ハッセ・アルフの定理

数学、特に局所類体論において、ハッセ・アルフの定理は、有限ガロア拡大のガロア群の上位番号付けフィルターのジャンプに関する結果である。剰余体が有限である場合のその特殊なケースは、もともとヘルムート・ハッセによって証明され^{[ 1 ] [ 2 ]}、一般的な結果はカヒト・アルフによって証明された^{[ 3 ] [ 4 ]}。

Gが次数 の巡回行列であると仮定します${\displaystyle p^{n}}$、${\displaystyle p}$残留物の特性と${\displaystyle G(i)}$のサブグループである${\displaystyle G}$順序${\displaystyle p^{ni}}$定理によれば、正の整数が存在する。${\displaystyle i_{0},i_{1},...,i_{n-1}}$そのため

${\displaystyle G_{0}=\cdots =G_{i_{0}}=G=G^{0}=\cdots =G^{i_{0}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}}=G(1)=G^{i_{0}+1}=\cdots =G^{i_{0}+i_{1}}}$

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+1}=\cdots =G_{i_{0}+pi_{1}+p^{2}i_{2}}=G(2)=G^{i_{0}+i_{1}+1}}$

...

${\displaystyle G_{i_{0}+pi_{1}+\cdots +p^{n-1}i_{n-1}+1}=1=G^{i_{0}+\cdots +i_{n-1}+1}.}$^{[ 4 ]}

非可換拡張の場合、上側フィルターにおけるジャンプは整数である必要はない。ジャン＝ピエール・セールは、ガロア群が四元数群である完全分岐拡張の例を示した。${\displaystyle Q_{8}}$8次の

• ${\displaystyle G_{0}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{1}=Q_{8}}$
• ${\displaystyle G_{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{3}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle G_{4}=1}$

上の番号付けは、

• ${\displaystyle G^{n}=Q_{8}}$ のために${\displaystyle n\leq 1}$
• ${\displaystyle G^{n}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ のために${\displaystyle 1<n\leq 3/2}$
• ${\displaystyle G^{n}=1}$ のために${\displaystyle 3/2<n}$

そのため、非整数値でジャンプが発生します。${\displaystyle n=3/2}$。

• ノイキルヒ、ユルゲン(1999)。代数学ザーレン理論。Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  322. ベルリン: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-65399-8。MR 1697859。Zbl 0956.11021。  
• セール、ジャン＝ピエール（1979）、『局所場』、大学院数学テキスト、第67巻、マービン・ジェイ・グリーン バーグ訳、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 0-387-90424-7MR 0554237、Zbl 0423.12016​