剛性ローター

ローターダイナミクスでは、剛体ローターは回転システムの機械的モデルです。任意の剛体ローターは、コマなどの3 次元の剛体オブジェクトです。このようなオブジェクトを空間内で方向付けるには、オイラー角と呼ばれる 3 つの角度が必要です。特殊な剛体ローターは、たとえば二原子分子を​​記述するのに 2 つの角度のみを必要とする線形ローターです。より一般的な分子は3 次元であり、水 (非対称ローター)、アンモニア(対称ローター)、メタン(球状ローター) などがあります。

線形剛体ローター モデルは、質量中心から一定の距離にある 2 つの質点から構成されます。2 つの質点間の固定距離と質点の値だけが、剛体モデルの特徴です。ただし、実際の二原子分子の多くでは、距離は通常完全に固定されていないため、このモデルは制限が厳しすぎます。距離の小さな変化を補正するために、剛体モデルを修正することができます。このような場合でも、剛体ローター モデルは出発点として役立ちます (ゼロ次モデル)。

古典的な線形回転子は、互いに離れた2 つの質点と(縮約質量) で構成されます。 が時間に依存しない場合、回転子は剛体です。線形剛体回転子の運動学は、通常、 R ³の座標系を形成する球面極座標によって記述されます。物理学の慣例において、座標は共緯度 (天頂) 角、経度 (方位) 角、および距離です。角度は、空間における回転子の方向を指定します。線形剛体回転子の 運動エネルギーは、次のように表されます。${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$ ${\textstyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle T}$$${\displaystyle 2T=\mu R^{2}\left[{\dot {\theta }}^{2}+({\dot {\varphi }}\,\sin \theta )^{2}\right ]=\mu R^{2}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\ {\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}=\mu {\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}&{\dot {\varphi }}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}h_{\theta }^{2}&0\\0&h_{\varphi }^{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\theta }}\\{\dot {\varphi }}\終了{pmatrix}},}$$

ここで、およびはスケール（またはラメ）係数です。 ${\displaystyle h_{\theta }=R\,}$${\displaystyle h_{\varphi }=R\sin \theta \,}$

スケール係数は曲線座標で表現されるラプラシアンに入るため、量子力学の応用では重要である。この場合（定数） ${\displaystyle R}$$${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {1}{h_{\theta }h_{\varphi }}}\left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}{\frac {h_{\varphi }}{h_{\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {\partial }{\partial \varphi }}{\frac {h_{\theta }}{h_{\varphi }}}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right]={\frac {1}{R^{2}}}\left[{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}\right].}$$

線形剛体回転子の古典的なハミルトン関数は $${\displaystyle H={\frac {1}{2\mu R^{2}}}\left[p_{\theta }^{2}+{\frac {p_{\varphi }^{2}}{ \sin ^{2}\theta }}\right].}$$

線形剛体回転子モデルは量子力学で二原子分子の回転エネルギーを予測するために使用できます。回転エネルギーはシステムの慣性モーメントに依存します。質量中心の基準フレームでは、慣性モーメントは次の式に等しくなります。 ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle I=\mu R^{2}}$$

ここで、は分子の換算質量であり、は 2 つの原子間の距離です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle R}$

量子力学によれば、システムのエネルギーレベルはシュレーディンガー方程式を解くことによって決定できます。

$${\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi }$$

ここで は波動関数、はエネルギー（ハミルトニアン）演算子です。場のない空間内の剛体回転子の場合、エネルギー演算子はシステムの 運動エネルギー^{[1]に対応します。}${\displaystyle \Psi}$${\displaystyle {\hat {H}}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\nabla ^{2}}$$

ここで、は縮小プランク定数、 はラプラシアンです。ラプラシアンは、上記のように球面極座標で表されます。これらの座標で表されたエネルギー演算子は次のようになります。 ${\displaystyle \hbar}$${\displaystyle \nabla^{2}}$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \over \partial \theta }\right)+{1 \over {\sin ^{2}\theta }}{\partial ^{2} \over \partial \varphi ^{2}}\right]}$$

