一般化極値分布

表記	${\displaystyle {\textrm {GEV}}(\mu ,\sigma ,\xi )}$
パラメータ	${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$(場所) (規模) (形状) ${\displaystyle \sigma >0}$ ${\displaystyle \xi \in \mathbb {R} }$
サポート	${\displaystyle x\in {\big [}\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }},+\infty {\big )}}$いついついつ${\displaystyle \xi >0}$ ${\displaystyle x\in (-\infty ,\infty )}$${\displaystyle \xi =0}$ ${\displaystyle x\in {\big (}-\infty ,\mu -{\tfrac {\sigma }{\xi }}{\big ]}}$${\displaystyle \xi <0}$
PDF	${\displaystyle {\tfrac {1}{\sigma }}\,t(x)^{\xi +1}\,\mathrm {e} ^{-t(x)}}$ どこ${\displaystyle t(x)={\begin{cases}\left[1+\xi \left({\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)\right]^{-1/\xi }&{\text{if }}\xi \neq 0\\\exp \left(-{\tfrac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle \mathrm {e} ^{-t(x)}}$サポートのため（上記参照）${\displaystyle x}$
平均	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +{\dfrac {\sigma (g_{1}-1)}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0,\xi <1\\\mu +\sigma \gamma &{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq 1\end{cases}}}$ ここで（ガンマ関数を参照）はオイラー定数である。${\displaystyle g_{k}=\Gamma (1-k\xi )}$ ${\displaystyle \gamma }$
中央値	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(\ln 2)^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu -\sigma \ln \ln 2&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
モード	${\displaystyle {\begin{cases}\mu +\sigma \,{\dfrac {(1+\xi )^{-\xi }-1}{\xi }}&{\text{if }}\xi \neq 0\\\mu &{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
分散	${\displaystyle {\begin{cases}\sigma ^{2}\,{\dfrac {g_{2}-g_{1}^{2}}{\xi ^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{2}}\\\sigma ^{2}\,{\frac {\pi ^{2}}{6}}&{\text{if }}\xi =0\\\infty &{\text{if }}\xi \geq {\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$
歪度	${\displaystyle {\begin{cases}\operatorname {sgn}(\xi )\,{\dfrac {g_{3}-3g_{2}g_{1}+2g_{1}^{3}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{3/2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{3}}\\{\dfrac {12{\sqrt {6}}\,\zeta (3)}{\pi ^{3}}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$ ここで は符号関数であり、 はリーマンゼータ関数である。${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$ ${\displaystyle \zeta (x)}$
過剰尖度	${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {g_{4}-4g_{3}g_{1}+6g_{1}^{2}g_{2}-3g_{1}^{4}}{(g_{2}-g_{1}^{2})^{2}}}&{\text{if }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi <{\tfrac {1}{4}}\\{\tfrac {12}{5}}&{\text{if }}\xi =0\end{cases}}}$
エントロピ	${\displaystyle \ln(\sigma )+\gamma \xi +\gamma +1}$
MGF の	Muraleedharan、Guedes Soares、Lucas (2011) [1]を参照
CF	Muraleedharan、Guedes Soares、Lucas (2011) [1]を参照

確率論と統計学において、一般化極値分布（GEV）^[2]は、極値理論の範囲内で開発された連続確率分布 の族であり、ガンベル族、フレシェ族、ワイブル族（タイプI、II、III極値分布としても知られる）を組み合わせたものである。極値定理によれば、GEV分布は、独立した同一分布のランダム変数のシーケンスの適切に正規化された最大値の唯一の可能な極限分布である。^[3]極限分布が存在する必要があり、そのためには分布の裾に正則条件が必要である。それにもかかわらず、GEV分布はランダム変数の長い（有限）シーケンスの最大値のモデル化のための近似としてよく使用される。

いくつかの応用分野では、一般化極値分布はフィッシャー・ティペット分布として知られており、以下に概説する3つの異なる形式を認識したRAフィッシャーとLHCティペットにちなんで名付けられています。ただし、この名前の使用は、ガンベル分布の特殊なケースを意味するために限定されることがあります。3つの分布すべてに共通の関数形式の起源は、少なくともジェンキンソン（1955）^[4]にまで遡ります が、フォン・ミーゼス（1936）によって与えられたとも言われています^[3] 。^[5]

