Q-Qプロット

統計学において、Q–Q プロット(分位点–分位点プロット) は確率プロットであり、 2 つの確率分布の分位点を互いにプロットすることによって比較するグラフ的手法です。 ^[¹^]プロット上の点 $($ $x$ $,$ $y$ $)は、2 番目の分布の分位点 ($ $y$ 座標) の 1 つを、最初の分布の同じ分位点 ( $x$ 座標) に対してプロットしたものに対応します。これにより、分位点区間のインデックスをパラメータとするパラメトリック曲線が定義されます。

比較対象の2つの分布が類似している場合、Q-Qプロット上の点はほぼ恒等線 $y = x$ 上に位置します。分布が線形関係にある場合、Q-Qプロット上の点はほぼ直線上に位置しますが、必ずしも直線 $y = x$ 上に位置しません。Q-Qプロットは、位置尺度分布族のパラメータを推定するためのグラフ的手法としても使用できます。

AQ–Q プロットは分布の形状を比較するために使用され、位置、スケール、歪度などの特性が 2 つの分布でどのように似ているか、または異なっているかをグラフで表示します。Q–Q プロットは、データの集合または理論分布を比較するために使用できます。2 つのデータサンプルを比較するために Q–Q プロットを使用することは、それらの基礎となる分布を比較するためのノンパラメトリックなアプローチと見なすことができます。AQ–Q プロットは、サンプルのヒストグラムを比較するよりも一般的に診断的ですが、あまり広く知られていません。Q–Q プロットは、データセットを理論モデルと比較するためによく使用されます。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}これにより、数値的な要約統計量に還元するのではなく、グラフによる適合度の評価を提供できます。Q–Q プロットは分布を比較するため、散布図のように値をペアとして観察する必要はなく、比較する 2 つのグループの値の数が等しい必要もありません。

「確率プロット」という用語は、Q-Qプロットを具体的に指す場合もあれば、より一般的な種類のプロットを指す場合もあり、あまり一般的ではないP-Pプロットを指す場合もあります。確率プロット相関係数プロット（PPCCプロット）は、Q-Qプロットの考え方から派生した量であり、適合させた分布と観測データとの一致度を測定するもので、データに分布を適合させる手段として使用されることもあります。

定義と構成

AQ-Qプロットとは、2つの分布の分位点を互いにプロットしたもの、または分位点の推定値に基づいて作成されたプロットのことです。プロット上の点のパターンを用いて、2つの分布を比較します。

Q-Q プロットを作成する際の主な手順は、プロットする分位数を計算または推定することです。Q-Q プロットの軸の 1 つまたは両方が連続累積分布関数(CDF) を持つ理論分布に基づいている場合、すべての分位数は一意に定義され、CDF を反転することで得られます。不連続 CDF を持つ理論確率分布が比較対象の 2 つの分布のうちの 1 つである場合、一部の分位数が定義されない可能性があるため、補間された分位数をプロットすることができます。Q-Q プロットがデータに基づいている場合、複数の分位数推定器が使用されます。分位数を推定または補間する必要がある場合の Q-Q プロットの作成ルールは、プロット位置と呼ばれます。

単純な例として、同じサイズのデータセットが2つある場合が挙げられます。この場合、Q-Qプロットを作成するには、各データセットを昇順に並べ、対応する値をペアにしてプロットします。より複雑な例として、サイズの異なる2つのデータセットを比較する場合が挙げられます。この場合、Q-Qプロットを作成するには、同じ基礎確率に対応する分位点を構築できるように、補間された分位点推定値を使用する必要があります。

より抽象的に言うと、^{[ 5 ]} 2 つの累積確率分布関数 $F$ と $G$ が与えられ、それに関連付けられた分位関数 $F -1$ と $G -1$ (CDF の逆関数が分位関数です) がある場合、Q–Q プロットは、 $q$ の値の範囲に対して、 $F$ の q 番目の分位を $G$ $の$ $q$ 番目の分位に対して描画します。したがって、Q–Q プロットは、実平面 $R$ $2$ の値を持つ [0,1] でインデックス付けされたパラメトリック曲線です。

正規性の分析では、通常、縦軸は関心のある変数の値、たとえば累積分布関数 $F$ $($ $x$ $)$ を持つ $x$ を示し、横軸は $N$ $-1$ $($ $F$ $($ $x$ $))$ を表します。ここで、 $N$ $-1$ $(.)$ は逆累積正規分布関数を表します。

