量子誤り訂正符号
量子コンピューティング と 量子通信 において 、 安定化符号は 量子誤り訂正を 実行するための量子 符号 の一種である 。 トーリック符号 、および より一般的には 表面符号 [1] は、量子情報処理の実用化に非常に重要であると考えられている安定化符号の一種である。
概念的背景 量子エラー訂正コードは、ノイズの多い
デコヒーレンス 量子状態 を純粋な量子状態に戻します。
スタビライザー 量子エラー訂正コードは、
保護したい量子ビットに 補助量子ビットを追加します。ユニタリ符号化回路は、グローバル状態をより大きな ヒルベルト空間 のサブスペースに回転させます。この高度にエンタングル メント化 された符号化状態は、局所的なノイズの多いエラーを訂正します。量子エラー訂正コードは、特定の エラー モデルに適合するノイズのある量子ビットチャネルが与えられた場合に、送信側と受信側がノイズのない量子ビットチャネルをシミュレートする方法を提供することで、 量子計算
と 量子通信を 実用化します
。最初の量子エラー訂正コードは、その動作とパフォーマンスにおいて 古典的なブロックコード と驚くほど似ています 。
量子誤り訂正 のスタビライザー理論により、 いくつかの古典的な 2 進コードまたは 4 進コードをインポートして量子コードとして使用することができます。ただし、古典的なコードをインポートする場合、そのコードは 二重包含 (または自己直交性) 制約を満たす必要があります。研究者は、この制約を満たす古典的なコードの例を多数発見しましたが、ほとんどの古典的なコードはこの制約を満たしていません。それでも、この方法で古典的なコードをインポートすることは依然として有用です (ただし、 エンタングルメント支援スタビライザー形式主義が この困難をどのように克服するかを参照してください)。
数学的背景 安定化形式論は、 量子誤り訂正符号を定式化する際に
パウリ群の要素を利用する。この集合は パウリ演算子 から構成される 。
Π
{\displaystyle \Pi}
Π =
{
私 、 バツ 、 はい 、 ず
}
{\displaystyle \Pi =\left\{I,X,Y,Z\right\}}
私 ≡
[
1
0
0
1
]
、
バツ ≡
[
0
1
1
0
]
、
はい ≡
[
0
− 私
私
0
]
、
ず ≡
[
1
0
0
− 1
]
。
{\displaystyle I\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ X\equiv {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\ Y\equiv {\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\ Z\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}
上記の演算子は、2 次元ヒルベルト空間 のベクトルで表される状態である
単一の 量子ビット に作用します。 の演算子は 固有値 を持ち 、 可換
または 反可換 です。 このセットは、 パウリ演算子 の
倍 テンソル積 で構成されます 。
Π
{\displaystyle \Pi}
± 1
{\displaystyle \pm 1}
Π
ん
{\displaystyle \Pi^{n}}
ん
{\displaystyle n}
Π
ん
=
{
e
私 ϕ
あ
1
⊗ ⋯ ⊗
あ
ん
: ∀
j
∈
{
1
,
…
,
n
}
A
j
∈
Π
,
ϕ
∈
{
0
,
π
/
2
,
π
,
3
π
/
2
}
}
.
{\displaystyle \Pi ^{n}=\left\{{\begin{array}{c}e^{i\phi }A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}:\forall j\in \left\{1,\ldots ,n\right\}A_{j}\in \Pi ,\ \ \phi \in \left\{0,\pi /2,\pi ,3\pi /2\right\}\end{array}}\right\}.}
の要素は量子ビット の 量子レジスタ に作用する 。 以下では
テンソル積の記号を省略することがある。
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
n
{\displaystyle n}
A
1
⋯
A
n
≡
A
1
⊗
⋯
⊗
A
n
.
