トーリックコード

トーリック符号は、2次元スピン格子上で定義されたトポロジカル 量子誤り訂正符号であり、安定化符号の一例である。^[1]これは、量子二重モデルの中で最も単純かつ最もよく研​​究されている。^{[2]これは、}トポロジカル秩序の最も単純な例であるZ ₂トポロジカル秩序（ 1991年にZ ₂スピン液体の文脈で初めて研究された）でもある。^{[3] [4]}トーリック符号は、特定の極限におけるZ ₂格子ゲージ理論 と考えることもできる。 ^{[5]これは、}アレクセイ・キタエフによって導入された。

トーリック コードの名前は、トーラスの形状を与える周期境界条件に由来しています。これらの条件により、モデルに並進不変性が与えられ、解析的研究に役立ちます。ただし、一部の実験的実現では、システムを 2D サーフェスに埋め込むことができるように、オープン境界条件が必要になります。結果として得られるコードは通常、平面コードと呼ばれます。これはほとんどの場合、トーリック コードと同じ動作をしますが、すべての場合に同じではありません。

トーリックコードは、通常、正方格子として選択される2次元格子上で定義され、各辺にスピン1/2の自由度が配置されます。これらは周期的になるように選択されます。安定化演算子は、格子の各頂点とプラケット^{[定義が必要]}（または面、つまり双対格子の頂点）^{[説明が必要]}の周りのスピン上で次のように定義されます。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle A_{v}=\prod _{i\in v}\sigma _{i}^{x},\,\,B_{p}=\prod _{i\in p}\sigma _{i}^{z}.}$

ここで頂点に接する辺を で表し、プラケットを囲む辺を で表す。コードの安定化空間は、すべての安定化が自明に作用する空間であり、したがってこの空間内の任意の状態に対して次の式が成り立つ。 ${\displaystyle i\in v}$${\displaystyle v}$${\displaystyle i\in p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle A_{v}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall v,\,\,B_{p}|\psi \rangle =|\psi \rangle ,\,\,\forall p.}$

トーリックコードの場合、この空間は 4 次元であるため、2量子ビットの量子情報を保存できます。これは、独立した安定化演算子の数を考慮することで証明できます。エラーが発生すると、状態が安定化空間から外れ、上記の条件が満たされない頂点とプラケットが生成されます。これらの違反の位置がコードの シンドロームであり、エラー訂正に使用できます。

トーリックコードのような位相コードのユニークな性質は、安定子の破れが準粒子として解釈できることです。具体的には、コードが次のような状態にある場合、 ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle A_{v}|\phi \rangle =-|\phi \rangle }$、

頂点 には、エニオンと呼ばれる準粒子が存在すると言えます。同様に、 の破れは、プラケット上のいわゆるエニオンと関連しています。したがって、安定化空間はエニオン真空に対応します。単一のスピンエラーにより、エニオンのペアが生成され、格子全体に運ばれます。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle v}$${\displaystyle B_{p}}$${\displaystyle m}$

エラーによってエニオン ペアが生成され、エニオンが移動すると、作用するすべてのリンクで構成される 2 つを接続するパスを想像できます。その後、エニオンが出会って消滅すると、このパスはループを表します。ループが位相的に自明な場合、保存されている情報には影響しません。この場合、エニオンの消滅により、その生成と転送に関係するすべてのエラーが修正されます。ただし、ループが位相的に自明でない場合は、エニオンの再消滅により状態がスタビライザー空間に戻りますが、保存されている情報に対して論理操作も実行されます。したがって、この場合、エラーは修正されずに統合されます。

ビットエラーと位相エラーが各スピンで独立して発生し、その確率はどちらもpであるノイズモデルを考えてみましょう。pが低い場合、生成点から遠く離れていない、まばらに分布したエニオンのペアが生成されます。エニオンが生成されたペアを特定し (同値クラスまで)、それらを再消滅させてエラーを除去することで、修正を行うことができます。ただし、 p が増加すると、位相的に非自明なループの形成を危険にさらすことなくエニオンをペアにする方法が不明瞭になります。 これにより、しきい値の確率が得られ、その下ではエラー修正がほぼ確実に成功します。 ランダム結合イジングモデルへのマッピングにより、この臨界確率は約 11% であることがわかりました。^[6]

