ドーナツ型多面体

幾何学において、ドーナツ型多面体（ドーナツ型たてがみ）は、位相種数（ $g$ ）が1以上である、ドーナツ型（g穴付きトーラス）でもある多面体である。有名な例としては、チャーサール多面体 $や$ シラッシ多面体が挙げられる。

定義のバリエーション

ドーナツ型多面体は、辺と頂点で交わる多角形の集合として定義され、多様体を形成する。つまり、各辺はちょうど 2 つの多角形で共有され、各頂点では、頂点で交わる辺と面は、交互の辺と面の 1 つのサイクル (頂点のリンク) でリンクされる。ドーナツ型多面体の場合、この多様体は方向付け可能な面である。^{[1]一部の著者は、「ドーナツ型多面体」という語句を、より具体的には (種数 1)}トーラスと位相的に等価な多面体を指すように限定している。^[2]

この分野では、面が3次元ユークリッド空間内の平面多角形で交差も相互交差もない埋め込みトロイダル多面体と、特定の幾何学的実現を持たない位相面である抽象多面体を区別することが重要です。^[3]これら2つの極端な例の中間にあるのが、ユークリッド空間内で交差が許される幾何学的多角形または星型多角形で形成される多面体です。

これらすべてのケースにおいて、多面体のドーナツ状の性質は、その配向可能性とオイラー特性が非正であることによって検証できます。オイラー特性はV − E + F = 2 − 2 gに一般化されます。ここでgは位相種数です。

チャザールとシラッシの多面体

考えられる最も単純な埋め込みトロイダル多面体の 2 つは、Császár 多面体と Szilassi 多面体です。

チャーサール多面体は、7頂点のトーラス多面体で、21辺と14の三角形の面を持つ。^[6]チャーサール多面体と四面体は、2つの頂点を結ぶあらゆる線分が多面体の辺を形成する唯一の多面体である。^[7]その双対であるシラッシ多面体は、7つの六角形の面がすべて互いに隣接しており、^[8]そのため、（種数1の）トーラス上のマップに必要な色の最大数は7であるという定理の半分が成り立っている。 ^[9]

Császár 多面体は、埋め込まれたトロイダル多面体の中で頂点の数が最も少なく、Szilassi 多面体は、埋め込まれたトロイダル多面体の中で面の数が最も少ないです。

コンウェイのドーナツ型三角面体

1997年にジョン・H・コンウェイは、18の頂点と36の面を持つドーナツ型デルタ面体について記述した。隣接する面のいくつかは共平面である。コンウェイは、面が最も少ないデルタ面体ドーナツ型を提案した。^[10]

スチュワートトロイド

特別なカテゴリのドーナツ型多面体は、交差のない正多角形の面のみで構成され、隣接する面が互いに同一平面上にあってはならないというさらなる制約がある。これらはスチュワート・ドーナツ型多面体と呼ばれ、^{[11]これを集中的に研究した}ボニー・スチュワートにちなんで名付けられた。^{[12]それらは}凸多面体の場合のジョンソン立体に類似しているが、ジョンソン立体とは異なり、スチュワート・ドーナツ型多面体は無限に存在する。^[13]これらには、面がすべて正三角形である多面体であるドーナツ型デルタ面体も含まれる。

スチュワートによって定義されたスチュワート・トーロイドの限定されたクラスは、準凸トーロイド多面体である。これらは、凸包のすべての辺を含むスチュワート・トーロイドである。このような多面体では、凸包の各面がトーロイドの表面にあるか、すべての辺がトーロイドの表面にある多角形である。^[14]

自己交差多面体

交差する多角形のシステムによって形成される多面体は、その多角形とそれらの共有辺および頂点のシステムによって形成される抽象的な位相多様体に対応し、多面体の種数はこの抽象的な多様体から決定できます。例としては、種数 1 の八半八面体、種数 3 の小立方立方八面体、種数 4 の大十二面体などがあります。

クラウン多面体

五角形ステファノイド。このステファノイドは五角形の二面対称性を持ち、均一五角柱と同じ頂点を持ちます。

クラウン多面体またはステファノイドは、等角（等しい頂点）かつ等面体（等しい面）である、高貴なトロイダル多面体でもある。クラウン多面体は自己交差しており、位相的に自己双対である。^[15]

