仲介主導型愛着モデル

スケールフリー ネットワーク理論 (ネットワークの数学的理論またはグラフ理論)では、仲介駆動型接続 (MDA) モデルが、優先接続ルールを明示的ではなく暗黙的に具体化しているように見えます。MDA ルールによると、新しいノードは最初に既存のネットワークからランダムにノードを選択し、そのノードではなく、ランダムに選択された近隣ノードの 1 つに接続します。

^{バラバシとアルバートは1999年にその独創的な論文[1]}で、(i)自然および人工のネットワークのほとんどは静的ではなく、むしろ時間とともに成長し、(ii)新しいノードは既に接続されているノードとランダムに接続するのではなく、次数に応じて優先的に接続することを指摘しました。後者のメカニズムは、経済学における金持ちがさらに金持ちになる現象を具体化する優先接続（PA）ルールと呼ばれています。バラバシ-アルバートモデルとして知られる最初のモデルでは、バラバシとアルバート（BAモデル）は、

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{\sum _{j=1}k_{j}}}}$

ここで、は、新しいノードが既存のネットワークのラベル付きノードから ノードを選択する確率です。これは、金持ちはさらに金持ちになるというメカニズムを直接的に体現しています。${\displaystyle \Pi (i)}$${\displaystyle i}$

最近、Hassanらは、 PAルールを直接ではなく、むしろ変装して具体化しているように見える仲介主導の接続モデルを提案しました。^[2] MDAモデルでは、入ってくるノードは、まず既存のノードの1つをランダムに選択して仲介者と見なすことによって、接続する既存のノードを選択します。次に、新しいノードは、これもランダムに選択された仲介者の近隣の1つに接続します。ここで問題となるのは、既存のノードが最終的に新しいノードに接続するために選択される確率はどれくらいかということです。ノードには次数があり、したがって近隣ノードがあるとします。 の近隣ノード にはそれぞれ次数を持つラベルが付けられているとします。これらの各ノードからノードに到達するには、それぞれの次数の逆数の確率が必要であり、各ノードは確率 でランダムに選択される可能性があります。したがって、 MDAモデルの 確率は次のようになります。${\displaystyle \Pi (i)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 1,2,\ldots ,k_{i}}$${\displaystyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{k_{i}}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle 1/N}$${\displaystyle \Pi (i)}$

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {1}{N}}\left[{\frac {1}{k_{1}}}+{\frac {1}{k_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{k_{k_{i}}}}\right]={\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{N}}.}$

次のように書き直すことができる。

${\displaystyle \Pi (i)={\frac {k_{i}}{N}}\cdot {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}},}$

ここで、係数はノードの近隣ノードの次数の調和平均(IHM)の逆数です。広範な数値シミュレーションにより、小さい場合、各ノードの IHM 値は非常に大きく変動するため、ネットワーク全体の IHM 値の平均は意味を持たなくなります。ただし、大きい場合(特に約 14 より大きい場合)、ネットワーク全体の IHM 値の分布は左に歪んだガウス型になり、平均は意味を持ち始め、大きい極限では一定値になります。この極限では、まさに PA ルールであるものが見つかります。これは、ノードが持つリンク (次数) が高いほど、仲介者を介してより多くの方法でリンクに到達できるため、より多くのリンクを獲得する可能性が高くなることを意味します。これは、本質的に、金持ちはさらに金持ちになるという直感的なメカニズムを体現しています。したがって、MDA ネットワークは PA ルールに従っているように見えますが、それは偽装されています。さらに、小さい場合、MFAは有効ではなくなり、接続確率は超優先的な特性になります。 ${\displaystyle {\frac {\sum _{j=1}^{k_{i}}{\frac {1}{k_{j}}}}{k_{i}}}}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi (i)\propto k_{i}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Pi (i)}$

