七角形

正七角形
正七角形
タイプ	正多角形
エッジと頂点	7
シュレーフリ記号	{7}
コクセター・ディンキン図
対称グループ	二面角（D 7）、順序2×7
内角（度）	≈128.571°
プロパティ	凸状、環状、正三角形、等角、等軸
デュアルポリゴン	自己

幾何学では、七角形または七角形は、 7 辺の多角形または 7 角形です。

七角形は、角度を意味するギリシャ語の接尾辞「-agon」とともに「 sept -」（ラテ​​ン語由来の数字接頭辞septua-の省略形であり、ギリシャ語由来の数字接頭辞hepta-は同源である）を使用して、七角形と呼ばれることもある。

すべての辺とすべての角度が等しい正七角形の内角は5π/7ラジアン(128 4 ⁄ 7 度) です。シュレーフリ記号は {7} です。

辺の長さがaの正七角形の面積（A ）は次のように表されます。

${\displaystyle A={\frac {7}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{7}}\simeq 3.634a^{2}.}$

これは、1 辺が 1 つの七角形を、頂点が中心と七角形の頂点にある 7 つの三角形の「パイ スライス」に分割し、次に、共通辺として外接線を使用して各三角形を半分にするとわかります。外接線はのコタンジェントの半分であり、14 個の小さな三角形のそれぞれの面積は外接線の 4 分の 1 です。 ${\displaystyle \pi /7,}$

半径Rの円に内接する正七角形の面積は 、円自体の面積は、したがって正七角形は外接円の約 0.8710 を占めます。 ${\displaystyle {\tfrac {7R^{2}}{2}}\sin {\tfrac {2\pi }{7}},}$${\displaystyle \pi R^{2};}$

7 はピアポント素数だがフェルマー素数ではないため、正七角形はコンパスと定規では作図できませんが、マークの付いた定規とコンパスでは作図できます。これは、この特性を持つ最小の正多角形です。このタイプの作図は、ニューシス作図と呼ばれます。また、コンパス、定規、角の三等分線でも作図できます。定規とコンパスによる作図が不可能であることは、既約な3 次方程式x ³ + x ² − 2 x − 1の零点であることが観察されていることからわかります。したがって、この多項式は2cos( 2π ⁄ 7 )の最小多項式ですが、作図可能な数の最小多項式の次数は2 の累乗でなければなりません。 ${\displaystyle \scriptstyle {2\cos {\tfrac {2\pi }{7}}\approx 1.247}}$

約 0.2% の誤差で実用的に使用できる近似値は、同じ円に内接する正三角形の辺の半分を、正七角形の辺の長さとして使用することです。この近似値を最初に発見したのは誰かは不明ですが、西暦 1 世紀にアレクサンドリアのヘロンの『計量法』で言及されており、中世イスラムの数学者によく知られており、アルブレヒト・デューラーの著作にも見られます。^{[2] [3]} A を外接円の円周上に置きます。弧BOC を描きます。すると、七角形の辺の近似値が得られます。 ${\displaystyle \scriptstyle {BD={1 \over 2}BC}}$

この近似では、単位円に内接する七角形の辺に を使用しますが、正確な値は です。 ${\displaystyle \scriptstyle {{\sqrt {3}} \over 2}\approx 0.86603}$${\displaystyle \scriptstyle 2\sin {\pi \over 7}\approx 0.86777}$

誤差を示す例:
外接円の半径r = 1 mの場合、第1辺の絶対誤差は約-1.7 mmになります。

コンパスと定規を使って七角形を近似的に描く方法もありますが、描くのに時間がかかります。 ^[4]

正七角形は、D _7h 点群(シェーンフライス記法)に属し、位数は 28 です。対称要素は、7 倍の固有回転軸 C ₇、7 倍の非固有回転軸 S ₇、7 つの垂直鏡面 σ _v、7 つの 2 倍回転軸 C ₂、および同じく七角形平面にある水平鏡面 σ _hです。^[6]

正七角形の辺a、短い対角線 b、長い対角線cは、a < b < cであり、^{[7]を満たす：補題 1}

${\displaystyle a^{2}=c(cb),}$

${\displaystyle b^{2}=a(c+a),}$

${\displaystyle c^{2}=b(a+b),}$

${\displaystyle {\frac {1}{a}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}}$ （光学方程式）