標準化変数（位置パラメータは任意の実数、スケールパラメータは ）を使用すると、GEV分布の累積分布関数は次のようになります。 ${\displaystyle s={\tfrac {x-\mu }{\sigma }}}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \sigma >0}$

$${\displaystyle F(s;\xi )={\begin{cases}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}s\leq -{\tfrac {1}{\xi }},\\1&{\text{for }}\xi <0{\text{ and }}s\geq {\tfrac {1}{|\xi |}},\end{cases}}}$$

ここで、形状パラメータ は任意の実数です。したがって、 の場合、式 は に対して有効ですが、 の場合、式 は に対して有効です。最初のケースでは、は負の下端点で、 は0です。2 番目のケースでは、 は正の上端点で、 は1 です。 の場合、2 番目の式は形式的には未定義であり、最初の式に置き換えられます。最初の式は、2 番目の の極限を取った結果であり、 のように、この場合 は任意の実数です。 ${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle \xi <0}$${\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle -{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \xi \to 0}$${\displaystyle s}$

の特殊なケースでは となるため、およびの値に関係なく となります。 ${\displaystyle x=\mu }$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle F(0;\xi )=\mathrm {e} ^{-1}\approx 0.368}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \sigma }$

標準化分布の確率密度関数は

$${\displaystyle f(s;\xi )={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-s}\exp(-\mathrm {e} ^{-s})&{\text{for }}\xi =0,\\(1+\xi s)^{-(1+1/\xi )}\exp {\bigl (}\!-(1+\xi s)^{-1/\xi }{\bigr )}&{\text{for }}\xi \neq 0{\text{ and }}\xi s>-1,\\0&{\text{otherwise;}}\end{cases}}}$$

の場合、は再び有効であり、の場合、 は有効です。密度は、該当する範囲の外側ではゼロです。 の場合、密度は実数線全体で正です。 ${\displaystyle s>-{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle \xi >0}$${\displaystyle s<-{\tfrac {1}{\xi }}}$${\displaystyle \xi <0}$${\displaystyle \xi =0}$

累積分布関数は逆関数なので、GEV分布の分位関数は明示的な式を持ち、すなわち

$${\displaystyle Q(p;\mu ,\sigma ,\xi )={\begin{cases}\mu -\sigma \ln(-\ln p)&{\text{for }}\xi =0{\text{ and }}p\in (0,1),\\\mu +{\dfrac {\sigma }{\xi }}{\big (}(-\ln p)^{-\xi }-1{\big )}&{\text{for }}\xi >0{\text{ and }}p\in [0,1),{\text{ or }}\xi <0{\text{ and }}p\in (0,1];\end{cases}}}$$

したがって、分位密度関数は ${\displaystyle q={\tfrac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} p}}}$

${\displaystyle q(p;\sigma ,\xi )={\frac {\sigma }{(-\ln p)^{\xi +1}\,p}}\qquad {\text{for }}p\in (0,1),}$

および任意の実数 に対して有効です。 ${\displaystyle \sigma >0}$${\displaystyle \xi }$

^[6]

を（ガンマ関数 ）に使用した場合、分布のいくつかの簡単な統計は次のように与えられます。^{[引用が必要]}${\displaystyle \ g_{k}\equiv \Gamma (1-k\ \xi )~}$${\displaystyle ~k\in \{\ 1,2,3,4\ \}\ ,}$${\displaystyle \ \Gamma (\cdot )\ }$

${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \left(X\right)=\mu +{\bigl (}\ g_{1}-1\ {\bigr )}{\frac {\ \sigma \ }{\xi }}\quad }$のために${\displaystyle \quad \xi <1\ ,}$

${\displaystyle \ \operatorname {Var} \left(X\right)={\bigl (}\ g_{2}-g_{1}^{2}\ {\bigr )}{\frac {~\sigma ^{2}\ }{~\xi ^{2}\ }}\ ,}$

${\displaystyle \ \operatorname {Mode} \left(X\right)=\mu +{\Bigl (}\ \left(1+\xi \right)^{-\xi }-1\ {\Bigr )}{\frac {\ \sigma \ }{\xi }}~.}$