この演算子は、放射状部分が分離された後の 水素原子のシュレーディンガー方程式にも現れます。固有値方程式は、 になります。 記号は、球面調和関数と呼ばれる関数の集合を表します。 エネルギーはIを通じてに依存することに注意してください。 エネルギー は - 倍退化してい ます。つまり、とが固定された関数は同じエネルギーを持ちます。 $${\displaystyle {\hat {H}}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\frac {\hbar ^{2}}{2I}}\ell (\ell +1) Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$$${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )}$${\displaystyle m\,}$$${\displaystyle E_{\ell }={\hbar ^{2} \over 2I}\ell \left(\ell +1\right)}$$${\displaystyle 2\ell +1}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\dots ,\ell }$

回転定数 を導入して、次のように書きます。 長さの逆数 の単位では、回転定数は、 c が光速である状態 で、次のように書きます。、、にcgs 単位が使用されている場合、はcm ⁻¹または波数で表されます。これは、回転振動分光法でよく使用される単位です。回転定数は距離 に依存します。多くの場合、は の平衡値(回転子内の原子の相互作用エネルギーが最小になる値) であると書きます。${\displaystyle B}$$${\displaystyle E_{\ell}=B\;\ell \left(\ell +1\right)\quad {\textrm {with}}\quad B\equiv {\frac {\hbar ^{2}}{2I}}.}$$$${\displaystyle {\bar {B}}\equiv {\frac {B}{hc}}={\frac {h}{8\pi ^{2}cI}}={\frac {\hbar }{4 \pi c\mu R_{e}^{2}}},}$$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$${\displaystyle I}$${\displaystyle {\bar {B}}}$${\displaystyle {\bar {B}}(R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle B_{e}={\bar {B}}(R_{e})}$${\displaystyle R_{e}}$${\displaystyle R}$

典型的な回転吸収スペクトルは、選択則（下記参照）により、角運動量量子数（）の異なる値を持つレベル間の遷移に対応する一連のピークで構成されます。その結果、回転ピークはの整数倍に対応する差を持つエネルギーで現れます。 ${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \Delta l=+1}$${\displaystyle 2{\bar {B}}}$

分子の回転遷移は、分子が光子[量子化された電磁場 (em) の粒子] を吸収するときに発生します。光子のエネルギー (つまり、em 場の波長) に応じて、この遷移は振動遷移および/または電子遷移のサイドバンドとして見られる場合があります。振動 (= 振動プラス電子) 波動関数が変化しない純粋な回転遷移は、電磁スペクトルの マイクロ波領域で発生します。

通常、回転遷移は、角運動量量子数が だけ変化した場合にのみ観測されます。この選択規則は、時間依存シュレーディンガー方程式の一次摂動論近似から生じます。この処理によれば、回転遷移は、双極子演算子の 1 つ以上の成分がゼロでない遷移モーメントを持つ場合にのみ観測されます。が入射電磁波の電場成分の方向である場合、遷移モーメントは、 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (\Delta l=\pm 1)}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \langle \psi _{2}|\mu _{z}|\psi _{1}\rangle =\left(\mu _{z}\right)_{21}=\int \psi _{2}^{*}\mu _{z}\psi _{1}\,\mathrm {d} \tau .}$$

この積分がゼロでない場合、遷移が発生します。分子波動関数の回転部分を振動部分から分離することにより、分子が永久双極子モーメントを持つ必要があることがわかります。振動座標で積分した後、遷移モーメントの次の回転部分が残ります。

$${\displaystyle \left(\mu _{z}\right)_{l,m;l',m'}=\mu \int _{0}^{2\pi }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }Y_{l'}^{m'}\left(\theta ,\phi \right)^{*}\cos \theta \,Y_{l}^{m}\,\left(\theta ,\phi \right)\;\mathrm {d} \cos \theta .}$$ ここで、は永久双極子モーメントのz成分です。モーメントは、双極子演算子の振動平均成分です。ヘテロ核分子の軸に沿った永久双極子の成分のみがゼロではありません。球面調和関数の直交性を使用することで、、、 のどの値が双極子遷移モーメント積分に対してゼロ以外の値になるかを決定できます。この制約により、剛体回転子の選択規則が観察されます。 ${\displaystyle \mu \cos \theta \,}$${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle Y_{l}^{m}\,\left(\theta ,\phi \right)}$${\displaystyle l}$${\displaystyle m}$${\displaystyle l'}$${\displaystyle m'}$