そしてそれゆえ

${\displaystyle ab+ac=bc,}$

そして^{[7] ：コロ2}

${\displaystyle b^{3}+2b^{2}c-bc^{2}-c^{3}=0,}$

${\displaystyle c^{3}-2c^{2}a-ca^{2}+a^{3}=0,}$

${\displaystyle a^{3}-2a^{2}b-ab^{2}+b^{3}=0,}$

したがって、b / c、c / a、およびa / b はすべて3 次方程式 を満たします。ただし、これはcasus irreducibilisの例であるため、この方程式の解には純粋に実数の項を含む代数式は存在しません。 ${\displaystyle t^{3}-2t^{2}-t+1=0.}$

正七角形の辺の長さに対する対角線のおおよその長さは次のように表される。

${\displaystyle b\approx 1.80193\cdot a,\qquad c\approx 2.24698\cdot a.}$

また、^[8]

${\displaystyle b^{2}-a^{2}=ac,}$

${\displaystyle c^{2}-b^{2}=ab,}$

${\displaystyle a^{2}-c^{2}=-bc,}$

そして

${\displaystyle {\frac {b^{2}}{a^{2}}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}}}+{\frac {a^{2}}{c^{2}}}=5.}$

七角形三角形は、正七角形の最初の頂点、2番目、4番目の頂点（任意の開始頂点から）と一致する頂点と角度を持ち、したがってその辺は正七角形の1辺と2つの特定の対角線と一致します。^[7]${\displaystyle \pi /7,2\pi /7,}$${\displaystyle 4\pi /7.}$

七角柱と七角反柱を除き、完全に正多角形から構成される凸多面体には、面として七角形が含まれることはありません。

正七角形から、シュレーフリ記号{7/2} と {7/3}で表される2 種類の星型七角形 (ヘプタグラム) を作成できます。このとき、約数は接続間隔です。

赤い七角形の中に、青、{7/2}、緑の{7/3}の星型七角形があります。

正三角形、七角形、42角形は平面の頂点を完全に埋めることができる。しかし、これらの多角形だけで平面をタイル張りすることはできない。なぜなら、隙間を作ったり重なりを作ったりせずに、これらの多角形のいずれかを三角形の3番目の辺に当てはめる方法がないためである。双曲平面では、正七角形によるタイル張りが可能である。ユークリッド平面では、凹型七角形のタイル張りも可能である。^[9]

正七角形はユークリッド平面の二重格子パッキングを有し、そのパッキング密度は約0.89269である。これは任意の凸集合の最適二重格子パッキング密度、より一般的には任意の凸集合の最適パッキング密度として可能な最低密度であると推測されている。^[10]

イギリスでは、1982年以来、50ペンスと20ペンスの2種類の七角形硬貨が流通している。バルバドスドルも七角形である。厳密に言えば、硬貨の形状はルーローの七角形、つまり一定の幅の曲線を持つ曲線七角形である。側面は外側に湾曲しており、自動販売機に硬貨を挿入したときに硬貨がスムーズに転がるようになっている。ボツワナの2プラ、1プラ、50テーベ、5テーベの額面のプラ硬貨も、正曲線の七角形である。ルーローの七角形を模した硬貨は、モーリシャス、アラブ首長国連邦、タンザニア、サモア、パプアニューギニア、サントメ・プリンシペ、ハイチ、ジャマイカ、リベリア、ガーナ、ガンビア、ヨルダン、ジャージー、ガーンジー、マン島、ジブラルタル、ガイアナ、ソロモン諸島、フォークランド諸島、セントヘレナでも流通しています。ザンビアの1000クワチャ硬貨は、まさに七角形です。

ブラジルの25セント硬貨の円盤には七角形が刻まれている。ソビエト時代を含むジョージアの国章の古いバージョンのいくつかでは、要素として{7/2}七角形が使用されていた。

20 ユーロ セント硬貨を含む多くの硬貨は、ス​​ペインの花と呼ばれる形で七角形の対称性を持っています。

建築において、七角形の平面図は非常に珍しい。注目すべき例としては、ドイツのシュタットハーゲンにあるエルンスト公爵の霊廟が挙げられる。

米国の多くの警察バッジには、{7/2} の七芒星の輪郭が描かれています。

• ヘプタグラム
• ポリゴン

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• ジョンソンによる七角形
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• 多角形 – 七角形
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• 七角形、アニメーションによる近似構造
• 与えられた辺を持つ七角形、アニメーションによる近似構築

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