g}}$$ のために${\displaystyle H_{1}(S,\mathbb {Z} )}$つまり、交点の数が以下を満たす。 $${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}=b_{i}\cdot b_{j}=0,\qquad a_{i}\cdot b_{j}=\delta _{ij}.}$$ もし${\displaystyle \omega _{1},\dots ,\omega _{g}}$は、正則1形式の空間の基底である。${\displaystyle S}$その周期行列は${\displaystyle g\times 2g}$マトリックス $${\displaystyle P=\left(\int _{a_{j}}\omega _{i}\ ,\ \int _{b_{j}}\omega _{i}\right).}$$ リーマン双線形関係は、${\displaystyle g\times g}$行列${\displaystyle a}$-周期は可逆である。正則1形式の基底を正規化して $${\displaystyle \int _{a_{j}}\omega _{i}=\delta _{ij},}$$ 正規化された周期行列が得られる $${\displaystyle \Omega _{ij}=\int _{b_{j}}\omega _{i}.}$$ 双線形関係はまさに次のことを述べている。${\displaystyle \Omega }$対称であり、${\displaystyle \operatorname {Im} (\Omega )}$は正定値である。同様に、^{[ 14 ]}$${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}.}$$

この構成により、ヤコビアン多様体が得られます。${\displaystyle S}$: $${\displaystyle J(S)=\mathbb {C} ^{g}/(\mathbb {Z} ^{g}+\Omega \mathbb {Z} ^{g}),}$$ これは主に偏極したアーベル多様体である。したがって、シーゲル上半空間には、種数 のコンパクトリーマン面のすべての正規化された周期行列が含まれる。${\displaystyle g}$[ ^{15 ]​}

より一般的に言えば、${\displaystyle A}$次元の主偏極複素アーベル多様体である${\displaystyle g}$すると、周期格子のシンプレクティック基底を選択でき、格子は列によって生成される。 $${\displaystyle (I_{g}\ \Omega )}$$ 一意の行列の場合${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}}$行動に至るまで${\displaystyle \operatorname {Sp} (2g,\mathbb {Z} )}$逆に、すべての行列は${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {H}}_{g}}$主偏極複素アーベル多様体を定義する $${\displaystyle \mathbb {C} ^{g}/(\mathbb {Z} ^{g}+\Omega \mathbb {Z} ^{g}).}$$ この意味で、リーマン双線形関係は、シーゲル上半空間が周期行列の自然なパラメータ空間である理由を説明する。^{[ 14 ] [ 15 ]}

すべての点が${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$はコンパクトリーマン面の周期行列である。${\displaystyle g\geq 4}$;このようにしてどの点が生じるかを決定することがショットキー問題である。^{[ 16 ]}

商${\displaystyle A_{g}=\Gamma _{g}\backslash {\mathcal {H}}_{g}}$コンパクトではない。標準的なコンパクト化はSatake–Baily–Borelコンパクト化である。${\displaystyle A_{g}^{*}}$は、シーゲル上半空間の有理境界成分を隣接させることによって得られる。^{[ 18 ] [ 19 ]}このコンパクト化は射影代数多様体であり、しばしば最小コンパクト化と呼ばれる。^{[ 20 ]}の場合${\displaystyle g=1}$これは、尖点を追加することによってモジュラー曲線をコンパクト化するというおなじみの方法に帰着する。^{[ 18 ] [ 19 ]}

より細かいクラスのコンパクト化は、許容可能な有理多面体錐分解の選択に依存するトーラスコンパクト化によって与えられる。^{[ 20 ] [ 19 ]}射影的許容分解の場合、結果として得られるトーラスコンパクト化${\displaystyle A_{g}^{\Sigma }}$射影的であり、自然な射が存在する $${\displaystyle A_{g}^{\Sigma }\to A_{g}^{*}.}$$ 交換する場合${\displaystyle \Gamma _{g}}$整然とした算術部分群によって、境界が因子である滑らかなトーラスコンパクト化を選択できる。^{[ 19 ]}

完全なシーゲルモジュラー群に対する最もよく知られたトーラスコンパクト化の中には、イグサコンパクト化（中心錐分解から得られる）と第2ボロノイコンパクト化がある。^{[ 19 ]}

• ボゴリューボフ変換とは、シーゲル半平面の実軸に沿った変換のことである。
• パラモジュラー群は、シーゲルモジュラー群の一般化である。
• シーゲルモジュラー形式とは、シーゲル上半空間上で定義される一種の保型形式である。
• シーゲルモジュラー多様体とは、シーゲル上半空間の商空間として構成されるモジュライ空間のことである。

• Bowman, Joshua P. 「シーゲル半平面に関するいくつかの初等的結果」(PDF)。。

• van der Geer、Gerard (2008)、「Siegel モジュラー形式とそのアプリケーション」、Ranestad、Kristian (編)、The 1-2-3 of modular form、Universitext、ベルリン: Springer-Verlag、pp. 181–245、doi : 10.1007/978-3-540-74119-0、ISBN  978-3-540-74117-6MR 2409679​ 

• Siegel、Carl Ludwig (1939)、「Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades」、Mathematische Annalen、116 : 617–657、doi : 10.1007/BF01597381、ISSN 0025-5831、MR 0001251、S2CID 124337559