MDA ルールの考え方は、重み付き平面確率格子 (WPSL)の成長プロセスに見られます。プロセス中に既存のノード (WPSL の各ブロックの中心はノードと見なされ、ブロック間の共通境界は対応するノード間のリンクと見なされます) は、その隣接ノードの 1 つがそれ自体ではなく選択された場合にのみリンクを獲得します。これは、ノードのリンク (または次数) が高いほど、より多くの方法で到達できるため、より多くのリンクを獲得するチャンスが高くなることを意味します。これは本質的に PA ルールの直感的な考え方を具体化しています。したがって、WPSL の双対は、優先接続ルールに従っているが、そのようには見えないネットワークです。実際、その次数分布は、 Barabasi と Albert が必須要素の 1 つとして強調したように、べき乗法則を示すことがわかっています。^{[3] [4]}

次数分布: IHM の平均が意味を持ち、独立している 2 つの要因は、 平均場近似 (MFA) を適用できることを意味します。つまり、この近似内では、各ノードの真の IHM 値をその平均で置き換えることができます。ここで、新しいノードが持つエッジの数という要因は、後の便宜のために導入されます。次に解くべき速度方程式は、BA モデルのものとまったく同じになり、したがって、MDA ルールに従って出現するネットワークも本質的にスケールフリーになります。唯一の違いは、指数がに依存することです。BAモデルではに依存しません。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle \beta /m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma ={{1} \over {\beta (m)}}+1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \gamma =3}$${\displaystyle m}$

成長中のネットワークでは、すべてのノードが同等に重要であるわけではありません。それらの重要性の程度は、次数の値によって測定されます。異常に多数の他のノードにリンクされているノード、つまり例外的に高い値を持つノードは、ハブとして知られています。ハブが存在すると、リンクの数を単位として測定されたノード間の平均距離が非常に小さくなり、噂、意見、病気、コンピューターウイルスなどを広める上で重要な役割を果たしているため、ハブは特別です。^{[5]したがって、リーダーとみなされる最大のハブの特性を知ることが重要です。社会と同様、成長中のネットワークにおけるリーダーシップは永続的ではありません。つまり、ノードがリーダーになったからといって、それが}無限にリーダーであり続けるわけではありません。興味深い質問は、ネットワークが進化するにつれて、リーダーはこのリーダーシップの特性をどのくらいの期間保持するかということです。この質問の答えを見つけるために、リーダーが少なくとも時間 までリーダーシップを保持するというリーダーシップ持続確率を定義します。持続確率は、粗大化ダイナミクスから変動する界面やポリマー鎖に至るまで、さまざまなシステムで関心を集めています。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle F(\tau )}$${\displaystyle \tau}$

ただし、MDA ルールの基本的な考え方は完全に新しいものではありません。このルールまたはこれに類似したモデルは、以前のいくつかの研究でも見ることができますが、それらのアプローチ、それに続く分析、および結果は、私たちのものとは異なります。たとえば、Saramaki と Kaski はランダム ウォーク ベースのモデルを発表しました。^[6] Boccaletti らによって提案された別のモデルは 、私たちのモデルと似ているように見えますが、よく見ると大幅に異なります。^[7] 最近、Yang {\it et al.} も の形を示し、平均場近似に頼りました。^[8]ただし、彼らの表現の性質は、Hassan らが研究したものとは大幅に異なります。さらに別の密接に関連するモデルは、Gabel、Krapivsky、Redner によって発表された Growing Network with Redirection (GNR) モデルです。このモデルでは、各タイム ステップで、新しいノードがランダムに選択されたターゲット ノードに確率 で接続するか 、ターゲットの親に確率 で 接続します。^[9]の GNR モデルは、MDA モデルに似ているように見えるかもしれません。ただし、GNR モデルとは異なり、MDA モデルは無向ネットワーク用であり、新しいリンクはメディエーター親の任意の隣接ノードに接続できるかどうかは関係ありません。もう 1 つの違いは、MDA モデルでは新しいノードがエッジを使用して既存のネットワークに参加できるのに対し、GNR モデルではケースのみで考慮されることです。 ${\displaystyle \Pi (i)}$${\displaystyle 1-r}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m=1}$