ローターダイナミクス

ローターダイナミクス（またはローターダイナミクス）は、回転構造物の挙動と診断に関する応用力学の専門分野です。ジェットエンジンや蒸気タービンから自動車エンジンやコンピュータディスクストレージに至るまでの構造物の挙動を分析するためによく使用されます。最も基本的なレベルでは、ローターダイナミクスは、ベアリングで支えられ、単一の軸を中心に回転する内部現象の影響を受ける1 つ以上の機械構造物（ローター）に関係します。支持構造物はステーターと呼ばれます。回転速度が増加すると、振動の振幅は臨界速度と呼ばれる最大値を通過することがよくあります。この振幅は通常、回転構造物の不均衡によって引き起こされます。日常的な例としては、エンジンバランスやタイヤバランスがあります。これらの臨界速度での振動の振幅が過剰になると、壊滅的な故障が発生します。これに加えて、ターボ機械は、ターボ機械の内部構造に関連する不安定性を引き起こすことが多く、これを修正する必要があります。これは、大型ローターを設計するエンジニアの主な懸念事項です。

回転機械は、プロセスに関係する機構の構造に応じて振動を発生します。機械に欠陥があると、振動シグネチャが増大または励起される可能性があります。不均衡による機械の振動挙動は、回転機械の主要な側面の 1 つであり、設計時に詳細に調査して考慮する必要があります。回転機械を含むすべての物体は、物体の構造に応じて固有振動数を示します。回転機械の臨界速度は、回転速度がその固有振動数と一致したときに発生します。固有振動数が最初に発生する最低速度は最初の臨界速度と呼ばれますが、速度が増加すると、固有振動数の倍数である追加の臨界速度が見られます。したがって、回転の不均衡と不要な外力を最小限に抑えることは、共振を開始する全体的な力を減らすために非常に重要です。振動が共振すると、破壊的なエネルギーが生成されます。これは、回転機械を設計する際の主な懸念事項です。ここでの目標は、加速または減速時に臨界に近い操作を回避し、安全に通過することです。この点を無視すると、機器の損失、機械の過度の磨耗、修復不可能な壊滅的な破損、さらには人的傷害や死亡につながる可能性があります。

機械の実際のダイナミクスを理論的にモデル化することは困難です。計算は、さまざまな構造部品に似た単純化されたモデル (集中定数モデル)、モデルを数値的に解くことで得られる方程式 (レイリー・リッツ法)、そして最終的には機械の固有振動数をモデル化して解析するためのもう 1 つのアプローチである有限要素法(FEM) に基づいています。また、分布伝達関数法^[1]など、解析的および閉じた形式の固有振動数、臨界速度、不均衡質量応答を生成できる解析手法もいくつかあります。どの機械のプロトタイプでも、共振の正確な周波数を確認するためにテストが行​​われ、その後、共振が発生しないように再設計されます。

一定の回転速度Ωで回転する軸対称回転子 の運動方程式は、一般化された行列形式では、

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {M} {\ddot {\mathbf {q} }}(t)+(\mathbf {C} +\mathbf {G} ){\dot {\mathbf {q} }}(t)+(\mathbf {K} +\mathbf {N} ){\mathbf {q} }(t)&=&\mathbf {f} (t)\\\end{matrix}}}$

どこ：

Mは対称 質量行列である

Cは対称減衰行列である

Gは歪対称ジャイロ行列である

Kは対称ベアリングまたはシール剛性マトリックスです

N は、例えば遠心要素を含む偏向のジャイロマトリックスです。

ここで、q は慣性座標におけるローターの一般化座標であり、f は通常、不平衡を含む強制関数です。

ジャイロ行列G は、回転速度 Ω に比例します。上記の式の一般解には、回転速度に依存する複素 固有ベクトルが含まれます。この分野のエンジニアリングの専門家は、キャンベル図を使用してこれらの解を探ります。

ローターダイナミック方程式システムの興味深い特徴は、剛性、減衰、および質量の非対角項です。これらの項は、クロスカップルド剛性、クロスカップルド減衰、およびクロスカップルド質量と呼ばれます。正のクロスカップルド剛性がある場合、たわみによって、たわみの方向と反対の反力が負荷に反応し、正の回転方向の反力も発生します。この力が、利用可能な直接減衰および剛性と比較して十分に大きい場合、ローターは不安定になります。ローターが不安定な場合、通常は、壊滅的な故障を回避するために、マシンを直ちにシャットダウンする必要があります。