解釈

Q-Q プロットにプロットされた点は常に正の傾きを持ち、つまり左から右に見ると増加します。比較対象の 2 つの分布が同一である場合、Q-Q プロットは 45° の直線 $y = x$ に沿います。一方の分布の値を線形変換した後に 2 つの分布が一致する場合、Q-Q プロットは何らかの直線に沿いますが、必ずしも直線 $y = x$ に沿うとは限りません。Q-Q プロットの一般的な傾向が直線 $y = x$ よりも平坦である場合、水平軸にプロットされた分布は垂直軸にプロットされた分布よりも分散が大きくなります。逆に、Q-Q プロットの一般的な傾向が直線 $y = x$ よりも急勾配である場合、垂直軸にプロットされた分布は水平軸にプロットされた分布よりも分散が大きくなります。Q-Q プロットはしばしば弧状または S 字型になり、これは一方の分布が他方の分布よりも歪んでいるか、一方の分布の裾が他方の分布よりも重いことを示しています。

Q-Qプロットは分位数に基づいて作成されますが、標準的なQ-Qプロットでは、プロット上のどの点が特定の分位数を決定するのかを特定することはできません。例えば、Q-Qプロットを検査するだけでは、比較対象となる2つの分布の中央値を特定することはできません。一部のQ-Qプロットでは、このような特定を可能にするために、十分位数が表示されています。

分位点間の線形回帰の切片と傾きは、サンプルの相対的な位置と相対的なスケールの尺度となります。水平軸にプロットされた分布の中央値が 0 の場合、回帰直線の切片は位置の尺度であり、傾きはスケールの尺度となります。中央値間の距離は、Q-Q プロットに反映される相対的な位置のもう 1 つの尺度です。「確率プロット相関係数」（PPCC プロット）は、ペアになったサンプル分位点間の相関係数です。相関係数が 1 に近いほど、分布は互いにシフト、スケーリングされたバージョンに近くなります。形状パラメータが 1 つだけの分布の場合、確率プロット相関係数プロットは形状パラメータを推定する方法を提供します。異なるタイプの分布を比較する場合と同様に、形状パラメータのさまざまな値に対して相関係数を計算し、最も適合度の高い値を使用します。

Q-Q プロットのもう 1 つの一般的な用途は、正規確率プロットのように、標本の分布を標準正規分布 $N (0,1)$ などの理論分布と比較することです。2 つのデータサンプルを比較する場合と同様に、データを順序付け (正式には、順序統計量を計算)、次にそれらを理論分布の特定の分位数に対してプロットします。^[³^]

位置のプロット

理論分布からの分位数の選択は、文脈と目的に応じて異なります。サンプルサイズが $n$ の場合、 1 つの選択肢は $k / n ($ $k = 1, \dots, n)$ です。これは、標本分布が実現する分位数です。これらの最後の $n / n$ は、100 パーセンタイル、つまり理論分布の最大値に対応し、場合によっては無限大になります。他の選択肢としては、 $(k - 0.5) / nを使用するか、代わりに$ $n$ 個の点を、すべての点の間、および最も外側の 2 つの点と境界の間に等距離になるように配置する方法があります。 $[0,1]$ 区間は $k / (n + 1)$ を使用します。^{[ 6 ]}

理論や関連するシミュレーションに基づいて、形式的およびヒューリスティックな他の多くの選択肢が提案されています。次のサブセクションでは、これらのいくつかについて説明します。より狭い問題としては、最大値の選択（母集団の最大値の推定）があり、これはドイツの戦車問題として知られています。これに対しては、同様の「標本最大値＋ギャップ」解が存在し、最も単純なのは $m + m / n - 1 です。この間隔の均一化のより形式的な適用は、パラメータの$ 最大間隔推定で発生します。

一様分布の順序統計量の期待値

k $/ (n + 1)アプローチは、ランダムに抽出された ($ $n + 1$ )個の値の最後の値が、最初の $n 個のランダムに抽出された値の$ $k$ 番目に小さい値を超えない確率に従って点をプロットすることと同じです。^[⁷^]^[⁸^]