{\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}.}
倍 パウリ群は、 量子ビット 上の量子安定コードの符号化回路と誤り訂正手順の両方で重要な役割を果たします 。
n
{\displaystyle n}
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
n
{\displaystyle n}
意味 論理量子ビットを物理量子ビットに エンコードするための安定化量子誤り訂正コード を定義します 。このようなコードのレートは です 。その安定化コードは - 倍パウリ群 の
アーベル 部分群 です 。
演算子 は含まれません。 演算子の 同時
- 固有空間は コード空間 を構成します。コード空間は次元を持っている ため、 そこに量子ビットをエンコードできます。安定化コードは、
独立した生成子
の観点から 最小限の 表現を持ちます。
[
n
,
k
]
{\displaystyle \left[n,k\right]}
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
k
/
n
{\displaystyle k/n}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
n
{\displaystyle n}
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
−
I
⊗
n
{\displaystyle -I^{\otimes n}}
+
1
{\displaystyle +1}
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
k
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
n
−
k
{\displaystyle n-k}
{
g
1
,
…
,
g
n
−
k
|
∀
i
∈
{
1
,
…
,
n
−
k
}
,
g
i
∈
S
}
.
{\displaystyle \left\{g_{1},\ldots ,g_{n-k}\ |\ \forall i\in \left\{1,\ldots ,n-k\right\},\ g_{i}\in {\mathcal {S}}\right\}.}
生成器は、いずれも他の 2 つの生成器の積ではないという意味で独立しています ( グローバル位相 を除く)。演算子は、古典的な 線形ブロック コード に対する パリティ チェック マトリックス と同じように機能します 。
g
1
,
…
,
g
n
−
k
{\displaystyle g_{1},\ldots ,g_{n-k}}
スタビライザーのエラー修正条件 量子誤り訂正理論における基本的な概念の 1 つは、 パウリ群に
サポートされた 離散的な 誤り集合を訂正すれば十分であるというものです。符号化された量子状態に影響を与える誤りが パウリ群の サブセットであると仮定します 。
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
E
⊂
Π
n
.
{\displaystyle {\mathcal {E}}\subset \Pi ^{n}.}
と は どちらも のサブセットである ため、 符号化された量子状態に影響を与える エラーは、 の 特定の要素と 交換 または 反交換します 。エラーは、 の 要素と交換する場合に訂正可能です 。反交換エラーは
、 の 各要素 を測定し 、を識別する シンドロームを計算する ことで検出できます 。シンドロームは、 長さ のバイナリベクトルであり、 その要素は、エラーが 各 と交換するか反交換するかを識別します。 の すべての要素と交換する エラーは
、 にある場合にのみ訂正可能です。エラーが のすべての要素と交換する が にはない 場合、符号化された状態が破損します 。したがって、スタビライザエラー訂正条件を簡潔にまとめると、スタビライザコードは、 の 任意
のエラーを訂正できます。
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
E
∈
E
{\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}
g
{\displaystyle g}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
E
{\displaystyle E}
g
{\displaystyle g}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
E
{\displaystyle E}
g
{\displaystyle g}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
E
{\displaystyle E}
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
n
−
k
{\displaystyle n-k}
E
{\displaystyle E}
g
∈
S
{\displaystyle g\in {\mathcal {S}}}
E
{\displaystyle E}
g
{\displaystyle g}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
E
1
,
E
2
{\displaystyle E_{1},E_{2}}
E
{\displaystyle {\mathcal {E}}}
E
1
†
E
2
∉
Z
(
S
)
{\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\notin {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}
または
E
1
†
E
2
∈
S
{\displaystyle E_{1}^{\dagger }E_{2}\in {\mathcal {S}}}
ここで、 は の 中心化群 （つまり、 のすべての要素と可換な要素の部分群 、可換元とも呼ばれる）
