スタードメイン

幾何学において、ユークリッド空間内の集合 は、から へのすべての線分に対してが に含まれるような が存在するとき、星型領域（または星型凸集合、星型集合^[1] 、または放射状凸集合）と呼ばれます。この定義は、任意の実数または複素数ベクトル空間に直ちに一般化できます。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S.}$

直感的に、 を壁で囲まれた領域として考えると、内の任意の点が視線の範囲内にあるような 内の有利な点を見つけることができれば、 はスタードメインです。類似しているが異なる概念として、放射状集合があります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s}$${\displaystyle S}$

ベクトル空間（ユークリッド空間など）内の2点とが与えられたとき、の凸包は端点とを持つ閉区間と呼ばれ、で表されます。 ここで、任意のベクトル${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$$${\displaystyle \left[x,y\right]~:=~\left\{tx+(1-t)y:0\leq t\leq 1\right\}~=~x+(yx)[0,1],}$$${\displaystyle z[0,1]:=\{zt:0\leq t\leq 1\}}$${\displaystyle z.}$

ベクトル空間の部分集合が、任意の閉区間 に対して、において星型であるというとき 、集合は星型 であり、において星型となるような点が存在するとき、星型領域と呼ばれる。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle s\in S,}$${\displaystyle \left[s_{0},s\right]\subseteq S.}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s_{0}.}$

原点において星型になっている集合は、スター集合と呼ばれることがあります。^{[2]このような集合は}ミンコフスキー関数と密接に関連しています。

• 内の任意の線または平面はスター ドメインです。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• 1 つの点が削除された線または平面は、スター ドメインではありません。
• が内の集合である場合、内のすべての点を原点に接続して得られる集合はスター領域です。${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle B=\{ta:a\in A,t\in [0,1]\}}$${\displaystyle A}$
• 十字形の図形は星型領域ですが、凸型ではありません。
• 星型多角形は、境界が接続された線分のシーケンスである星型領域です。

• 凸性:空でない 凸集合はいずれもスター領域です。集合が凸集合となるのは、その集合内の各点に関してスター領域である場合のみです。
• 閉包と内部:スター ドメインの閉包はスター ドメインですが、スタードメインの内部は必ずしもスター ドメインであるとは限りません。
• 収縮: すべてのスタードメインは、直線ホモトピーを介して収縮可能な集合です。特に、すべてのスタードメインは単連結集合です。
• 縮小: すべての星の領域、そして星の領域だけが「それ自体に縮小」することができます。つまり、あらゆる膨張率に対して、膨張した星の領域が元の星の領域に含まれるような比率で星の領域を膨張させることができます。^[3]${\displaystyle r<1,}$${\displaystyle r}$
• 結合と交差: 2 つのスター ドメインの結合または交差は、必ずしもスター ドメインであるとは限りません。
• バランス:集合(ただし はすべての単位長さのスカラーにわたって範囲) が与えられたとき、 は原点で星型であるとき (つまり、すべての および に対してであり、であるとき)は常にバランスのとれた集合です。${\displaystyle W\subseteq X,}$${\displaystyle \bigcap _{|u|=1}uW}$${\displaystyle u}$${\displaystyle W}$${\displaystyle 0\in W}$${\displaystyle rw\in W}$${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$${\displaystyle w\in W}$
• 微分同相写像: の空でない開星領域は、${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$
• 二項演算子：と がスタードメインである場合、直積 もスタードメインであり、和 もスタードメインです。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle A+B}$
• 線型変換： がスタードメインである場合、 のすべての線型変換もスタードメインである。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

• 絶対凸集合 – 凸かつバランスのとれた集合
• 吸収セット – 任意のポイントに到達するために「膨らませる」ことができるセット
• アートギャラリーの問題 – 数学の問題
• バランスセット – 機能分析における構成
• 有界集合（位相ベクトル空間）  – 有界性の一般化
• 凸集合 – 幾何学において、すべての直線との交点が単一の線分である集合
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• ラジアルセット
• 星型多角形 – 正多角形
• 対称集合 - 群の部分集合の性質（数学）
• 星型の好み

• イアン・スチュワート、デイヴィッド・トール『複素解析』ケンブリッジ大学出版局、1983年、ISBN 0-521-28763-4、MR 0698076 
• CR スミス、「星型集合の特徴付け」、アメリカ数学月刊誌、第 75 巻、第 4 号 (1968 年 4 月)。p. 386、MR 0227724、JSTOR  2313423
• ルディン、ウォルター(1991)。関数解析。国際純粋・応用数学シリーズ。第 8 巻 (第 2 版)。ニューヨーク、NY: McGraw - Hill Science/Engineering/ Math。ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• シェクター、エリック（1996）。分析とその基礎ハンドブック。サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス。ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365.

ウィキメディア・コモンズには、星型集合に関連するメディアがあります。

• ハンフリーズ、アレクシス。「スター凸」。MathWorld。