他のエラーモデルも考慮され、しきい値が見つかる可能性があります。これまでに研究されたすべてのケースで、コードはハッシュ境界を飽和させることがわかっています。ビットエラーが位相エラーよりも頻繁に発生するバイアスエラーなどの一部のエラーモデルでは、最適なしきい値を実現するために正方格子以外の格子を使用する必要があります。^{[7] [8]}

これらのしきい値は上限であり、それを達成するための効率的なアルゴリズムが見つからない限り役に立ちません。最もよく使用されるアルゴリズムは、 最小重み完全マッチングです。^[9]独立したビットエラーとフリップエラーを持つノイズモデルに適用すると、約10.5％のしきい値が達成されます。これは、最大値11％にわずかに足りないだけです。ただし、脱分極ノイズなど、ビットエラーと位相エラーの間に相関関係がある場合、マッチングはそれほどうまく機能しません。

トーリックコード内に格納された論理情報に対して量子計算を実行する手段が検討されており、コードの特性によってフォールトトレランスが実現されている。スタビライザーが適用されていない「穴」、頂点、またはプラケットを使用してスタビライザー空間を拡張すると、多くの量子ビットをコードにエンコードできることが示されている。しかし、ユニタリーゲートのユニバーサルセットは、ユニタリー操作ではフォールトトレランスで実装できないため、量子コンピューティングを実現するには追加の技術が必要である。たとえば、量子ビットとして置き換えられたときに必要な追加ゲートをテレポートするために使用される tidBits と呼ばれるエンコードされた量子スタブを介してマジックステートを準備することで、ユニバーサル量子コンピューティングを実現できる。さらに、マジックステートの準備はフォールトトレランスである必要があり、これはノイズの多いマジックステートでのマジックステート蒸留によって実現できる。この原理に基づく量子コンピューティングの測定ベースのスキームが見つかっており、そのエラーしきい値は 2 次元アーキテクチャで知られているものの中で最も高い。^{[10] [11]}

トーリックコードの安定化演算子は準局所的であり、2次元格子上で互いに近接するスピンにのみ作用するため、次のハミルトニアンを定義することは非現実的ではない。

${\displaystyle H_{\rm {TC}}=-J\sum _{v}A_{v}-J\sum _{p}B_{p},\,\,\,J>0.}$

このハミルトニアンの基底状態空間は、コードの安定空間である。励起状態はエニオンの状態に対応し、エネルギーはその数に比例する。したがって、局所誤差はギャップによってエネルギー的に抑制され、ギャップは局所的な摂動に対して安定していることが示されている。^[12]しかし、そのような摂動の動的効果は、依然としてコードに問題を引き起こす可能性がある。^{[13] [14]}

このギャップにより、コードに熱エラーに対する一定の耐性が与えられ、一定の臨界時間中はほぼ確実に修正できるようになります。この時間は とともに増加しますが、この結合を任意に増加させることは非現実的であるため、ハミルトニアンによって提供される保護には依然として限界があります。 ${\displaystyle J}$

トーリックコードまたは平面コードを、完全に自己修正可能な量子メモリにする方法は、しばしば検討される。自己修正とは、ハミルトニアンが自然にエラーを無期限に抑制し、熱力学的限界で発散する寿命をもたらすことを意味する。これは、エニオン間に長距離相互作用が存在する場合にのみトーリックコードで可能であることがわかっている。^{[15] [16]}これらを研究室で実現するための提案がなされている^[17]別のアプローチは、モデルを高次元に一般化し、準局所相互作用のみで 4D で自己修正を可能にすることである。^[18]

上で述べたように、いわゆる準粒子と準粒子は、それぞれモデルの頂点とプラケットに関連付けられています。これらの準粒子は、その編組の重要な効果により、エニオンとして記述できます。具体的には、両方の種類のエニオンは、それ自体に関してボソン的ですが、2 つのまたはの編組は効果がなく、 と の完全なモノドロミーはの位相を生み出します。このような結果は、ボソン統計またはフェルミオン統計のどちらとも一致しないため、エニオン です。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -1}$