ジェフコット ローター (ヘンリー ホーマン ジェフコットにちなんで名付けられた) は、ヨーロッパではド ラバルローターとしても知られ、これらの方程式を解くために使用される単純化された集中定数モデルです。ジェフコット ローターは、シャフトに固定された巨大なディスクから等距離にある 2 つの柔軟なベアリングに取り付けられた、柔軟で質量のない均一なシャフトで構成されています。ローターの最も単純な形式では、ディスクが回転軸に直交する平面に制限されます。これにより、ローターの応答は横方向の振動のみに制限されます。ディスクが完全にバランスが取れている場合 (つまり、その幾何学的中心と質量の中心が一致している場合)、ローターは自由振動している 1 自由度の減衰のない振動子に類似しています。幾何学的中心と質量の中心の間に半径方向の距離がある場合、ローターは不均衡になり、ディスクの質量m、2 つの中心間の距離 (偏心率ε )、およびディスクの回転速度Ωに比例する力が生成されます。システムの等価剛性kを計算した後、ローター中心線からのディスクの半径方向のたわみを記述する次の2次線形常微分方程式を作成できます。^[2]

${\displaystyle m\mathbb {\ddot {r}} +k\mathbb {r} =m\varepsilon \Omega ^{2}sin(\Omega t)}$

半径方向の応答をグラフ化すると、角周波数の正弦波が表示されます。この横方向の振動は「旋回」と呼ばれ、この場合、回転速度に大きく依存します。回転速度は強制関数の振幅に影響を与えるだけでなく、システムの固有周波数付近で動的増幅を生成することもできます。 ${\displaystyle \Omega /2\pi }$

ジェフコットローターはローターダイナミクスの概念を導入するための便利なツールですが、実際のローターの挙動を大まかに近似した数学的な理想化にすぎないことに注意することが重要です。 ^[2]

右側には、単純なローター システムのキャンベル ダイアグラム( 「旋回速度マップ」または「周波数干渉図」とも呼ばれる) が表示されています。ピンクと青の曲線は、それぞれ後方旋回 (BW) モードと前方旋回 (FW) モードを示しており、回転速度が増加するにつれて発散します。BW 周波数または FW 周波数が、同期回転速度線との交点 A と B で示される回転速度 Ω に等しい場合、ローターの応答がピークを示すことがあります。これは臨界速度と呼ばれます。

ローターダイナミクスの歴史は、理論と実践の相互作用に満ちています。WJMランキンは1869 年に初めて回転軸の分析を行いましたが、彼のモデルは適切ではなく、超臨界速度は達成できないと予測しました。1895 年、ダンカリーは超臨界速度を説明する実験論文を発表しました。スウェーデンのエンジニアであるグスタフ デ ラバルは1889 年に蒸気タービンを超臨界速度まで運転し、カーは 1916 年に 2 番目の臨界速度の実験的証拠を示す論文を発表しました。

ヘンリー・ジェフコットは、理論と実践の矛盾を解決するためにロンドン王立協会から依頼を受けました。彼は1919 年にPhilosophical Magazineに、安定した超臨界速度の存在を確認する、今では古典的とみなされている論文を発表しました。アウグスト・フェップルは1895 年にほぼ同じ結論を発表しましたが、歴史は彼の研究をほとんど無視しました。

ジェフコットの研究から第二次世界大戦の勃発までの間に、不安定性とモデリング技術の分野で多くの研究が行われ、最終的にニルス・オットー・ミクレスタッド^[3]とMA・プロール^[4]の研究で、ローターを解析するための転送マトリックス法（TMM）が生まれました。今日、ローターダイナミクス解析に最も広く使用されている方法は、有限要素法です。

現代のコンピュータ モデルについては、Dara Childs の次の言葉が引用されています。「コンピュータ コードによる予測の質は、基本モデルの健全性と分析者の物理的な洞察力に大きく関係しています。優れたアルゴリズムやコンピュータ コードでは、悪いモデルやエンジニアリングの判断力の欠如は改善されません。」

F. ネルソン教授はローターダイナミクスの歴史について広範囲に渡って執筆しており、このセクションの大部分は彼の研究に基づいています。

ローター ダイナミック方程式系を解くことができるソフトウェア パッケージは多数あります。ローター ダイナミック固有のコードは、設計目的に適しており、より多用途です。これらのコードを使用すると、ベアリング係数、側面荷重、およびローター ダイナミクスの専門家だけが必要とするその他の多くの項目を簡単に追加できます。ローター ダイナミック固有ではないコードは、フル機能の FEA ソルバーであり、その解法技術は長年にわたって開発されてきました。ローター ダイナミック固有ではないコードは、ローター ダイナミクス用に設計されたコードを較正するためにも使用できます。

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