です。
Z
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {Z}}\left({\mathcal {S}}\right)}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
S
{\displaystyle {\mathcal {S}}}
スタビライザーコードの簡単な例 スタビライザー コードの簡単な例として、3 量子ビットの
スタビライザー コードがあります。これは、 論理量子ビットを 物理量子ビットにエンコードし、セット 内の 1 ビットの反転エラーから保護します。これは、セット .or 内の位相反転エラーなどの他の Pauli エラーからは保護しません 。これにはコード距離 があります。そのスタビライザーは 、Pauli 演算子
で構成されます。
[
[
3
,
1
,
3
]
]
{\displaystyle \left[[3,1,3\right]]}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
n
=
3
{\displaystyle n=3}
{
X
i
}
{\displaystyle \left\{X_{i}\right\}}
{
Y
i
}
{\displaystyle \left\{Y_{i}\right\}}
{
Z
i
}
{\displaystyle \left\{Z_{i}\right\}}
d
=
3
{\displaystyle d=3}
n
−
k
=
2
{\displaystyle n-k=2}
g
1
=
Z
Z
I
g
2
=
I
Z
Z
{\displaystyle {\begin{array}{ccc}g_{1}&=&Z&Z&I\\g_{2}&=&I&Z&Z\\\end{array}}}
ビット反転エラーがない場合、演算子 と 演算子の両方が交換可能となり、シンドロームは +1、+1 となり、エラーは検出されません。
g
1
{\displaystyle g_{1}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
最初のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーがある場合、演算子は 反交換および 交換を行い、シンドロームは -1、+1 となり、エラーが検出されます。2 番目のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーがある場合、演算子は 反交換および 反交換を行い、シンドロームは -1、-1 となり、エラーが検出されます。3 番目のエンコードされた量子ビットにビット反転エラーがある場合、演算子は 交換および 反交換を行い、シンドロームは +1、-1 となり、エラーが検出されます。
g
1
{\displaystyle g_{1}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
g
1
{\displaystyle g_{1}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
g
1
{\displaystyle g_{1}}
g
2
{\displaystyle g_{2}}
スタビライザーコードの例 スタビライザー コードの例としては、5 量子ビットの
スタビライザー コードがあります。これは、 論理量子ビットを 物理量子ビットにエンコードし、任意の単一量子ビット エラーから保護します。コード距離は です。スタビライザーは、 パウリ演算子
で構成されています。
[
[
5
,
1
,
3
]
]
{\displaystyle \left[[5,1,3\right]]}
k
=
1
{\displaystyle k=1}
n
=
5
{\displaystyle n=5}
d
=
3
{\displaystyle d=3}
n
−
k
=
4
{\displaystyle n-k=4}
g
1
=
X
Z
Z
X
I
g
2
=
I
X
Z
Z
X
g
3
=
X
I
X
Z
Z
g
4
=
Z
X
I
X
Z
{\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}g_{1}&=&X&Z&Z&X&I\\g_{2}&=&I&X&Z&Z&X\\g_{3}&=&X&I&X&Z&Z\\g_{4}&=&Z&X&I&X&Z\end{array}}}
上記の演算子は可換です。したがって、コード空間は上記の演算子の同時 +1 固有空間です。エンコードされた量子レジスタで単一量子ビット エラーが発生したとします。単一量子ビット エラーは、 量子ビット 上の Pauli エラーを表すセット 内にあります。任意の単一量子ビット エラーに一意のシンドロームがあることは簡単に確認できます。受信機は、 パリティ測定 によってシンドロームを識別し、修正操作を適用することで、単一量子ビット エラーを修正します 。
{
X
i
,
Y
i
,
Z
i
}
{\displaystyle \left\{X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}}
A
i
{\displaystyle A_{i}}
i
{\displaystyle i}
パウリ群と二進ベクトルの関係 とバイナリ
ベクトル空間 の要素の間には、単純だが便利なマッピングが存在します 。このマッピングにより、量子誤り訂正理論が簡略化されます。これは、量子コードを、パウリ 演算子 と行列演算 ではなく、 バイナリベクトル と
バイナリ演算 で 表します。
Π
{\displaystyle \Pi }
(
Z
2
)
2
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}
まず、1量子ビットの場合のマッピングを示します。 が同じ 位相を持つ 演算子 の 同値類
の集合であるとします 。
[
A
]
{\displaystyle \left[A\right]}
A
{\displaystyle A}
[
A
]
=
{
β
A
|
β
∈
C
,
|
β
|
=
1
}
.