準粒子のエニオン相互統計は、位相的に非自明なループによって実行される論理演算を実証します。エニオンのペアを作成し、続いてその 1 つを位相的に非自明なループ (上の図のトーラスで青色で示されているものなど) の周りに移動させてから、ペアが再消滅することを考えてみましょう。状態は安定化空間に戻されますが、ループは格納されている量子ビットの 1 つに対して論理演算を実行します。エニオンが同様に上記の赤いループを介して移動された場合も、論理演算が発生します。エニオンを編むときに生じる の位相は、これらの演算が交換可能ではなく、むしろ反交換可能であることを示しています。したがって、これらは格納されている量子ビットの 1 つに対する論理演算子およびパウリ演算子として解釈できます。他の量子ビット上の対応する論理パウリは、青いループに続くエニオンと赤いループに続くエニオンに対応します。と が平行パスを通過する場合、編組は発生しません。したがって の位相は発生せず、対応する論理演算は交換可能です。これらは異なる量子ビットに作用する操作を形成するため、これは当然のことです。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -1}$

とエニオンは両方ともペアで生成できるため、これらの準粒子は両方とも反粒子であることが明白です。したがって、2 つのエニオンで構成された複合粒子は真空と同等です。真空はそのようなペアを生成することができ、そのようなペアは真空に消滅するからです。したがって、これらの複合体はボソン統計を持ちます。なぜなら、その編み込みは常に完全に自明だからです。2 つのエニオンの複合体も同様に真空と同等です。このような複合体の生成はエニオンの融合として知られており、その結果は融合ルールで記述できます。この場合、これらは次の形式になります。 ${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle e\times e=1,\,\,\,m\times m=1.}$

ここで は真空を表す。との合成は自明ではない。したがって、これはモデル内の別の準粒子を構成し、 とも表記され、融合則に従う。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle e\times m=\psi .}$

エニオンの編組統計から、2つの の単一の交換には構成要素と の完全なモノドロミーが含まれるため、の位相が結果として生じることがわかります。これは、 のフェルミオン自己統計を意味します。 ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle e}$${\displaystyle m}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle \psi }$

エラー訂正コードを形成するためにトーラスを使用する必要はありません。他の表面も使用することができ、その位相特性によって安定化空間の縮退が決まります。一般に、上記の原理に従って2次元スピン格子上に定義された量子エラー訂正コードは表面コードとして知られています。^[19]

高次元スピンを用いた同様のコードも定義できる。これらは量子二重モデル^[20]とストリングネットモデル^[21]であり、これらはエニオンの振る舞いをより豊かにすることができるため、より高度な量子計算やエラー訂正の提案に使用できる。^[22]これらにはアーベルエニオンモデルだけでなく、非アーベル統計モデルも含まれる。^{[23] [24] [25]}

トーリックコードの特性を最も明確に実証したのは、状態ベースのアプローチです。ハミルトニアンの実現を試みることなく、スタビライザー空間でコードを準備するだけです。この技術を使用して、実験では、エニオンの生成、輸送、統計^{[26] [27] [28]}とトポロジカルエンタングルメントエントロピーの測定を実証することができました。^[28]最近の実験では、コードのエラー訂正特性も実証できました。^{[29] [28]}

トーリックコードとそのハミルトニアンによる一般化の実現については、ジョセフソン接合の使用により大きな進歩が遂げられてきた。ハミルトニアンをどのように実装するかという理論は、幅広い種類のトポロジカルコードに対して開発されてきた。^[30]また、小さな格子に対してトーリックコードハミルトニアンを実現し、その縮退した基底状態によって提供される量子メモリを実証する実験も行われた。^[31]

実現に向けた他の理論的および実験的研究は、冷却原子に基づいています。光格子でトポロジカルコードを実現するために使用できる方法のツールキットが研究されており、 ^{[32]トポロジカル秩序の最小インスタンスに関する}実験も行われています。^[33]このようなトーリックコードの最小インスタンスは、孤立した正方形のプラケット内で実験的に実現されています。^{[34]また、} リドベリ原子を使用したトーリックモデルのシミュレーションも進んでおり、ハミルトニアンと散逸ノイズの効果を実証できます。^{[35] [36]}リドベリ原子アレイの実験では、エンタングルされた原子のアレイをコヒーレントに輸送することで、2次元で周期境界条件を持つトーリックコードを実現することにも成功しています。^[37]

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