$${\displaystyle \Delta m=0\quad {\hbox{and}}\quad \Delta l=\pm 1}$$

剛体回転子は、二原子分子の回転エネルギーを説明するためによく使用されますが、このような分子を完全に正確に説明するものではありません。これは、分子結合（したがって原子間距離）が完全に固定されていないためです。分子の回転速度が速くなると（回転量子数の値が高くなると）、原子間の結合が伸びます。この効果は、遠心歪み定数と呼ばれる補正係数を導入することで説明できます（さまざまな量の上のバーは、これらの量が cm ⁻¹で表されていることを示します）。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle l}$${\displaystyle {\bar {D}}}$

$${\displaystyle {\bar {E}}_{l}={E_{l} \over hc}={\bar {B}}l\left(l+1\right)-{\bar {D}}l^{2}\left(l+1\right)^{2}}$$

どこ

• ${\displaystyle {\bar {D}}={4{\bar {B}}^{3} \over {\bar {\boldsymbol {\omega }}}^{2}}}$
• ${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}}$は結合の基本振動周波数（cm ⁻¹ ）である。この周波数は、分子の換算質量と力の定数（結合強度）と次のように関係している。$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {\omega }}}={1 \over 2\pi c}{\sqrt {k \over \mu }}}$$

非剛体ローターは二原子分子のモデルとしては十分に正確ですが、まだ多少不完全です。これは、モデルが回転による結合伸張を考慮しているものの、結合の振動エネルギー (ポテンシャルの非調和性) による結合伸張を無視しているためです。

任意形状の剛体回転子は、質量の中心が固定された（または等速直線運動している）任意形状の剛体であり、自由場空間R ³内でエネルギーは回転運動エネルギー（および無視できる一定の並進エネルギー）のみで構成されます。剛体は、慣性モーメントテンソルの3 つの固有値によって（部分的に）特徴付けることができ、これらは主慣性モーメントと呼ばれる負でない実数値です。マイクロ波分光法（回転遷移に基づく分光法）では、通常、分子（剛体回転子として見られる）を次のように分類します。

• 球状ローター
• 対称ローター
  • 扁平対称ローター
  • 長楕円対称ローター
• 非対称ローター

この分類は、主慣性モーメントの 相対的な大きさによって決まります。

物理学と工学のさまざまな分野では、剛体回転子の運動学の記述にさまざまな座標が使用されます。分子物理学では、オイラー角がほぼ独占的に使用されます。量子力学のアプリケーションでは、球面極座標の物理的慣例を単純に拡張した慣例でオイラー角を使用すると便利です。

最初のステップは、右手系の正規直交フレーム（3次元直交軸系）をローター（ボディ固定フレーム）に取り付けることです。このフレームはボディに任意に取り付けることができますが、多くの場合、主軸フレーム（慣性テンソルの正規化された固有ベクトル）が使用されます。テンソルは対称であるため、常に正規直交を選択できます。ローターが対称軸を持つ場合、通常、それは主軸の1つと一致します。ボディ固定z軸として、最も高次の対称軸を 選択すると便利です。

まず、物体固定フレームを空間固定フレーム（実験室軸）に揃えて、物体固定のx、y、z軸が空間固定のX、Y、Z軸と一致するようにします。次に、物体とそのフレームをz軸を中心に正の角度でアクティブに回転させます（右手の法則により）。これにより、- が - 軸に移動します。最後に、物体とそのフレームを- 軸を中心に正の角度で回転させます。この 2 回の回転の後、物体固定フレームのz軸には、空間固定フレームに対する縦角（一般に で示される）と横角（一般に で示される）があります。ローターが線形剛体ローターのようにz軸の周りに円筒対称である場合、この時点で空間におけるローターの向きが明確に指定されます。 ${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle y'}$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \varphi \,}$${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle \theta \,}$

