二乗平均平方根偏差

二乗平均平方根偏差（RMSD）または二乗平均平方根誤差（RMSE ）は、実際の観測値とそれらの推定値（例えば、機械学習の回帰タスクにおける真値／予測値）との間の距離を測る尺度としてよく用いられます。偏差は通常、スカラー値の差ですが、原子位置の二乗平均平方根偏差というバイオインフォマティクスの概念のように、変位のベクトル長に一般化することもできます。

サンプルの RMSD は、観測値と予測値の差の二乗平均です。これらの偏差は、推定に使用されたデータ サンプルに対して計算が行われる場合 (したがって常に推定値を参照する場合)は残差と呼ばれ、サンプル外 (つまり、推定値ではなく真の値を参照する完全なセット) で計算される場合は誤差(または予測誤差) と呼ばれます。RMSD は、さまざまなデータ ポイントの予測における誤差の大きさを単一の予測力の尺度に集約するために使用されます。RMSD は、スケールに依存するため、データセット間ではなく、特定のデータセットに対する異なるモデルの予測誤差を比較するための精度の尺度です。^{[ 1 ]}

RMSDは常に非負の値であり、0（実際にはほとんど達成されない）はデータへの完全な適合を示します。一般的に、RMSDは低いほど良いとされます。ただし、この指標は使用する数値のスケールに依存するため、異なる種類のデータ間での比較は無効となります。

RMSDは、二乗誤差の平均の平方根です。各誤差がRMSDに与える影響は、二乗誤差の大きさに比例します。したがって、大きな誤差はRMSDに不釣り合いに大きな影響を与えます。結果として、RMSDは外れ値に敏感です。^{[ 2 ] [ 3 ]}

RMSDを正規化することで、異なるスケールのデータセットやモデル間の比較が容易になります。文献には一貫した正規化の方法はありませんが、一般的な選択肢としては、測定データの平均値または範囲（最大値から最小値を引いた値として定義される）があります。^{[ 4 ]}

${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{y_{\max }-y_{\min }}}}$または${\displaystyle \mathrm {NRMSD} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}}$。

この値は一般的に正規化二乗平均平方根偏差または誤差（NRMSDまたはNRMSE）と呼ばれ、多くの場合パーセンテージで表され、値が低いほど残差分散が小さいことを示します。これは変動係数またはパーセントRMSとも呼ばれます。多くの場合、特にサンプルが小さい場合、サンプル範囲はサンプルのサイズによって影響を受ける可能性が高く、比較が困難になります。

RMSDをより有用な比較指標にするためのもう一つの方法は、RMSDを四分位範囲（IQR）で割ることです。RMSDをIQRで割ると、正規化された値は対象変数の極端な値に対する感度が低下します。

${\displaystyle \mathrm {RMSDIQR} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{IQR}}}$ どこ${\displaystyle IQR=Q_{3}-Q_{1}}$

と${\displaystyle Q_{1}={\text{CDF}}^{-1}(0.25)}$そして${\displaystyle Q_{3}={\text{CDF}}^{-1}(0.75),}$ここで、CDF ^−1は分位関数です。

測定値の平均値で正規化する場合、曖昧さを避けるために、RMSD の変動係数 CV(RMSD) という用語を使用することができます。^{[ 5 ]}これは、標準偏差の代わりに RMSD を使用した変動係数に類似しています。

${\displaystyle \mathrm {CV(RMSD)} ={\frac {\mathrm {RMSD} }{\bar {y}}}.}$

• 気象学では、数学モデルが大気の挙動をどれだけ効果的に予測できるかを確認するために用いられます。
• バイオインフォマティクスにおいて、原子位置の二乗平均平方根偏差は、重ね合わせたタンパク質の原子間の平均距離の尺度である。
• 構造に基づいた創薬設計において、RMSDは、リガンドの結晶構造とドッキング予測との間の差を示す指標である。
• 経済学では、RMSDは経済モデルが経済指標に適合するかどうかを判断するために使用されます。^{[ 6 ]}
• 実験心理学において、RMSDは、行動の数学的モデルや計算モデルが、経験的に観察された行動をどの程度うまく説明できるかを評価するために用いられる。
• GISにおいて、RMSDは空間解析やリモートセンシングの精度を評価するために用いられる指標の一つである。
• 水文地質学では、RMSDとNRMSDは地下水モデルの較正を評価するために使用されます。^{[ 7 ]}
• 画像科学において、RMSDはピーク信号対雑音比の一部であり、画像を再構成する方法が元の画像と比較してどの程度優れているかを評価するために使用される指標である。
• 計算神経科学では、RMSDはシステムが与えられたモデルをどれだけうまく学習できるかを評価するために使用されます。^{[ 8 ]}
• タンパク質核磁気共鳴分光法では、RMSDは得られた構造群の品質を評価するための指標として用いられる。
• Netflix Prizeへの応募作品は、テストデータセットに含まれる非公開の「真の」値からのRMSDを用いて審査された。
• 建物のエネルギー消費のシミュレーションでは、RMSEとCV(RMSE)を使用して、モデルを測定された建物の性能に合わせて較正します。^{[ 9 ]}
• X線結晶構造解析では、RMSD（およびRMSZ）は、分子の内部座標が拘束ライブラリの値からどれだけずれているかを測定するために使用されます。
• 制御理論では、RMSEは状態オブザーバの性能を評価するための品質指標として使用されます。^{[ 10 ]}
• 流体力学では、正規化二乗平均平方根偏差（NRMSD）、変動係数（CV）、およびパーセントRMSを用いて、速度分布、温度分布、ガス種濃度などの流れ挙動の均一性を定量化します。これらの値は業界標準と比較され、流れや熱に関する機器およびプロセスの設計を最適化するために用いられます。

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• 統計学における誤差と残差
• 変動係数
• 正規化推定誤差の二乗