歪度は​

${\displaystyle \ \operatorname {skewness} \left(X\right)={\begin{cases}{\frac {\ {\bigl (}\ g_{3}\ -\ 3\ g_{2}\ g_{1}\ +\ 2\ g_{1}^{3}\ {\bigr )}\ }{{\bigl (}\ g_{2}-g_{1}^{2}\ {\bigr )}^{3/2}}}\cdot \operatorname {sgn}(\xi )\quad ~~{\mathsf {for}}\quad \xi \neq 0\ ,\\\\\quad {\frac {\ 12{\sqrt {6\ }}\ \zeta (3)\ }{~\pi ^{3}}}\quad \approx \quad 1.14\quad \qquad {\mathsf {for}}\quad \xi =0~.\end{cases}}}$

過剰尖度は次のようになります。

${\displaystyle \ \operatorname {kurtosis\ excess} \left(X\right)={\frac {\ \left(\ g_{4}-4\ g_{3}\ g_{1}+6\ g_{2}\ g_{1}^{2}-3\ g_{1}^{4}\ \right)\ }{\left(\ g_{2}-g_{1}^{2}\ \right)^{2}}}-3~.}$

形状パラメータは分布の裾の挙動を制御します。および の 3 つのケースによって定義されるサブファミリは、それぞれGumbelファミリ、Fréchet ファミリ、およびWeibullファミリに対応し、その累積分布関数は以下に表示されます。 ${\displaystyle \ \xi \ }$${\displaystyle \ \xi =0\ ,}$ ${\displaystyle \ \xi >0\ ,}$${\displaystyle \ \xi <0\ ;}$

• タイプIまたはガンベル極値分布、すべてのケース${\displaystyle ~\xi =0\ ,\quad }$${\displaystyle \quad x\in {\Bigl (}\ -\infty \ ,\ +\infty \ {\Bigr )}\ :}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ 0\ )=\exp \left(-\exp \left(-{\frac {\ x-\mu \ }{\sigma }}\right)\right)~.}$

• タイプIIまたはフレシェ極値分布、すべてのケース${\displaystyle ~\xi >0\ ,\quad }$${\displaystyle \quad x\in \left(\ \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\ ,\ +\infty \ \right)\ :}$

させて、${\displaystyle \quad \alpha \equiv {\tfrac {\ 1\ }{\xi }}>0\quad }$${\displaystyle \quad y\equiv 1+{\tfrac {\xi }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}0&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\leq \mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}\\\exp \left(-{\frac {1}{~y^{\alpha }\ }}\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x>\mu -{\tfrac {\sigma }{\ \xi \ }}~.\end{cases}}}$

• タイプIIIまたは逆ワイブル極値分布、すべてのケース${\displaystyle ~\xi <0\ ,\quad }$${\displaystyle \quad x\in \left(-\infty \ ,\ \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\ \right)\ :}$

させて、${\displaystyle \quad \alpha \equiv -{\tfrac {1}{\ \xi \ }}>0\quad }$${\displaystyle \quad y\equiv 1-{\tfrac {\ |\ \xi \ |\ }{\sigma }}(x-\mu )\ ;}$

${\displaystyle F(\ x;\ \mu ,\ \sigma ,\ \xi \ )={\begin{cases}\exp \left(-y^{\alpha }\right)&y>0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x<\mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}\\1&y\leq 0\quad {\mathsf {~or\ equiv.~}}\quad x\geq \mu +{\tfrac {\sigma }{\ |\ \xi \ |\ }}~.\end{cases}}}$

以下のサブセクションでは、これらの分布の特性について説明します。

ここでの理論はデータの最大値に関するもので、議論されている分布は最大値の極値分布です。データの最小値に対する一般化された極値分布は、たとえば分布関数にを代入し、1 から累積分布を引くことによって得られます。つまり、を に置き換えます。そうすることで、さらに別の分布族が得られます。 ${\displaystyle \ -x\;}$${\displaystyle \;x\;}$${\displaystyle \ F(x)\ }$${\displaystyle \ 1-F(-x)\ }$