物体が円筒（軸）対称でない場合、その向きを完全に指定するには、 z軸（極座標はと）の周りの最後の回転が必要です。伝統的に、最後の回転角度は と呼ばれます。 ${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \gamma \,}$

ここで説明するオイラー角の規則は規則として知られており、回転の順序を逆にした規則 と同等であることが（この記事と同じ方法で）示されます。${\displaystyle z''-y'-z}$${\displaystyle z-y-z}$

連続する3回転の行列の合計は、

$${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

を物体固定フレームに対する物体内の任意の点の座標ベクトルとします。の要素はの「物体固定座標」です。 最初はは の空間固定座標ベクトルでもあります。 物体を回転させても の物体固定座標は変化しませんが、 の空間固定座標ベクトルは次のようになります。 特に、 が最初は空間固定Z軸上にある場合、空間固定座標を持ち、 これは球面極座標(物理的な慣例) との対応を示します。${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle \mathbf {r} (\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {r} (0).}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma ){\begin{pmatrix}0\\0\\r\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cos \alpha \sin \beta \\r\sin \alpha \sin \beta \\r\cos \beta \\\end{pmatrix}},}$$

時間tの関数としてのオイラー角と初期座標の知識により、剛体ローターの運動学が決まります。 ${\displaystyle \mathbf {r} (0)}$

以下のテキストは、 1 つの軸を中心に回転する物体の回転エネルギーのよく知られた特殊なケースを一般化したものです。

ここからは、物体固定フレームが主軸フレームであると仮定します。物体固定フレームは、瞬間慣性テンソル (空間固定フレームに対して表される) を対角化します。つまり、 オイラー角は時間に依存し、実際にはこの式の逆によって の時間依存性を決定します。この表記は、 ではオイラー角がゼロであることを意味し、そのため では物体固定フレームが空間固定フレームと一致となります。 ${\displaystyle \mathbf {I} (t)}$$${\displaystyle \mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )^{-1}\;\mathbf {I} (t)\;\mathbf {R} (\alpha ,\beta ,\gamma )=\mathbf {I} (0)\quad {\hbox{with}}\quad \mathbf {I} (0)={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\\\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {I} (t)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t=0}$

剛体回転子の 古典的な運動エネルギーT は、さまざまな方法で表現できます。

• 角速度の関数として
• ラグランジアン形式で
• 角運動量の関数として
• ハミルトン形式で。

これらの形式はそれぞれ用途があり、教科書にも載っているので、すべて紹介します。

角速度Tの 関数 として、 $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left[I_{1}\omega _{x}^{2}+I_{2}\omega _{y}^{2}+I_{3}\omega _{z}^{2}\right]}$$$${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\sin \beta \cos \gamma &\sin \gamma &0\\\sin \beta \sin \gamma &\cos \gamma &0\\\cos \beta &0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}\\\end{pmatrix}}.}$$

左側のベクトルには、物体固定フレームに関して表された回転子の角速度の成分が含まれています。角速度は、オイラー方程式と呼ばれる運動方程式を満たします（回転子は場のない空間にあると仮定しているため、適用されるトルクはゼロです）。速度の通常の定義とは対照的に、はどのベクトルの時間微分でもないことが示されます。^[2]${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=(\omega _{x},\omega _{y},\omega _{z})}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

右側の時間依存オイラー角の上の点は、時間微分を示します。使用するオイラー角規則の選択が異なると、異なる回転行列が生成されることに注意してください。

の式をTに代入すると、ラグランジュ形式の運動エネルギーが得られます（オイラー角の時間微分の関数として）。行列ベクトル表記では、 はオイラー角（非直交曲線座標系） で表現された計量テンソルです。${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$$${\displaystyle 2T={\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}&{\dot {\beta }}&{\dot {\gamma }}\end{pmatrix}}\;\mathbf {g} \;{\begin{pmatrix}{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}\\\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {g} }$

$${\displaystyle \mathbf {g} ={\begin{pmatrix}I_{1}\sin ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma +I_{2}\sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +I_{3}\cos ^{2}\beta &(I_{2}-I_{1})\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &I_{3}\cos \beta \\(I_{2}-I_{1})\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &I_{1}\sin ^{2}\gamma +I_{2}\cos ^{2}\gamma &0\\I_{3}\cos \beta &0&I_{3}\\\end{pmatrix}}.}$$