標準正規分布の順序統計量の期待値

正規確率プロットを使用する場合、使用する分位点はランクイット、つまり標準正規分布の順序統計量の期待値の分位点です。

より一般的には、シャピロ・ウィルク検定は、与えられた分布の順序統計量の期待値を使用します。結果として得られるプロットと線は、位置と尺度（適合した線の切片と傾きから）の一般化最小二乗推定値を与えます。 ^[⁹^] これは正規分布（位置と尺度はそれぞれ平均と標準偏差によって推定される）にはあまり重要ではありませんが、他の多くの分布には役立つ可能性があります。

しかし、これには順序統計量の期待値を計算する必要があり、分布が正規分布でない場合は計算が難しい場合があります。

順序統計量の中央値

あるいは、順序統計量の中央値の推定値を使用することもできます。これは、一様分布の順序統計量の中央値の推定値と分布の分位関数に基づいて計算できます。これは、Filliben (1975)によって提案されました。^{[ 9 ]}

これは、分位関数を計算できる任意の分布に対して容易に生成できますが、逆に、結果として得られる位置と尺度の推定値は、もはや最小二乗推定値と正確には一致しません。ただし、これらの値が大きく異なるのは、 $nが$ 小さい場合のみです。

ヒューリスティクス

アフィン対称プロット位置として、いくつかの異なる式が使用または提案されてきました。そのような式は、0 から 1 の範囲の $a$ の値に対して $(k - a) / (n + 1 - 2 a)の形をしており、$ $k$ $/ ($ $n$ $+ 1)$ から $($ $k$ $- 1) / ($ $n$ $-$ $1)$ の範囲になります。

表現例：

$k / (n + 1)$
$(k - 0.3) / (n + 0.4)$ . ^{[ 10 ]}
$(k - 0.3175) / (n + 0.365)$ 。^{[ 11 ]}^{[注 1 ]}
$(k - 0.326) / (n + 0.348)$ . ^{[ 12 ]}
$(k - ⅓) / (n + ⅓)$ 。^{[注2 ]}
$(k - 0.375) / (n + 0.25)$ 。^{[注3 ]}
$(k - 0.4) / (n + 0.2)$ 。
$(k - 0.44) / (n + 0.12)$ 。^{[注4 ]}
$(k - 0.5) / n$ . ^{[ 14 ]}
$(k - 0.567) / (n - 0.134)$ 。
$(k - 1) / (n - 1)$ 。^{[注5 ]}

サンプルサイズ $n$ が大きい場合、これらの様々な表現の間にはほとんど違いはありません。

フィリベンの推定

順序統計量の中央値は、分布の順序統計量の中央値です。これらは、連続一様分布の分位関数と順序統計量の中央値を用いて次のように表すことができます。 $N(i)=G(U(i))$ ここで、 $U (i)$ は一様順序統計量の中央値であり、 $G$ は目的の分布の分位関数です。分位関数は累積分布関数（ $X$ が何らかの値以下である確率）の逆関数です。つまり、ある確率が与えられたとき、それに対応する累積分布関数の分位値を求めたいのです。

ジェームズ・J・フィリベンは、一様順序統計量の中央値に対して以下の推定値を使用しています。^{[ 15 ]} $m(i)={\begin{cases}1-0.5^{1/n}&i=1\\[2ex]{\dfrac {i-0.3175}{n+0.365}}&i=2,3,\ldots ,n-1\\[2ex]0.5^{1/n}&i=n.\end{cases}}$ この推定を行う理由は、順序統計量の中央値が単純な形式を持たないためである。

ソフトウェア

Rプログラミング言語には、 Q-Qプロットを作成するための関数が付属しており、具体的にはstatsパッケージに含まれるqqnormとqqplotです。このfastqqパッケージは、多数のデータポイントに対してより高速なプロット処理を実現します。

注記

↑なお、これは最初と最後の点に対して異なる表現を使用しています。フィリベン（1975）による原著論文を引用している。この式は $U$ $（$ $k$ $）$ の中央値の推定値である。
↑位置をプロットするためのシンプルで覚えやすい公式。BMDP統計パッケージで使用されています。
↑これはBlom（1958）による以前の近似式であり、 MINITABで使用されている式です。
↑このプロット位置は、アービング・I・グリンゴルテン^{[ 13 ]}がガンベル分布の検定で点をプロットするために。
↑フィリベン（1975）が使用した $これらのプロット点は、 U$ $（$ $k$ $）$ のモードに等しい。

