エンタングルメント支援スタビライザー形式

量子通信の理論において、エンタングルメント支援スタビライザー形式論は、量子通信チャネルを介して量子データを送信する前に送信者と受信者の間で共有されるエンタングルメントの助けを借りて量子情報を保護する方法です。これは、共有エンタングルメント を含めることによって標準スタビライザー形式論を拡張します(Brunら、 2006 年)。エンタングルメント支援スタビライザー コードの利点は、送信者が任意のPauli 演算子のセットのエラー訂正特性を利用できることです。送信者のPauli 演算子は、必ずしも量子ビット上のPauli グループのアーベル部分群を形成する必要はありません 。送信者は共有ebitを巧みに使用して、 グローバル スタビライザーがアーベルになるようにし、有効な 量子エラー訂正コードを形成できます。 ${\displaystyle \Pi^{n}}$${\displaystyle n}$

エンタングルメント支援コードの構築について考察します (Brun et al. 2006)。サイズ の非可 換部分群があるとします。 シンプレクティック幾何学の基本定理 (最初の外部参照の補題 1) を適用すると、次の交換関係を持つ の独立生成子の最小セットが存在することがわかります 。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \Pi ^{n}}$${\displaystyle nk=2c+s}$${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle \left[{\bar {Z}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {X}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i,j,}$

${\displaystyle \left[{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{j}\right]=0\ \ \ \ \ \forall i\neq j,}$

${\displaystyle \left\{{\bar {X}}_{i},{\bar {Z}}_{i}\right\}=0\ \ \ \ \ \forall i.}$

を上記の最小生成セットに分解すると、コードには補助量子ビットとebit が必要であることがわかります。コードでは、最小生成セット内のすべての反交換ペアに対してebit が必要です。この要件の単純な理由は、ebit がパウリ演算子の同時 -固有状態であるためです。ebit の2 番目の量子ビットは、反交換ペアを交換ペアに 変換します。上記の分解により、コードに必要なebitの数も最小限に抑えられます。つまり、最適な分解です。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle c}$ ${\displaystyle +1}$ ${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$${\displaystyle \left\{X,Z\right\}}$${\displaystyle \left\{XX,ZZ\right\}}$

非可換群は 、等方性部分群とエンタングルメント部分群 の 2 つの部分群に分割できます。等方性部分群はの可換部分群であり、補助量子ビットに対応します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}=\left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s}\right\}}$。

エンタングルメント部分群の要素は反交換ペアになっており、eビットに対応します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}=\left\{{\bar {Z}}_{s+1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c},{\bar {X}}_{s+1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}\right\}}$。

2つの部分群と は、エンタングルメント支援安定化形式における誤り訂正条件において役割を果たす。エンタングルメント支援符号は、 すべての に対して が成り立つ場合、集合内の誤りを訂正する。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{I}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{E}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}}$${\displaystyle E_{1},E_{2}\in {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}_{I}\cup \left(\Pi ^{n}-{\mathcal {Z}}\left(\left\langle {\mathcal {S}}_{I},{\mathcal {S}}_{E}\right\rangle \right)\right).}$

エンタングルメント支援コードの動作は次のとおりです。送信者は、保護されていない量子ビット、補助量子ビット、およびe ビットの半分に対してユニタリ符号化を実行します。エンコードされていない状態は、次のパウリ演算子の同時 +1-固有状態です。

${\displaystyle \left\{Z_{1},\ldots ,Z_{s},Z_{s+1}|Z_{1},\ldots ,Z_{s+c}|Z_{c},X_{s+1}|X_{1},\ldots ,X_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

縦棒の右側にあるパウリ演算子は、共有 ebits の受信者の半分を示します。エンコードユニタリは、エンコードされていないパウリ演算子を 次のエンコードされたパウリ演算子に変換します。

${\displaystyle \left\{{\bar {Z}}_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s},{\bar {Z}}_{s+1}|Z_{1},\ldots ,{\bar {Z}}_{s+c}|Z_{c},{\bar {X}}_{s+1}|X_{1},\ldots ,{\bar {X}}_{s+c}|X_{c}\right\}.}$

送信者は、ノイズの多い量子チャネルを介してすべての量子ビットを送信します。受信者は、送信された量子ビットと自分の半分のebit を所有します。受信者は、上記のエンコードされた演算子を測定してエラーを診断します。最後のステップは、エラーを修正することです。

エンタングルメント支援コードのレートは 3 つの異なる方法で解釈できます (Wilde and Brun 2007b)。エンタングルメント支援量子コードがebitsの助けを借りて情報量子ビットを物理量子ビットにエンコードすると仮定します。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c}$