運動エネルギーは、多くの場合、剛体回転子の角運動量 の関数として表されます。物体固定フレームに関して、運動エネルギーには成分 があり、角速度 と関連していることが示されます。 この角運動量は、静止した空間固定フレームから見た場合、保存される（時間に依存しない）量です。物体固定フレームは移動する（時間に依存する）ため、成分は時間に依存しません。静止した空間固定フレームに関して を 表す場合は、その成分に対して時間に依存しない式が見つかります。${\displaystyle \mathbf {L} }$${\displaystyle L_{i}}$$${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} (0)\;{\boldsymbol {\omega }}\quad {\hbox{or}}\quad L_{i}={\frac {\partial T}{\partial \omega _{i}}},\;\;i=x,\,y,\,z.}$$${\displaystyle L_{i}}$${\displaystyle \mathbf {L} }$

運動エネルギーは角運動量で次のように表される。 $${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\left[{\frac {L_{x}^{2}}{I_{1}}}+{\frac {L_{y}^{2}}{I_{2}}}+{\frac {L_{z}^{2}}{I_{3}}}\right].}$$

運動エネルギーのハミルトン形式は、対称性が あることを前提とした一般化された運動量で表されます 。ハミルトン形式では、運動エネルギーは、 逆計量テンソルが次のように表されます。 $${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{\alpha }\\p_{\beta }\\p_{\gamma }\\\end{pmatrix}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\begin{pmatrix}\partial T/{\partial {\dot {\alpha }}}\\\partial T/{\partial {\dot {\beta }}}\\\partial T/{\partial {\dot {\gamma }}}\\\end{pmatrix}}=\mathbf {g} {\begin{pmatrix}\;\,{\dot {\alpha }}\\{\dot {\beta }}\\{\dot {\gamma }}\\\end{pmatrix}},}$$${\displaystyle \mathbf {g} }$$${\displaystyle 2T={\begin{pmatrix}p_{\alpha }&p_{\beta }&p_{\gamma }\end{pmatrix}}\;\mathbf {g} ^{-1}\;{\begin{pmatrix}p_{\alpha }\\p_{\beta }\\p_{\gamma }\\\end{pmatrix}},}$$$${\displaystyle \sin ^{2}\beta \;\mathbf {g} ^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{I_{1}}}\cos ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\sin ^{2}\gamma &\left({\frac {1}{I_{2}}}-{\frac {1}{I_{1}}}\right)\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &-{\frac {1}{I_{1}}}\cos \beta \cos ^{2}\gamma -{\frac {1}{I_{2}}}\cos \beta \sin ^{2}\gamma \\\left({\frac {1}{I_{2}}}-{\frac {1}{I_{1}}}\right)\sin \beta \sin \gamma \cos \gamma &{\frac {1}{I_{1}}}\sin ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\sin ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma &\left({\frac {1}{I_{1}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma \\-{\frac {1}{I_{1}}}\cos \beta \cos ^{2}\gamma -{\frac {1}{I_{2}}}\cos \beta \sin ^{2}\gamma &\left({\frac {1}{I_{1}}}-{\frac {1}{I_{2}}}\right)\sin \beta \cos \beta \sin \gamma \cos \gamma &{\frac {1}{I_{1}}}\cos ^{2}\beta \cos ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{2}}}\cos ^{2}\beta \sin ^{2}\gamma +{\frac {1}{I_{3}}}\sin ^{2}\beta \\\end{pmatrix}}.}$$

この逆テンソルはラプラス-ベルトラミ演算子 を取得するために必要であり、これを で乗算すると、剛体回転子の量子力学的エネルギー演算子が得られます。 ${\displaystyle -\hbar ^{2}}$

