プライマリライン定数

一次線路定数は、銅線ペアなどの導電性伝送線路の特性を、線路の物理的電気特性の観点から記述するパラメータです。一次線路定数は伝送線路にのみ関連し、二次線路定数とは対照的です。二次線路定数は、一次線路定数から導出でき、より一般的に適用できます。二次線路定数は、たとえば、導波管の特性を銅線と比較するために使用できますが、一次定数は導波管には意味がありません。

定数は導体の抵抗とインダクタンス、および絶縁体の静電容量とコンダクタンスで、慣例によりそれぞれR、L、C、およびGの記号で表されます。定数は単位長さあたりで列挙されます。これらの要素の回路表現には分布要素モデルが必要であり、したがって回路を解析するには微積分を使用する必要があります。解析により、2 つの 1 次同時線形偏微分方程式のシステムが生成され、これらを組み合わせて特性インピーダンスと伝搬定数の 2 次定数を導出できます。

多くの特殊なケースには、特に簡単なソリューションと重要な実用的なアプリケーションがあります。低損失ケーブルでは、解析に含める必要があるのはLとCのみで、ケーブルの長さが短い場合に便利です。ツイストペア電話回線などの低周波アプリケーションでは、 RとCのみが重要な役割を果たします。RF同軸 ケーブルなどの高周波アプリケーションでは、 LとCが重要な役割を果たします。歪みを防ぐために負荷がかけられた回線では、解析に 4 つの要素すべてが必要になりますが、シンプルで洗練されたソリューションがあります。

主な線定数は 4 つありますが、状況によっては、無視できるほど小さいものもあり、分析を簡略化できます。これら 4 つの定数とその記号および単位は次のとおりです。

RとL は線路と直列の要素 (導体の特性のため) であり、CとG は線路を分路する要素 (導体間の 誘電体の特性のため) である。Gは誘電体を流れる漏れ電流を表し、ほとんどのケーブルでは非常に小さい。ループという言葉は、両方の導体の抵抗とインダクタンスを考慮する必要があることを強調するために使用される。たとえば、線路が 25 mΩ/m の抵抗を持つ 2 本の同一のワイヤで構成されている場合、ループ抵抗はその 2 倍の 50 mΩ/m である。定数の値は非常に小さいため、メーカーはメートル単位ではなくキロメートル単位で見積もるのが一般的である。英語圏では「マイル単位」も使用される。^{[1] [2]}

「定数」という言葉は誤解を招く可能性があります。これは、それらが材料定数であることを意味しますが、周波数によって変化する可能性があります。特に、R は表皮効果の影響を強く受けます。さらに、 G はオーディオ周波数では実質的に影響しませんが、ケーブルに使用される多くの誘電体材料では、高い損失正接のために高周波で顕著な損失を引き起こす可能性があります。Gによって引き起こされる損失を回避するため、UHFで使用するために設計された多くのケーブルは空気絶縁またはフォーム絶縁 (実質的に空気絶縁) になっています。^[3]この文脈での定数の実際の意味は、パラメータが距離に対して一定であるということです。つまり、線路は長さ方向に均一であると想定されます。この条件は、今日使用されているほとんどの伝送線路に当てはまります。^[4]

† メーカーは一般的にデータシートでインダクタンスの値を省略しています。これらの値の一部は、静電容量と特性インピーダンスの数値から推定されます。${\displaystyle \scriptstyle {Z_{0}}^{2}=L/C}$

線路定数は、回路内の集中要素として単純に表現することはできません。分散要素として記述する必要があります。たとえば、容量の「部分」は抵抗の「部分」の間にあります。R と C をいくつに分割しても、回路を適切に表現するにはさらに分割する必要があるという議論は常にあり、分割するたびに回路のメッシュの数が増えます。これは図 1 に図式的に示されています。回路を正確に表現するには、各要素が線に沿って分散されるように、要素を極小にする必要があります。極小距離にある極小要素は次のように表されます。^[14]${\displaystyle \scriptstyle dx}$

${\displaystyle dL=\lim _{\delta x\to 0}(L\delta x)=Ldx}$ 

${\displaystyle dR=\lim _{\delta x\to 0}(R\delta x)=Rdx}$ 

${\displaystyle dC=\lim _{\delta x\to 0}(C\delta x)=Cdx}$ 

${\displaystyle dG=\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx}$ 

解析の目的上、これらの要素を一般的な直列インピーダンスZとシャントアドミタンスY の要素にまとめると便利です。

${\displaystyle dZ=(R+i\omega L)dx=Zdx\,,}$ そして、

${\displaystyle dY=(G+i\omega C)dx=Ydx\,.}$

このネットワーク (図 2) を解析すると、2 次線路定数が得られます。2 次定数は、伝搬定数、(実部と虚部はそれぞれ減衰定数、、および位相変化定数、) と特性インピーダンス、です。特性インピーダンスも一般に実部 、、および虚部 、を持ち、合計 4 つの 2 次定数が 4 つの 1 次定数から導出されます。定数という用語は、2 次定数についてはさらに誤解を招きやすいものです。なぜなら、2 次定数は、1 次定数が周波数によって大きく変化しない理想的な状況であっても、通常は周波数によって大きく変化するからです。これは、回路内のリアクタンス (および) が に依存するためです。1 次定数の特定の値を選択して、 とが から独立するようにすることは可能ですが(ヘビサイド条件)、この場合でも、 はに直接比例します。1 次定数と同様に、「定数」の意味は、2 次定数が線路に沿った距離によって変化しないということであり、周波数から独立しているということではありません。^{[14] [15] [16]}${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle X_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle \omega L}$${\displaystyle \scriptstyle 1/(\omega C)}$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

