局所体の有限拡張

代数的整数論では、完備化を通じて、素イデアルの分岐の研究は、分岐群などのツールの助けを借りてより詳細な分析を実行できる局所体の場合にまで縮小されることが多い。

この記事では、局所体は非アルキメデス体であり、有限の剰余体を持ちます。

を有限剰余体とガロア群を持つ非アルキメデス局所体の有限ガロア拡大とします。このとき、以下は同値です。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \ell /k}$${\displaystyle G}$

• (i) は非分岐である。${\displaystyle L/K}$
• (ii) は体であり、 はの最大イデアルです。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {p}}{\mathcal {O}}_{L}}$${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$
• （iii）${\displaystyle [L:K]=[\ell :k]}$
• (iv)の慣性部分群は自明である。${\displaystyle G}$
• (v)が の均一化元である場合、も の均一化元です。${\displaystyle \pi}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle L}$

が不分岐のとき、(iv) (または(iii)) により、G は有限巡回であると同一視できます。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle \operatorname {Gal} (\ell /k)}$

上記は、局所体Kの有限不分岐拡大とKの剰余体の 有限可分拡大の間にカテゴリの同値性があることを意味します。

再び、を有限剰余体とガロア群を持つ非アルキメデス局所体の有限ガロア拡大とします。以下は同値です。 ${\displaystyle L/K}$${\displaystyle l/k}$${\displaystyle G}$

• ${\displaystyle L/K}$完全に分岐している
• ${\displaystyle G}$その慣性サブグループと一致します。
• ${\displaystyle L=K[\pi ]}$ここで はアイゼンシュタイン多項式の根です。${\displaystyle \pi}$
• ノルムには の均一化子が含まれています。${\displaystyle N(L/K)}$${\displaystyle K}$

• アビヤンカールの補題
• 非分岐射

• Cassels, JWS (1986)。局所体。ロンドン数学協会学生テキスト。第3巻。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-31525-5.ZBL0595.12006  。​
• ワイス、エドウィン (1976)。代数的数論 (第 2 版、無修正)。チェルシー出版。ISBN 0-8284-0293-0.ZBL0348.12101  。​