上記の古典的ハミルトニアンは、剛体回転子の古典的統計力学で生じる位相積分に必要な次の式に書き直すことができる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}T={}&{\frac {1}{2I_{1}\sin ^{2}\beta }}\left((p_{\alpha }-p_{\gamma }\cos \beta )\cos \gamma -p_{\beta }\sin \beta \sin \gamma \right)^{2}+{}\\&{\frac {1}{2I_{2}\sin ^{2}\beta }}\left((p_{\alpha }-p_{\gamma }\cos \beta )\sin \gamma +p_{\beta }\sin \beta \cos \gamma \right)^{2}+{\frac {p_{\gamma }^{2}}{2I_{3}}}.\\\end{aligned}}}$$

通常どおり、量子化は、一般化された運動量を、その正準共役変数（位置） に関する第 1 導関数を与える演算子で置き換えることによって実行されます。したがって、およびについても 同様に成り立ちます。この規則により、3 つのオイラー角、オイラー角の時間導関数、および慣性モーメント（剛体回転子を特徴付ける）のかなり複雑な関数が、時間や慣性モーメントに依存せず、1 つのオイラー角のみに微分する単純な微分演算子で置き換えられることは注目に値します。 $${\displaystyle p_{\alpha }\longrightarrow -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \alpha }}}$$${\displaystyle p_{\beta }}$${\displaystyle p_{\gamma }}$${\displaystyle p_{\alpha }}$

量子化規則は、古典的な角運動量に対応する演算子を得るのに十分です。角運動量演算子には、空間固定角運動量演算子と物体固定角運動量演算子の 2 種類があります。どちらもベクトル演算子です。つまり、どちらも 3 つの成分を持ち、それぞれ空間固定フレームと物体固定フレームの回転時に、それらの成分がベクトル成分として相互に変換されます。ここでは、剛体回転子角運動量演算子の明示的な形式を示します(ただし、 を乗算する必要があることに注意してください)。物体固定角運動量演算子は と記述されます。これらは異常な交換関係を満たします。 ${\displaystyle \hbar }$${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}_{i}}$

量子化規則だけでは、古典ハミルトニアンから運動エネルギー演算子を得るのに十分ではありません。古典的には は、およびこれらの関数の逆関数と交換するため、古典ハミルトニアンにおけるこれらの三角関数の位置は任意です。量子化後は交換は成立しなくなり、ハミルトニアン (エネルギー演算子) における演算子と関数の順序が問題になります。ポドルスキー^{[1] は}1928 年に、ラプラス-ベルトラミ演算子( の乗算) が量子力学運動エネルギー演算子に適した形式であると提案しました。この演算子は、一般的な形式 (和の規則: 繰り返されるインデックス (この場合は 3 つのオイラー角) の合計) を持ちます。 ${\displaystyle p_{\beta }}$${\displaystyle \cos \beta }$${\displaystyle \sin \beta }$${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}\hbar ^{2}}$${\displaystyle q^{1},\,q^{2},\,q^{3}\equiv \alpha ,\,\beta ,\,\gamma }$

$${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\;|g|^{-{\frac {1}{2}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}|g|^{\frac {1}{2}}g^{ij}{\frac {\partial }{\partial q^{j}}},}$$ ここで、 はg テンソルの行列式です。 上記の計量テンソルの逆が与えられているため、オイラー角に関する運動エネルギー演算子の明示的な形式は、単純な代入によって得られます。(注: 対応する固有値方程式は、 Kronig と Rabi ^[3]によって初めて解決された形式 (対称回転子の特殊なケース) で、剛体回転子のシュレーディンガー方程式を与えます。これは、シュレーディンガー方程式を解析的に解くことができる数少ないケースの 1 つです。これらすべてのケースは、シュレーディンガー方程式の定式化から 1 年以内に解決されました。) ${\displaystyle |g|}$$${\displaystyle |g|=I_{1}\,I_{2}\,I_{3}\,\sin ^{2}\beta \quad {\hbox{and}}\quad g^{ij}=\left(\mathbf {g} ^{-1}\right)_{ij}.}$$