参照

参考文献

^ Whiteley (1979); Stewart (1980)、15ページ。
^ Webber、William T. (1997)、「トロイドである単面体等価多面体」、Geometriae Dedicata、67 (1): 31–44、doi :10.1023/A:1004997029852、MR 1468859、S2CID 117884274。
^ Whiteley, Walter (1979)、「多面体の実現可能性」(PDF)、構造トポロジー(1): 46–58, 73, MR 0621628。
^ アコス・チャザール、対角線のない多面体、セゲド大学ボヤイ研究所、1949年
^ Grünbaum, Branko ; Szilassi, Lajos (2009)、「特殊トロイダル複体の幾何学的実現」、離散数学への貢献、4 (1): 21–39、doi : 10.11575/cdm.v4i1.61986、ISSN 1715-0868
^ Császár、A. (1949)、「対角線のない多面体」、Acta Sci.数学。セゲド、13 : 140–142。
^ Ziegler、Günter M. (2008)、「高属の多面体表面」、ボベンコ、AI;シュレーダー、P.サリバン, JM ; Ziegler、GM (編)、離散微分幾何学、Oberwolfach セミナー、vol. 38、Springer-Verlag、pp. 191–213、arXiv : math.MG/0412093、doi :10.1007/978-3-7643-8621-4_10、ISBN 978-3-7643-8620-7、S2CID 15911143。
^ Szilassi、Lajos (1986)、「通常のトロイド」、構造トポロジー、13 : 69–80、hdl :2099/1038。
^ Heawood, PJ (1890)、「地図着色定理」、Quarterly Journal of Mathematics、第 1 シリーズ、24 : 322–339
^ Conway, John、「正の属の多面体」、geometry.research Usenetグループ; トロイダルデルタ面体を発表した「1997 年 9 月 23 日 12:00:00 AM」のメッセージと、その構造を説明した「1997 年 9 月 25 日 12:00:00 AM」のメッセージを参照してください。§ Stewart トロイドとは異なり、このトロイダルデルタ面体は、隣接する三角形が共平面にありますが、それ以外は Stewart (1980)、p. 60 で説明されている、より多くの面を持つトロイダルデルタ面体に似ています。
^ ウェッブ、ロバート（2000）、「ステラ：多面体ナビゲーター」、シンメトリー：文化と科学、11（1–4）：231–268、MR 2001419。
^ スチュワート、BM（1980）、トロイド間の冒険：正則面を持つ方向付け可能な多面体の研究（第2版）、BMスチュワート、ISBN 978-0-686-11936-4。
^ スチュワート（1980）、15ページ。
^ スチュワート（1980）「準凸性と弱準凸性」76-79ページ。
^ Grünbaum, Branko (1994)、「中空面を持つ多面体」、多面体: 抽象、凸型、計算、NATO ASI シリーズ C: 数学および物理シリーズ、第 440 巻、Kluwer Academic Publishers、pp. 43–70、doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3特に60ページを参照してください。

外部リンク

Weisstein、Eric W.「トロイダル多面体」。MathWorld。
スチュワートトロイド (正多角形の面を持つトロイド立体)
スチュワートの多面体
ドーナツ型多面体
スチュワートトロイド

[1] Whiteley (1979); Stewart (1980)、15ページ。

[2] Webber、William T. (1997)、「トロイドである単面体等価多面体」、Geometriae Dedicata、67 (1): 31–44、doi :10.1023/A:1004997029852、MR 1468859、S2CID 117884274。

[3] Whiteley, Walter (1979)、「多面体の実現可能性」(PDF)、構造トポロジー(1): 46–58, 73, MR 0621628。

[4] アコス・チャザール、対角線のない多面体、セゲド大学ボヤイ研究所、1949年

[5] Grünbaum, Branko ; Szilassi, Lajos (2009)、「特殊トロイダル複体の幾何学的実現」、離散数学への貢献、4 (1): 21–39、doi : 10.11575/cdm.v4i1.61986、ISSN 1715-0868

[6] Császár、A. (1949)、「対角線のない多面体」、Acta Sci.数学。セゲド、13 : 140–142。

[7] Ziegler、Günter M. (2008)、「高属の多面体表面」、ボベンコ、AI;シュレーダー、P.サリバン, JM ; Ziegler、GM (編)、離散微分幾何学、Oberwolfach セミナー、vol. 38、Springer-Verlag、pp. 191–213、arXiv : math.MG/0412093、doi :10.1007/978-3-7643-8621-4_10、ISBN 978-3-7643-8620-7、S2CID 15911143。

[8] Szilassi、Lajos (1986)、「通常のトロイド」、構造トポロジー、13 : 69–80、hdl :2099/1038。

[9] Heawood, PJ (1890)、「地図着色定理」、Quarterly Journal of Mathematics、第 1 シリーズ、24 : 322–339

[10] Conway, John、「正の属の多面体」、geometry.research Usenetグループ; トロイダルデルタ面体を発表した「1997 年 9 月 23 日 12:00:00 AM」のメッセージと、その構造を説明した「1997 年 9 月 25 日 12:00:00 AM」のメッセージを参照してください。§ Stewart トロイドとは異なり、このトロイダルデルタ面体は、隣接する三角形が共平面にありますが、それ以外は Stewart (1980)、p. 60 で説明されている、より多くの面を持つトロイダルデルタ面体に似ています。

[11] ウェッブ、ロバート（2000）、「ステラ：多面体ナビゲーター」、シンメトリー：文化と科学、11（1–4）：231–268、MR 2001419。

[12] スチュワート、BM（1980）、トロイド間の冒険：正則面を持つ方向付け可能な多面体の研究（第2版）、BMスチュワート、ISBN 978-0-686-11936-4。

[13] スチュワート（1980）、15ページ。

[14] スチュワート（1980）「準凸性と弱準凸性」76-79ページ。

[15] Grünbaum, Branko (1994)、「中空面を持つ多面体」、多面体: 抽象、凸型、計算、NATO ASI シリーズ C: 数学および物理シリーズ、第 440 巻、Kluwer Academic Publishers、pp. 43–70、doi :10.1007/978-94-011-0924-6_3特に60ページを参照してください。