{\displaystyle \left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}
を位相のないパウリ作用素の集合と
する 。写像を 次のように
定義する。
[
Π
]
{\displaystyle \left[\Pi \right]}
[
Π
]
=
{
[
A
]
|
A
∈
Π
}
{\displaystyle \left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}}
N
:
(
Z
2
)
2
→
Π
{\displaystyle N:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \Pi }
00
→
I
,
01
→
X
,
11
→
Y
,
10
→
Z
{\displaystyle 00\to I,\,\,01\to X,\,\,11\to Y,\,\,10\to Z}
と仮定します。 、 、 、 の 省略形 と を使用します 。たとえば、 と仮定します 。このとき、 となります。 内のベクトルの加算は 、グローバル位相までのパウリ演算子の乗算と同等である
ため、 写像は 同型性 を誘導します。
u
,
v
∈
(
Z
2
)
2
{\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}
u
=
(
z
|
x
)
{\displaystyle u=\left(z|x\right)}
v
=
(
z
′
|
x
′
)
{\displaystyle v=\left(z^{\prime }|x^{\prime }\right)}
z
{\displaystyle z}
x
{\displaystyle x}
z
′
{\displaystyle z^{\prime }}
x
′
∈
Z
2
{\displaystyle x^{\prime }\in \mathbb {Z} _{2}}
u
=
(
0
|
1
)
{\displaystyle u=\left(0|1\right)}
N
(
u
)
=
X
{\displaystyle N\left(u\right)=X}
N
{\displaystyle N}
[
N
]
:
(
Z
2
)
2
→
[
Π
]
{\displaystyle \left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]}
(
Z
2
)
2
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}
[
N
(
u
+
v
)
]
=
[
N
(
u
)
]
[
N
(
v
)
]
.
{\displaystyle \left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].}
2つの要素間の シンプレクティック積 を表す とします 。
⊙
{\displaystyle \odot }
u
,
v
∈
(
Z
2
)
2
{\displaystyle u,v\in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}}
u
⊙
v
≡
z
x
′
−
x
z
′
.
{\displaystyle u\odot v\equiv zx^{\prime }-xz^{\prime }.}
シンプレクティック積は、 の元の
交換 関係を与えます 。
⊙
{\displaystyle \odot }
Π
{\displaystyle \Pi }
N
(
u
)
N
(
v
)
=
(
−
1
)
(
u
⊙
v
)
N
(
v
)
N
(
u
)
.
{\displaystyle N\left(u\right)N\left(v\right)=\left(-1\right)^{\left(u\odot v\right)}N\left(v\right)N\left(u\right).}
シンプレクティック積と写像は、パウリ関係を 二進代数 で表現する便利な方法を提供します 。上記の定義と複数の量子ビットへの写像の拡張は 簡単です。 を の任意の要素とします 。同様に、位相のない
-量子ビットのパウリ群を定義することができます 。
N
{\displaystyle N}
N
{\displaystyle N}
A
=
A
1
⊗
⋯
⊗
A
n
{\displaystyle \mathbf {A} =A_{1}\otimes \cdots \otimes A_{n}}
Π
n
{\displaystyle \Pi ^{n}}
n
{\displaystyle n}
[
Π
n
]
=
{
[
A
]
|
A
∈
Π
n
}
{\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}}
[
A
]
=
{
β
A
|
β
∈
C
,
|
β
|
=
1
}
.
{\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}
上記の同値クラスのグループ 演算は 次のとおりです。
∗
{\displaystyle \ast }
[
A
]
∗
[
B
]
≡
[
A
1
]
∗
[
B
1
]
⊗
⋯
⊗
[
A
n
]
∗
[
B
n
]
=
[
A
1
B
1
]
⊗
⋯
⊗
[
A
n
B
n
]
=
[
A
B
]
.
{\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].}
同値類は
操作の下で 可換群を 形成する 。 次元 ベクトル空間を考える。
[
Π
n
]
{\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]}
∗
{\displaystyle \ast }
2
n
{\displaystyle 2n}
(
Z
2
)
2
n
=
{
(
z
,
x
)
:
z
,
x
∈
(
Z
2
)
n
}
.