現在では、次のように進めるのが一般的です。は、物体固定角運動量演算子で表すことができることが示されます (この証明では、微分演算子と三角関数を注意深く交換する必要があります)。結果は、物体固定座標で表された古典的な式と同じように見えます。 のウィグナー D 行列へ の作用は単純です。特に、 球状回転子 ( ) のシュレーディンガー方程式が、に等しい退化エネルギーで解かれるようにします。 ${\displaystyle {\hat {H}}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {{\mathcal {P}}_{x}^{2}}{I_{1}}}+{\frac {{\mathcal {P}}_{y}^{2}}{I_{2}}}+{\frac {{\mathcal {P}}_{z}^{2}}{I_{3}}}\right].}$$${\displaystyle {\hat {\mathcal {P}}}_{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}^{2}\,D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=\hbar ^{2}j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\quad {\hbox{with}}\quad {\mathcal {P}}^{2}={\mathcal {P}}_{x}^{2}+{\mathcal {P}}_{y}^{2}+{\mathcal {P}}_{z}^{2},}$$${\displaystyle I=I_{1}=I_{2}=I_{3}}$${\displaystyle (2j+1)^{2}}$${\displaystyle {\tfrac {\hbar ^{2}j(j+1)}{2I}}}$

対称トップ（＝対称ローター）は によって特徴付けられる。 のとき、それは長楕円形（葉巻型）トップである。後者の場合、ハミルトニアンは と書き 、 を使用することになる。 したがって の 固有値は- 倍退化している。なぜなら の固有関数はすべて同じ固有値を持つからである。|k| > 0 のエネルギーは- 倍退化している。対称トップのシュレーディンガー方程式のこの正確な解は、1927 年に初めて発見された。^[3]${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$${\displaystyle I_{3}<I_{1}=I_{2}}$$${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2}}\left[{\frac {{\mathcal {P}}^{2}}{I_{1}}}+{\mathcal {P}}_{z}^{2}\left({\frac {1}{I_{3}}}-{\frac {1}{I_{1}}}\right)\right],}$$$${\displaystyle {\mathcal {P}}_{z}^{2}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=\hbar ^{2}k^{2}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.}$$$${\displaystyle {\hat {H}}\,D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=E_{jk}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\quad {\hbox{with}}\quad {\frac {1}{\hbar ^{2}}}E_{jk}={\frac {j(j+1)}{2I_{1}}}+k^{2}\left({\frac {1}{2I_{3}}}-{\frac {1}{2I_{1}}}\right).}$$${\displaystyle E_{j0}}$${\displaystyle 2j+1}$${\displaystyle m=-j,-j+1,\dots ,j}$${\displaystyle 2(2j+1)}$

非対称トップ問題（）は解析的に解くことができません。 ${\displaystyle I_{1}\neq I_{2}\neq I_{3}}$

長い間、分子の回転は実験的に直接観察することができませんでした。原子分解能の測定技術によってのみ、単一分子の回転を検出することができました。^{[4] [5]}低温では、分子（またはその一部）の回転は凍結されます。これは走査型トンネル顕微鏡によって直接視覚化することができ、つまり、高温での安定化は回転エントロピーによって説明できます。^[5]単一分子レベルでの回転励起の直接観察は、走査型トンネル顕微鏡を使用した非弾性電子トンネル分光法を使用して最近達成されました。分子状水素とその同位体の回転励起が検出されました。^{[6] [7]}

• バランスマシン
• ジャイロスコープ
• 赤外線分光法
• 剛体
• 回転分光法
• 分光法
• 振動分光法
• 量子回転子モデル

• DM Dennison (1931). 「多原子分子の赤外線スペクトルパートI」Rev. Mod. Phys . 3 (2): 280–345. Bibcode :1931RvMP....3..280D. doi :10.1103/RevModPhys.3.280.（特にセクション 2: 多原子分子の回転）。
• Van Vleck, JH (1951). 「分子内の角運動量ベクトルの結合」Rev. Mod. Phys . 23 (3): 213–227. Bibcode :1951RvMP...23..213V. doi :10.1103/RevModPhys.23.213.
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