• エンタングルメント支援レートは、送信者と受信者の間で共有されるエンタングルメントが自由であると仮定します。Bennett らは、量子情報を送信するための量子チャネルのエンタングルメント支援容量を導出する際にこの仮定を行っています。エンタングルメント支援レートは、上記のパラメータを持つコード用です。${\displaystyle k/n}$
• トレードオフレートは、エンタングルメントが自由ではなく、レート ペアによってパフォーマンスが決まるという前提に基づいています。ペアの最初の数字は、チャネル使用ごとに生成されるノイズのない量子ビットの数で、ペアの 2 番目の数字は、チャネル使用ごとに消費される ebit の数です。レート ペアは、上記のパラメータを持つコード用です。量子情報理論家は、達成可能なレート ペアが存在するレート領域を限定する漸近トレードオフ曲線を計算しました。エンタングルメント支援型量子ブロック コードの構成では、固定数と、それぞれの情報量子ビットおよび物理量子ビットを与えられた ebit の数を最小限に抑えます。${\displaystyle \left(k/n,c/n\right)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$
• 触媒率は、エンタングルメントのビットが送信された量子ビットを犠牲にして構築されることを前提としています。ノイズのない量子チャネル、またはノイズのある量子チャネルのエンコードされた使用は、送信者と受信者の間でエンタングルメントを構築する 2 つの異なる方法です。コードの触媒率は です。${\displaystyle \left[n,k;c\right]}$${\displaystyle \left(k-c\right)/n}$

どの解釈が最も合理的であるかは、コードを使用するコンテキストによって異なります。いずれの場合でも、パフォーマンスを解釈するためにどのレート定義を使用するかに関係なく、パラメータ、、 が最終的にパフォーマンスを決定します。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle c}$

ここでは、任意の単一量子ビットエラーを修正するエンタングルメント支援コードの例を示します (Brun et al. 2006)。送信者が、次の非可換部分群の量子エラー修正特性を使用したいとします。 ${\displaystyle \Pi ^{4}}$

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\X&Y&X&I\\X&X&I&X\end{array}}}$

最初の 2 つのジェネレータは交換不可能です。3 番目のジェネレータに 2 番目のジェネレータを掛け合わせると、修正された 3 番目のジェネレータが得られます。次に、最後のジェネレータに最初のジェネレータ、2 番目のジェネレータ、修正された 3 番目のジェネレータを掛け合わせます。ジェネレータのエラー訂正特性は、これらの操作では不変です。修正されたジェネレータは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{array}{cccccc}g_{1}&=&Z&X&Z&I\\g_{2}&=&Z&Z&I&Z\\g_{3}&=&Y&X&X&Z\\g_{4}&=&Z&Y&Y&X\end{array}}}$

上記の生成子の集合は、シンプレクティック幾何学の基本定理によって与えられた交換関係を持ちます。

${\displaystyle \left\{g_{1},g_{2}\right\}=\left[g_{1},g_{3}\right]=\left[g_{1},g_{4}\right]=\left[g_{2},g_{3}\right]=\left[g_{2},g_{4}\right]=\left[g_{3},g_{4}\right]=0.}$

上記の生成子の集合は、次の標準生成子と単位的に同等です。

${\displaystyle {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}}$

最初の 2 つのジェネレータの反可換性を解決し、標準的な安定化子を取得するために、1 つの ebit を追加できます。

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}X&I&I&I\\Z&I&I&I\\I&Z&I&I\\I&I&Z&I\end{array}}\right.}$

受信者ボブは左側の量子ビットを所有し、送信者アリスは右側の4つの量子ビットを所有しています。次の状態は上記の安定器の固有状態です。

${\displaystyle \left\vert \Phi ^{+}\right\rangle ^{BA}\left\vert 00\right\rangle ^{A}\left\vert \psi \right\rangle ^{A}.}$

ここで、送信者がエンコードしたい量子ビットです。エンコードユニタリは、標準安定子を次のグローバル可換ジェネレータのセットに回転させます。 ${\displaystyle \left\vert \psi \right\rangle ^{A}}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}X\\Z\\I\\I\end{array}}\left\vert {\begin{array}{cccc}Z&X&Z&I\\Z&Z&I&Z\\Y&X&X&Z\\Z&Y&Y&X\end{array}}\right.}$

受信機は、すべての量子ビットを受信すると上記のジェネレータを測定し、エラーを検出して修正します。

前の例を続けます。エンタングルメント支援コードのエンコード回路と最適な ebit 数を決定するアルゴリズムを詳しく説明します。このアルゴリズムは、(Wilde and Brun 2007a) の付録で最初に登場し、その後 (Shaw et al. 2008) の付録でも登場しました。上記の例の演算子は、バイナリ マトリックスとして次のように表現されます (スタビライザー コードの記事を参照)。

${\displaystyle H=\left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\1&1&0&1\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

縦棒の左側の行列を「 マトリックス」、縦棒の右側の行列を「マトリックス」と呼びます。 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