伝送線路の特性インピーダンス は、無限に長い線路を見たときのインピーダンスとして定義されます。このような線路は、入射波が反射される端に到達することはないため、反射を返すことはありません。線路の有限長を考えるとき、線路の残りの部分は、その等価回路として に置き換えることができます。これは、線路の残りの部分が依然として無限に長く、したがって元の線路と等価であるためです。有限部分が非常に短い場合、等価回路では、 の 1 つの要素と の 1 つの要素で構成される L ネットワークによってモデル化されます。残りの部分は で与えられます。この結果、図 3 に示すネットワークが得られ、通常のネットワーク分析定理を使用して について分析できます。^{[17] [18]}${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle dZ}$${\displaystyle \scriptstyle dY}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}}$

それを並べ替えると、

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}}$

両側の限界を取る

${\displaystyle \lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

そして、線は長さ方向に均一であると仮定されたので、

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

線路入力電圧と線路のさらに下（等価回路の1セクション後）の電圧の比は、標準的な電圧分割器の計算によって与えられます。特性インピーダンスの計算と同様に、線の右側の残りの部分は、に置き換えられます。^{[19] [20]}${\displaystyle \scriptstyle \delta x}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y}$

各微小セクションでは、電圧降下が同じ係数で乗算されます。セクション後の電圧比は、 ${\displaystyle \scriptstyle n}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

線に沿った距離に応じて、セクションの数は、 ${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle x/\delta x}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

の極限において、 ${\displaystyle \scriptstyle \delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

2次の項は極限では消えるので、精度を落とさずに次のように書くことができる。 ${\displaystyle \scriptstyle \delta Z\delta Y}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

そして数学的な恒等式と比較すると、

${\displaystyle e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}}$

収穫、

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}}$

伝播定数の定義から、

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!}$

したがって、

${\displaystyle \gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}}$

理想的な伝送線路には損失がなく、抵抗要素がゼロであることを意味します。また、純粋な実数（抵抗）特性インピーダンスになります。理想的な線路は実際には実現できませんが、多くの状況で便利な近似値です。これは、たとえば、スタブなどの回路部品として短い線路が使用されている場合に特に当てはまります。短い線路には損失がほとんどないため、これを無視して理想的な線路として扱うことができます。このような状況での二次定数は次のとおりです。^[21]

${\displaystyle \gamma =i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

通常、オーディオ周波数や低データレートで使用されるツイストペアケーブルでは、 RとCが線路定数の大部分を占めます。これらの周波数では誘電損失は通常無視でき、Gはゼロに近くなります。また、十分に低い周波数では、Lも無視できます。このような状況では、二次定数は次のようになります。^[22]${\displaystyle \scriptstyle R\gg \omega L}$

${\displaystyle \gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle \beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}}$

このケーブルタイプの減衰は周波数とともに増大し、波形の歪みを引き起こします。 あまり目立たないかもしれませんが、 の周波数による変化は、分散 と呼ばれるタイプの歪みも引き起こします。分散を回避するには、 がに正比例することが求められます。しかし、実際には は に比例し、分散が生じます。 も周波数とともに変化し、部分的に反応性でもあります。これらの特徴は両方とも、抵抗性回線終端からの反射の原因となります。これはもう 1 つの望ましくない効果です。このタイプのケーブルに引用されている公称インピーダンスは、この場合、非常に公称値であり、1 つのスポット周波数でのみ有効であり、通常は 800 Hz または 1 kHz で引用されます。^{[23] [24]}${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\omega }}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

十分に高い周波数（中波無線周波数または高データレート）で動作するケーブルは、条件とを満たす。これは、どのケーブルでも周波数が増加すると最終的に当てはまるようになる。これらの条件下では、RとGは両方とも無視でき（ケーブル損失を計算する目的を除く）、二次定数は次のようになる。^[25]${\displaystyle \scriptstyle R\ll \omega L}$${\displaystyle \scriptstyle G\ll \omega C}$

${\displaystyle \gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\displaystyle \beta \approx \omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

負荷線路は意図的にインダクタンスを増加させて設計された線路である。これはケーブルに鉄などの磁性金属を加えたり、コイルを追加したりすることで行われる。その目的は、線路がヘヴィサイド条件を満たすようにすることである。ヘヴィサイド条件は周波数依存の減衰と分散によって引き起こされる歪みを排除し、一定かつ抵抗性であることを保証する。ここで二次定数は一次定数と次のように関係している。^[26]${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}}$

伝播速度は次のように表される。

${\displaystyle v=\lambda f.}$

以来、

${\displaystyle \omega =2\pi f}$そして${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

それから、

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}.}$

βが次のようにとれる 場合、

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

伝播速度は次のように表される。

${\displaystyle v={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

静電容量が低いほど速度は速くなります。低損失ケーブルに近似される空気誘電体ケーブルの場合、伝播速度は真空中の光速であるcに非常に近くなります。^[27]

• FR Connor、「Wave Transmission」、Edward Arnold Ltd.、1972年ISBN  0-7131-3278-7。
• John Bird、『電気回路理論と技術』、Newnes、2007年ISBN 0-7506-8139-X。 
• Ian Hickman、『アナログエレクトロニクス』、Newnes、1999年ISBN 0-7506-4416-8。 
• Fred Porges、『建物の電気設備の設計』、Taylor & Francis、1989年ISBN 0-419-14590-7。