通常のワイブル分布は信頼性アプリケーションで使用され、ここでの極値理論の定式化での使用とは対照的に、厳密に正のサポートを与える変数を使用して、ここでの分布から取得されます。これは、通常のワイブル分布が、データの最大値ではなくデータの最小値を扱う場合に使用されるために発生します。ここでの分布は、ワイブル分布の通常の形式と比較して追加のパラメーターを持ち、さらに、分布が下限ではなく上限を持つように反転されています。重要なのは、GEV のアプリケーションでは上限が不明であるため推定する必要があるのに対し、信頼性アプリケーションで通常のワイブル分布を適用する場合、下限は通常 0 であることがわかっていることです。 ${\displaystyle \ t=\mu -x\ ,}$

3 つの極値分布の対象範囲の違いに注意してください。ガンベル分布は無制限ですが、フレシェ分布には下限値があり、逆ワイブル分布には上限値があります。より正確には、単変量極値理論は、初期法則 X に従って、特に元の分布の裾に応じて、 3 つのうちのどれが限界法則であるかを説明します。

タイプIをタイプIIおよびタイプIIIに関連付ける方法は次の通りである: あるランダム変数の累積分布関数がタイプIIであり、正の数をサポートとしている場合、つまり の累積分布関数はタイプIであり、つまり同様に、 の累積分布関数がタイプIIIであり、負の数をサポートとしている場合、つまり の累積分布関数はタイプIであり、つまり${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ \alpha \ )\ ,}$${\displaystyle \ln X}$${\displaystyle \ F(\ x;\ \ln \sigma ,\ {\tfrac {1}{\ \alpha \ }},\ 0\ )~.}$${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ F(\ x;\ 0,\ \sigma ,\ -\alpha \ )\ ,}$${\displaystyle \ \ln(-X)\ }$${\displaystyle \ F(\ x;\ -\ln \sigma ,\ {\tfrac {\ 1\ }{\alpha }},\ 0\ )~.}$

多項ロジットモデル、および他の特定のタイプのロジスティック回帰は、誤差変数がガンベル分布（タイプ I 一般化極値分布）として分布する潜在変数モデルとして表現できます。この表現は、ロジットモデル、プロビットモデル、およびそれらのさまざまな拡張を含む離散選択モデルの理論で一般的であり、2 つのタイプ I GEV 分布変数の差がロジスティック分布に従い、そのロジット関数が分位関数であるという事実に由来しています。したがって、タイプ I GEV 分布は、これらのロジットモデルで、対応するプロビットモデルでの正規分布と同じ役割を果たします。

一般化極値分布の累積分布関数は、安定性公理方程式を解きます。^[要出典]一般化極値分布は、最大安定分布の特殊なケースであり、最小安定分布の変換です。

• GEV分布は、保険から金融まで幅広い分野で「テールリスク」の扱いに広く使用されています。金融の場合、リスク値などの指標を介してさまざまな金融リスクを評価する手段として考えられてきました。^{[7] [8]}

• しかし、結果として得られる形状パラメータは、定義されていない平均値と分散につながる範囲内にあることが判明しており、これは信頼性の高いデータ分析が不可能であることが多いという事実を強調しています。^{[10] [全文引用が必要]}
• 水文学では、GEV分布は年間最大日降雨量や河川流量などの極端な事象に適用されます。^[11] CumFreqで作成された青い図^[9]は、GEV分布を年間最大日降雨量の順位付けに当てはめる例を示しており、二項分布に基づく90％信頼区間も示されています。降雨量データは、累積頻度分析の一部として位置をプロットすることによって表されます。

を 平均0、分散1のiid正規分布する確率変数とする。フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理^[12]によれば、 ${\displaystyle \ \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ }$ ${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\sim GEV(\mu _{n},\sigma _{n},0)\ ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)\\\sigma _{n}&=\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ n\ \mathrm {e} \ }}\right)-\Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)~.\end{aligned}}}$

これにより、例えばGEV 分布の平均から の 平均を推定することができます。${\displaystyle \ \max\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \}\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \max \left\{\ X_{i}\ {\big |}\ 1\leq i\leq n\ \right\}\ \right\}&\approx \mu _{n}+\gamma _{\mathsf {E}}\ \sigma _{n}\\&=(1-\gamma _{\mathsf {E}})\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {\ 1\ }{n}}\right)+\gamma _{\mathsf {E}}\ \Phi ^{-1}\left(1-{\frac {1}{\ e\ n\ }}\right)\\&={\sqrt {\log \left({\frac {n^{2}}{\ 2\pi \ \log \left({\frac {n^{2}}{2\pi }}\right)\ }}\right)~}}\ \cdot \ \left(1+{\frac {\gamma }{\ \log n\ }}+{\mathcal {o}}\left({\frac {1}{\ \log n\ }}\right)\right)\ ,\end{aligned}}}$

