ユニットダミーフォース法

単位ダミー力法は、構造システムの変位を計算するための便利な手段を提供します。この方法は、線形および非線形の材料挙動と環境の影響を受けるシステムの両方に適用できるため、カスティリアーノの第 2 定理よりも一般的です。

トラス、梁、フレームなどの離散システムを考えてみましょう。これらの離散システムでは、メンバーはノードで相互接続されています。メンバーの一貫した変形セットは で与えられ、これはメンバーの柔軟性関係を使って計算できます。これらのメンバーの変形によって、決定したい ノードの変位 が発生します。${\displaystyle \mathbf {q} _{M\times 1}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{N\times 1}}$

まず、必要なrごとに 1 つずつ、 N 個の仮想ノード力を適用し、次の値と平衡状態にある仮想メンバー力を見つけます。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{N\times 1}^{*}}$

静的に不確定なシステムの場合、ノード平衡を満たす集合は無限であるため、行列Bは一意ではありません。これは、元のシステムから派生した任意 のプライマリ システムのノード平衡行列の逆行列として計算できます。${\displaystyle \mathbf {Q} _{M\times 1}^{*}}$

内部の仮想力と外部の仮想力がそれぞれ実際の変形と変位を受けると想像してください。仮想的な仕事は次のように表すことができます。

• 外部仮想作業:${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} }$
• 内部仮想作業:${\displaystyle \mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$

仮想仕事の原理によれば、2 つの仕事の表現は等しくなります。 $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {Q} ^{*T}\mathbf {q} }$$

（１）を代入すると $${\displaystyle \mathbf {R} ^{*T}\mathbf {r} =\mathbf {R} ^{*T}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {q} .}$$

には任意の仮想力が含まれているので、上記の式は ${\displaystyle \mathbf {R} ^{*}}$

(2) の計算は、システムの複雑さに関係なく積分を伴わず、 Bのプライマリシステムの選択に関係なく結果が一意であることは注目に値します。したがって、これは、システムのタイプや課せられた外部効果によって変化するダミーユニットロード法の古典的な形式よりもはるかに便利で汎用的です。一方、式 (2) はノードの変位または回転のみを計算することに注意することが重要です。これは制限ではなく、必要に応じて任意の点をノードにすることができます。

最後に、単位荷重という名称は、行列Bの係数が式(1)に基づいて 単位節点力と平衡にある部材力であるという解釈から生じています。${\displaystyle B_{i,j}}$${\displaystyle R_{j}^{*}=1}$

一般的なシステムでは、単位ダミー力法も仮想仕事原理から直接導かれます。図(a)は、実際の変形がわかっているシステムを示しています。これらの変形は、おそらく一貫しており、システム全体に変位を引き起こします。たとえば、点AがA'に移動したとします。ここで、図の方向におけるAの変位rを計算します。この特定の目的のために、図(b)の仮想力システムを選択します。これは次のことを示しています。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}}$

• 単位力R *はAにあり、 rの方向にあるので、R *によって行われる外部仮想仕事は、(a)の変位がゼロであるため、(b)の仮想反応によって行われる仕事がゼロであることに注意すると、所望の変位は$${\displaystyle R^{*}\times r=1\times r}$$
• 仮想応力によって行われる内部仮想仕事は、仮想応力がどこでも平衡を満たさなければならない場所です。$${\displaystyle \int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}}$

2 つの作業式を等しくすると、目的の変位が得られます。 $${\displaystyle 1\times r=\int _{V}{\boldsymbol {\epsilon }}^{T}{\boldsymbol {\sigma }}^{*}dV}$$