確率プロット相関係数プロット

確率プロット相関係数 (PPCC) プロットは、データ セットを最もよく表す分布族の形状パラメータを識別するためのグラフィカル手法です。この手法は、単一の形状パラメータと位置パラメータおよびスケール パラメータによって定義されるワイブル分布などの族に適していますが、位置パラメータとスケール パラメータのみによって定義される正規分布などの族には適しておらず、使用することもできません。

多くの統計分析は、データの取得元となる母集団に関する分布の仮定に基づいています。ただし、分布ファミリーは、形状パラメータの値に応じて根本的に異なる形状を持つ場合があります。したがって、形状パラメータの適切な選択を見つけることは、分析に必要なステップです。多くの分析では、データに適した分布モデルを見つけることが分析の主な焦点です。

この手法は、単に「形状パラメータの異なる値に対する確率プロット相関係数をプロットし、最も適合する値を選択する」というものです。

PPCC プロットは次のように形成されます。

• 縦軸:確率プロット相関係数;
• 横軸: 形状パラメータの値。

つまり、形状パラメータの一連の値について、形状パラメータの特定の値に関連付けられた確率プロットの相関係数が計算されます。これらの相関係数は、対応する形状パラメータに対してプロットされます。最大相関係数は、形状パラメータの最適値に対応します。精度を高めるために、PPCC プロットの 2 つの反復を生成できます。1 回目は適切な近傍を見つけるため、2 回目は推定値を微調整するためです。

PPCC プロットは、まず形状パラメータの適切な値を見つけるために使用されます。次に、確率プロットが生成され、位置パラメータとスケール パラメータの推定値を見つけるとともに、分布適合の妥当性をグラフィカルに評価します。

PPCC プロットは次の質問に答えます。

1. 分布族内で最も適合するメンバーは何ですか?
2. 最も適合するメンバーは、（高い相関係数を持つ確率プロットを生成するという点で）良好な適合性を提供しますか?
3. この分布族は他の分布と比べて適合性が良好ですか?
4. 形状パラメータの選択はどの程度重要ですか?

PPCC プロットは、特定の分布の形状パラメータを推定するための適切な選択肢を見つけるだけでなく、どの分布族が最も適切であるかを判断する際にも役立ちます。たとえば、信頼性データのセットが与えられた場合、ワイブル分布、対数正規分布、ガンマ分布、逆ガウス分布、およびその他の分布の PPCC プロットを1 ページに生成できます。この 1 ページには、いくつかの分布の形状パラメータの最適値が表示され、さらに、これらの分布族のどれが最も適合しているかが示されます (最大確率プロット相関係数で測定)。つまり、ワイブルの最大 PPCC 値が 0.99 で、対数正規分布の最大 PPCC 値が 0.94 しかない場合、ワイブル族の方が適切な選択であると合理的に結論付けることができます。

分布モデルを比較する場合、単純に PPCC 値が最大のモデルを選択すべきではありません。多くの場合、複数の分布適合により、同等の PPCC 値が得られます。たとえば、対数正規分布とワイブル分布は、どちらも特定の信頼性データ セットに非常によく適合する場合があります。通常は、分布の複雑さを考慮します。つまり、PPCC 値がわずかに小さい、より単純な分布の方が、より複雑な分布よりも好まれる場合があります。同様に、基礎となる科学モデルの観点から、PPCC 値がわずかに小さい分布を優先する理論的な正当性がある場合もあります。他の場合には、分布モデルが最適かどうかを知る必要はなく、目的に適しているかどうかを知るだけでよい場合があります。つまり、他の分布がデータにいくらかよく適合する場合でも、正規分布データ用に設計された手法を使用できる場合があります。

形状パラメータλを持つTukeyラムダPPCCプロットは、対称分布に特に役立ちます。分布が短いか長いかを示し、さらにいくつかの一般的な分布を示すことができます。具体的には、

1. λ = −1: 分布はほぼコーシー分布
2. λ = 0: 分布は正確にロジスティックである
3. λ = 0.14: 分布はほぼ正規分布である
4. λ = 0.5: 分布はU字型
5. λ = 1: 分布は完全に均一(−1, 1)

Tukey ラムダ PPCC プロットが 0.14 付近で最大値を示す場合、正規分布がデータの適切なモデルであると合理的に結論付けることができます。最大値が 0.14 未満の場合、二重指数分布やロジスティック分布などのロングテール分布の方が適しています。最大値が -1 付近の場合、コーシー分布などの非常にロングテールの分布が選択されていることを意味します。最大値が 0.14 より大きい場合、ベータ分布や一様分布などのショートテール分布が選択されていることを意味します。

Tukey-lambda PPCC プロットは、適切な分布を提案するために使用されます。適切な選択肢の PPCC および確率プロットをフォローアップする必要があります。

• 確率プロット

• 確率プロット相関係数プロット

• Filliben, JJ (1975 年 2 月)。「正規性のための確率プロット相関係数検定」。Technometrics . 17 ( 1): 111–117. doi :10.2307/1268008. JSTOR  1268008。

 この記事には、国立標準技術研究所の パブリックドメイン資料が組み込まれています。