ここで、 はオイラー・マスケローニ定数です。 ${\displaystyle \ \gamma _{\mathsf {E}}\ }$

1. もしそうなら${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,\xi )\ }$${\displaystyle \ mX+b\sim {\textrm {GEV}}(m\mu +b,\ m\sigma ,\ \xi )\ }$
2. （ガンベル分布）ならば${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Gumbel}}(\mu ,\ \sigma )\ }$${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
3. （ワイブル分布）ならば${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$${\displaystyle \ \mu \left(1-\sigma \log {\tfrac {X}{\sigma }}\right)\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
4. ならば（ワイブル分布）${\displaystyle \ X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$${\displaystyle \ \sigma \exp(-{\tfrac {X-\mu }{\mu \sigma }})\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ }$
5. （指数分布）ならば${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ }$${\displaystyle \ \mu -\sigma \log X\sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)\ }$
6. かつの場合(ロジスティック分布を参照)。${\displaystyle \ X\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{X},\beta )\ }$${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha _{Y},\beta )\ }$${\displaystyle \ X-Y\sim \mathrm {Logistic} (\alpha _{X}-\alpha _{Y},\beta )\ }$
7. ならば（合計はロジスティック分布ではありません）。${\displaystyle \ X\ }$${\displaystyle \ Y\sim \mathrm {Gumbel} (\alpha ,\beta )\ }$${\displaystyle \ X+Y\nsim \mathrm {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ }$

ご了承ください${\displaystyle \ \operatorname {\mathbb {E} } \{\ X+Y\ \}=2\alpha +2\beta \gamma \neq 2\alpha =\operatorname {\mathbb {E} } \left\{\ \operatorname {Logistic} (2\alpha ,\beta )\ \right\}~.}$

4.の累積分布は次のようになります。 ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Weibull}}(\sigma ,\,\mu )\ ,}$${\displaystyle \ g(x)=\mu \left(1-\sigma \log {\frac {X}{\sigma }}\right)\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu \left(1-\sigma \log {\frac {\ X\ }{\sigma }}\right)<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log {\frac {X}{\sigma }}>{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\sigma \exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\ \right\}\\&=\exp \left(-\left({\cancel {\sigma }}\exp \left[{\frac {1-x/\mu }{\sigma }}\right]\cdot {\cancel {\frac {1}{\sigma }}}\right)^{\mu }\right)\\&=\exp \left(-\left(\exp \left[{\frac {{\cancelto {\mu }{1}}-x/{\cancel {\mu }}}{\sigma }}\right]\right)^{\cancel {\mu }}\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[{\frac {\mu -x}{\sigma }}\right]\right)\\&=\exp \left(-\exp \left[-s\right]\right),\quad s={\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ,\end{aligned}}}$

これは${\displaystyle \sim {\textrm {GEV}}(\mu ,\,\sigma ,\,0)~.}$

5.の累積分布は次のようになります。 ${\displaystyle \ X\sim {\textrm {Exponential}}(1)\ ,}$${\displaystyle \ g(X)=\mu -\sigma \log X\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \mu -\sigma \log X<x\ \right\}&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ \log X>{\frac {\mu -x}{\sigma }}\ \right\}\\{}\\&{\mathsf {\ Since\ the\ logarithm\ is\ always\ increasing:\ }}\\{}\\&=\operatorname {\mathbb {P} } \left\{\ X>\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\ \right\}\\&=\exp \left[-\exp \left({\frac {\ \mu -x\ }{\sigma }}\right)\right]\\&=\exp \left[-\exp(-s)\right]\ ,\quad ~{\mathsf {where}}~\quad s\equiv {\frac {x-\mu }{\sigma }}\ ;\end{aligned}}}$

これは累積分布である${\displaystyle \ \operatorname {GEV} (\mu ,\sigma ,0)~.}$

• 極値理論（一変量理論）
• フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理
• 一般化パレート分布
• ドイツの戦車問題、サンプル最大値を与えられた母集団最大値の反対の問題
• ピッカンズ – バルケマ – デ ハーンの定理