参考文献

引用文献

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↑ヘイゼン、アレン（1914）、「都市用水供給のための貯水池に確保すべき貯水量」、米国土木学会論文集（77）：1547–1550
↑フィリベン（1975）。

情報源

この記事には、米国国立標準技術研究所（NIST）のパブリックドメイン資料が含まれています。
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チェンバース、ジョン；クリーブランド、ウィリアム；クライナー、ビート；テューキー、ポール（1983）、『データ分析のための図解法』、ワズワース
クリーブランド、WS（1994）『データのグラフ化の要素』ホバート・プレスISBN 0-9634884-1-4
Filliben, JJ (1975年2月)、「正規性のための確率プロット相関係数検定」、Technometrics、17 (1)、American Society for Quality: 111–117、doi : 10.2307/1268008、JSTOR 1268008。
ギボンズ、ジーン・ディキンソン、チャクラボルティ、スバブラタ（2003）ノンパラメトリック統計推論（第4 版）、CRC Press、ISBN 978-0-8247-4052-8
Gnanadesikan, R. (1977).多変量観測の統計分析法. Wiley. ISBN 0-471-30845-5。
ヘンリー C. ソード (2002)、正常性のテスト、ニューヨーク: マーセル・デッカー、ISBN 0-8247-9613-6

外部リンク

確率プロット
マヌエル・ジモンド著、「経験的QQプロット（およびそこから導出されたテューキー平均差プロット）」

[12] なお、これは最初と最後の点に対して異なる表現を使用しています。フィリベン（1975）による原著論文を引用している。この式は $U$ $（$ $k$ $）$ の中央値の推定値である。

[14] 位置をプロットするためのシンプルで覚えやすい公式。BMDP統計パッケージで使用されています。

[15] これはBlom（1958）による以前の近似式であり、 MINITABで使用されている式です。

[17] このプロット位置は、アービング・I・グリンゴルテン^{[ 13 ]}がガンベル分布の検定で点をプロットするために。

[19] フィリベン（1975）が使用した $これらのプロット点は、 U$ $（$ $k$ $）$ のモードに等しい。

[1] Wilk, MB; Gnanadesikan, R. (1968), "Probability plotting methods for the analysis of data", Biometrika , 55 (1), Biometrika Trust: 1– 17, doi : 10.1093/biomet/55.1.1 , JSTOR 2334448 , PMID 5661047 .

[FOOTNOTEGnanadesikan1977199-2] Gnanadesikan (1977)、p. 199。

[thode21-3] 1 2 Thode (2002) 、セクション 2.2.2、分位点-分位点プロット、p. 21

[closure-4] 「SR 20 – ノースカスケードハイウェイ – 開通と閉通の歴史」。ノースカスケード峠。ワシントン州運輸省。2009年10月。 2009年2月8日取得。

[gibbons-5] ギボンズとチャクラボルティ (2003) 、p. 144

[6] Weibull, Waloddi (1939)、「材料の強度に関する統計理論」、IVA Handlingar、スウェーデン王立工学アカデミー(151)

[7] マドセン、HO 他(1986)、『構造安全性の方法』

[8] Makkonen, L. (2008), "プロット位置論争に終止符を打つ", Communications in Statistics – Theory and Methods , 37 (3): 460– 467, doi : 10.1080/03610920701653094 , S2CID 122822135

[thode31-9] 1 2正規性の検定、ヘンリー・C・ソード著、CRC Press、2002年、 ISBN 978-0-8247-9613-631ページ

[10] Benard, A.; Bos-Levenbach, EC (1953 年 9 月). 「確率紙への観測値のプロット」 . Statistica Neerlandica (オランダ語). 7 : 163– 173. doi : 10.1111/j.1467-9574.1953.tb00821.x .

[11] "1.3.3.21. 正規確率プロット" . itl.nist.gov . 2022年2月16日取得.

[13] 分布フリープロット位置、Yu & Huang

[16] Gringorten, Irving I. (1963). "極値確率論文のプロット規則" . Journal of Geophysical Research . 68 (3): 813– 814. Bibcode : 1963JGR....68..813G . doi : 10.1029/JZ068i003p00813 . ISSN 2156-2202 .

[18] ヘイゼン、アレン（1914）、「都市用水供給のための貯水池に確保すべき貯水量」、米国土木学会論文集（77）：1547–1550

[FOOTNOTEFilliben1975-20] フィリベン（1975）。

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