{\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}=\left\{\left(\mathbf {z,x} \right):\mathbf {z} ,\mathbf {x} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{n}\right\}.}
これは、2 進ベクトル加算として定義される演算を持つ 可換群を形成します。任意の ベクトルをそれぞれ表すために
表記法を使用します
。各ベクトル とには、それぞれ 、およびに対して同様の表現を持つ要素と が あり ます 。 と の シンプレクティック積は 、
(
(
Z
2
)
2
n
,
+
)
{\displaystyle (\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n},+)}
+
{\displaystyle +}
u
=
(
z
|
x
)
,
v
=
(
z
′
|
x
′
)
{\displaystyle \mathbf {u} =\left(\mathbf {z} |\mathbf {x} \right),\mathbf {v} =\left(\mathbf {z} ^{\prime }|\mathbf {x} ^{\prime }\right)}
u
,
v
∈
(
Z
2
)
2
n
{\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}
z
{\displaystyle \mathbf {z} }
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
(
z
1
,
…
,
z
n
)
{\displaystyle \left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)}
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)}
z
′
{\displaystyle \mathbf {z} ^{\prime }}
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
⊙
{\displaystyle \odot }
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
u
⊙
v
≡
∑
i
=
1
n
z
i
x
i
′
−
x
i
z
i
′
,
{\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime }-x_{i}z_{i}^{\prime },}
または
u
⊙
v
≡
∑
i
=
1
n
u
i
⊙
v
i
,
{\displaystyle \mathbf {u} \odot \mathbf {v\equiv } \sum _{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i},}
ここで 、 です 。マップを 次のように定義します。
u
i
=
(
z
i
|
x
i
)
{\displaystyle u_{i}=\left(z_{i}|x_{i}\right)}
v
i
=
(
z
i
′
|
x
i
′
)
{\displaystyle v_{i}=\left(z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime }\right)}
N
:
(
Z
2
)
2
n
→
Π
n
{\displaystyle \mathbf {N} :\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \Pi ^{n}}
N
(
u
)
≡
N
(
u
1
)
⊗
⋯
⊗
N
(
u
n
)
.
{\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\equiv N\left(u_{1}\right)\otimes \cdots \otimes N\left(u_{n}\right).}
させて
X
(
x
)
≡
X
x
1
⊗
⋯
⊗
X
x
n
,
Z
(
z
)
≡
Z
z
1
⊗
⋯
⊗
Z
z
n
,
{\displaystyle \mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\equiv X^{x_{1}}\otimes \cdots \otimes X^{x_{n}},\,\,\,\,\,\,\,\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\equiv Z^{z_{1}}\otimes \cdots \otimes Z^{z_{n}},}
したがって、 と は 同じ
同値類 に属します。
N
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}
Z
(
z
)
X
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)}
[
N
(
u
)
]
=
[
Z
(
z
)
X
(
x
)
]
.
{\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].}
この写像は 、前の場合と同じ理由で
同型で ある。
[
N
]
:
(
Z
2
)
2
n
→
[
Π
n
]
{\displaystyle \left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]}
[
N
(
u
+
v
)
]
=
[
N
(
u
)
]
[
N
(
v
)
]
,
{\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],}
ここで 、 シンプレクティック積は、 任意の演算子と
の交換関係を捉えます 。
u
,
v
∈
(
Z
2
)
2
n
{\displaystyle \mathbf {u,v} \in \left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}}
N
(
u
)
{\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)}
N
(
v
)
{\displaystyle \mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)}
N
(
u
)
N
(
v
)
=
(
−
1
)
(
u
⊙
v
)
N
(
v
)
N
(
u
)
.