このアルゴリズムは、上記の行列に対する行操作と列操作で構成されています。行操作はコードの誤り訂正特性には影響しませんが、シンプレクティック幾何学の基本定理から最適な分解に到達するために重要です。上記の行列の列を操作するために使用できる操作は、クリフォード操作です。クリフォード操作は、共役の下でパウリ群を保存します。CNOT ゲート、アダマール ゲート、および位相ゲートは、クリフォード群を生成します。量子ビットから量子ビットへの CNOT ゲートは、行列の 列を列に追加し、行列の列を列に追加します。量子ビットのアダマール ゲートは、行列の列を行列の 列と交換し、その逆も行います。量子ビットの位相ゲートは、行列の 列を行列の列に追加します。3 つの CNOT ゲートは、量子ビット交換操作を実装します。量子ビットと交換の効果は 、と行列の両方で列とを交換することです。 ${\displaystyle \Pi ^{n}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

アルゴリズムは、最初の行と他のすべての行の間のシンプレクティック積を計算することから始まります。ここでのシンプレクティック積は標準のシンプレクティック積であることを強調します。最初の行が 2 番目の行に対してシンプレクティック直交でない場合、または最初の行が他のすべての行に対してシンプレクティック直交である場合は、マトリックスをそのままにしておきます。それ以外の場合は、2 番目の行を、最初の行に対してシンプレクティック直交でない最初の利用可能な行と交換します。この例では、最初の行は 2 番目の行に対してシンプレクティック直交ではないため、すべての行をそのままにしておきます。

最初の行を、行列の左上の要素が 1 になるように配置します。CNOT、スワップ、アダマール、またはこれらの操作の組み合わせでこの結果を得ることができます。例では、量子ビット 1 と 2 を入れ替えることでこの結果を得ることができます。行列は次のようになります。 ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&1&1&0\\1&1&0&1\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right].}$

CNOT を実行して、行列の最上行の左端のエントリの右側にあるエントリをクリアします。この例では、これらのエントリはすでにゼロになっているため、何もする必要はありません。行列の最初の行のエントリをクリアする手順に進みます。位相ゲートを実行して、行列の最初の行の左端のエントリが 1 に等しい場合は、それをクリアします。この場合はゼロに等しいため、何もする必要はありません。次に、アダマールと CNOT を使用して、行列の最初の行にある他のエントリをクリアします。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$

上記の操作を例に実行します。2番目と3番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\0&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&1&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&1\end{array}}\right].}$

量子ビット1から量子ビット2へ、そして量子ビット1から量子ビット3へCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&1\\1&1&1&0\\1&1&0&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\1&1&1&0\\1&1&1&1\end{array}}\right].}$

1行目は完了です。次に2行目のエントリをクリアします。1番目と4番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\1&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&1&0&1\\1&1&1&0\\1&1&1&0\end{array}}\right].}$

量子ビット1から量子ビット2へ、そして量子ビット1から量子ビット4へCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\1&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&1&1\\1&0&1&1\end{array}}\right].}$

最初の 2 行が完成しました。これらの行は、反可換性またはシンプレクティック積に対する非直交性を補正するために 1 つの ebit を必要とします。

ここで、シンプレクティック積に関して「グラム・シュミット直交化」を実行します。行列の左端の要素が 1 である行に行 1 を追加します。行列の左端の要素が 1 である行に行 2 を追加します。この例では、行 1 を行 4 に追加し、行 2 を行 3 と行 4 に追加します。行列は 次のよう になります。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&1\\0&0&1&1\end{array}}\right].}$

最初の2行は、シンプレクティック幾何学の基本定理により、他のすべての行とシンプレクティック直交しています。次の2行についても同じアルゴリズムを実行します。次の2行は互いにシンプレクティック直交しているので、個別に処理できます。2番目の量子ビットに対してアダマール行列を実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&1\\0&1&1&1\end{array}}\right].}$

2番目の量子ビットから3番目の量子ビットへ、そして2番目の量子ビットから4番目の量子ビットへCNOTを実行します。行列は次のようになります。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

量子ビット 2 に位相ゲートを実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\end{array}}\right].}$

量子ビット 3 に対してアダマール演算を実行し、続いて量子ビット 2 から量子ビット 3 への CNOT を実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

3 行目を 4 行目に追加し、量子ビット 2 に対してアダマール演算を実行します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right].}$

量子ビット 4 でアダマール演算を実行し、続いて量子ビット 3 から量子ビット 4 への CNOT を実行します。最後に量子ビット 3 でアダマール演算を実行して終了します。

${\displaystyle \left[\left.{\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}}\right\vert {\begin{array}{cccc}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}}\right].}$

上記の行列は、現在、標準的なパウリ演算子に対応しています。受信側に ebit の半分を追加すると、同時 +1 固有状態が上記の状態である標準的なスタビライザーが得られます。上記の操作を逆順に実行すると、標準的なスタビライザーがエンコードされたスタビライザーになります。

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