{\displaystyle \mathbf {N\left(\mathbf {u} \right)N} \left(\mathbf {v} \right)=\left(-1\right)^{\left(\mathbf {u} \odot \mathbf {v} \right)}\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right).}
上記のバイナリ表現と シンプレクティック代数は、古典的な線形 誤り訂正 と量子誤り訂正の関係を より明確にするのに役立ちます。
この言語の量子誤り訂正符号を シンプレクティックベクトル空間 と比較すると、次のことがわかります。 シンプレクティック 部分空間はパウリ代数の 直和 （つまり、エンコードされた量子ビット）に対応し、 等方性 部分空間は安定化装置の集合に対応します。
参考文献
^ 「量子エラー訂正の文脈における「表面コード」とは何ですか？」。 Quantum Computing Stack Exchange 。 2024年1月12日 閲覧 。
D. Gottesman、「スタビライザーコードと量子エラー訂正」、quant-ph/9705052、Caltech 博士論文。https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052 Shor, Peter W. (1995-10-01). 「量子コンピュータメモリのデコヒーレンスを低減する方式」. Physical Review A. 52 ( 4). American Physical Society (APS): R2493–R2496. Bibcode :1995PhRvA..52.2493S. doi :10.1103/physreva.52.r2493. ISSN 1050-2947. PMID 9912632. Calderbank, AR; Shor, Peter W. (1996-08-01). 「優れた量子エラー訂正コードが存在する」. Physical Review A . 54 (2). American Physical Society (APS): 1098–1105. arXiv : quant-ph/9512032 . Bibcode :1996PhRvA..54.1098C. doi :10.1103/physreva.54.1098. ISSN 1050-2947. PMID 9913578. S2CID 11524969. Steane, AM (1996-07-29). 「量子理論における誤り訂正コード」. Physical Review Letters . 77 (5). American Physical Society (APS): 793–797. Bibcode :1996PhRvL..77..793S. doi :10.1103/physrevlett.77.793. ISSN 0031-9007. PMID 10062908. A. Calderbank、E. Rains、P. Shor、N. Sloane、「GF(4) 上のコードによる量子エラー訂正」、IEEE Trans. Inf. Theory、vol. 44、pp. 1369–1387、1998 年。https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006 で入手可能。
![{\displaystyle \left[n,k\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cfbc83653d1574008de25dbe429486a03a8ac2)
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![{\displaystyle \left[A\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/408e5e41e60df49212d5206ede3da5fb0de7b83f)
![{\displaystyle \left[A\right]=\left\{\beta A\ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd49593693fe70823827513bbb79051321af4131)
![{\displaystyle \left[\Pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51d1a878cb85b1f8616bd772efa3fa8a13751cf)
![{\displaystyle \left[\Pi \right]=\left\{\left[A\right]\ |\ A\in \Pi \right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0abfb4baea5c08a488b162507a3649c0b0d86dae)
![{\displaystyle \left[N\right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2}\rightarrow \left[\Pi \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0677e952d512bdd01f1de0aefe594234406efa6)
![{\displaystyle \left[N\left(u+v\right)\right]=\left[N\left(u\right)\right]\left[N\left(v\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84c72186bd8d9741f99407d37dd32e804bf4a0e5)
![{\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]=\left\{\left[\mathbf {A} \right]\ |\ \mathbf {A} \in \Pi ^{n}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0196a05f4266b0080f0f8e5c2fab3e9de2101b21)
![{\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]=\left\{\beta \mathbf {A} \ |\ \beta \in \mathbb {C} ,\ \left\vert \beta \right\vert =1\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6552c351391c46e4a10ec670ffdcea07011c2a83)
![{\displaystyle \left[\mathbf {A} \right]\ast \left[\mathbf {B} \right]\equiv \left[A_{1}\right]\ast \left[B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}\right]\ast \left[B_{n}\right]=\left[A_{1}B_{1}\right]\otimes \cdots \otimes \left[A_{n}B_{n}\right]=\left[\mathbf {AB} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce39a8417c2e35337f743ae919d79a2141e7c490)
![{\displaystyle \left[\Pi ^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4113cf3ec21b188bccc0869f835d59811abd472b)
![{\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]=\left[\mathbf {Z} \left(\mathbf {z} \right)\mathbf {X} \left(\mathbf {x} \right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea6db5042a87808bdf9e86fb42ecdb90f8ee3ee1)
![{\displaystyle \left[\mathbf {N} \right]:\left(\mathbb {Z} _{2}\right)^{2n}\rightarrow \left[\Pi ^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df244752ecde2f914536c73af895795d2d50282b)
![{\displaystyle \left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u+v} \right)\right]=\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {u} \right)\right]\left[\mathbf {N} \left(\mathbf {v} \right)\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891c51f5b7994f30b80c859f641f9f4dd2d0301a)
