非標準分析に対する批判

非標準解析とその派生である非標準計算は、 Errett Bishop、Paul Halmos、Alain Connesなど、多くの著者によって批判されてきました。これらの批判を以下で分析します。

文献における非標準解析の評価は大きく異なっている。ポール・ハルモスはそれを数理論理学における技術的な特別な発展と表現した。テレンス・タオは超実数フレームワークの利点を次のように要約した。

「すべての小さな数の集合」のようなものを厳密に操作したり、「η _{1 はη 0 を}含むものよりも小さい」というようなことを厳密に述べたりできると同時に、議論の中の多くの量指定子を自動的に隠すことでイプシロン管理の問題を大幅に軽減できます。

— テレンス・タオ、「構造とランダム性」、アメリカ数学会（2008）^[1]

批判の本質は、非標準解析を用いて証明された結果の論理的地位とは直接関係ない。古典論理における従来の数学的基礎の観点からは、そのような結果は、通常は選択に強く依存するものの、かなり受け入れられるものである。 アブラハム・ロビンソンの非標準解析は、ツェルメロ・フランケル集合論(ZFC) を超える公理を必要としない (ヴィルヘルムス・ルクセンブルクの超実数の超冪構成によって明示的に示されているように)。一方、エドワード・ネルソンによるその変種である内部集合論は、同様にZFCの保守的な拡張である。^[2]これにより、非標準解析の新しさは、結果の範囲ではなく、完全に証明の戦略としての新しさであることが保証される。さらに、現在一般的に使用されているアプローチである、たとえば上部構造に基づくモデル理論的な非標準解析は、ZFC を超える新しい集合論的公理を必要としない。^{[疑わしい–議論する]}

数学教育の問題については論争が続いている。また、開発された非標準解析は、無限小理論の目的を満たす唯一の候補ではない（滑らかな無限小解析を参照）。フィリップ・J・デイビスは、ダイアン・ラヴィッチ著『 Left Back: A Century of Failed School Reforms ^』[3]の書評で次のように書いている。^[4]

初等微積分を教えるための非標準解析運動がありました。その評価はやや上昇しましたが、内部の複雑さと必要性の少なさから運動は崩壊しました。

教室での非標準微積分は、シカゴ地域の学校を対象とした K. サリバンの研究で分析されており、二次文献「非標準解析の影響」に反映されています。サリバンは、非標準解析コースを受講した生徒は、標準カリキュラムを受講した対照群よりも、微積分の数学的形式主義の意味をよりよく解釈できることを示しました。これは、Artigue (1994)、172 ページ、Chihara (2007)、および Dauben (1988) でも指摘されています。^{[引用が必要]}

エレット・ビショップの見解では、ロビンソンの非標準解析へのアプローチを含む古典数学は非構成的であり、したがって数値的意味に欠けている (Feferman 2000)。ビショップは、エッセイ「数学の危機」(Bishop 1975) で論じたように、教育における非標準解析の使用について特に懸念していた。具体的には、ヒルベルトの形式主義プログラムについて論じた後、次のように書いている。

形式的な技巧による数学への最近の試みは、非標準解析です。これはある程度の成功を収めたようですが、証明の意味が大幅に薄れるという代償を払ったかどうかはわかりません。私が非標準解析に興味を持つのは、これを微積分学のコースに導入する試みがなされているからです。意味の貶めがここまで進むとは信じがたいことです。

カッツとカッツ (2010) は、1974 年にアメリカ芸術科学アカデミーのワークショップで行われたビショップの「危機」講演の後、参加した数学者や歴史家から多くの批判が表明されたと指摘している。しかし、参加者はビショップがロビンソンの理論を貶めたことについては一言も言わなかった。カッツとカッツは、ビショップがワークショップでロビンソンの理論について実際には一言も言わず、出版のゲラ刷りの段階で貶めのコメントを加えただけだったことが最近明らかになったと指摘している。これは、ワークショップで批判的な反応がなかったことを説明するのに役立つ。カッツとカッツは、これはビショップの誠実さの問題を引き起こすと結論付けている。ビショップの出版されたテキストには、「貶め」コメントがゲラ刷りの段階で追加されたためワークショップの参加者に聞かれず、コメントに同意しなかったという誤った印象を与えるという事実が報告されていないためである。

ビショップが教室での非標準解析の導入を「意味の劣化」と見なしていたという事実は、J. ドーベンによって指摘されています。^[5] この用語は、ビショップの著書『現代数学における統合失調症』（1973年に初版発行）で次のように明確にされています（1985年、p. 1）。

ブラウワーの古典数学に対する批判は、私が「意味の堕落」と呼ぶものに関するものでした。

したがって、ビショップは「意味の劣化」という用語を最初に古典数学全体に適用し、後に教室でロビンソンの無限小数に適用しました。ビショップは、彼の著書「構成的分析の基礎」（1967 年、9 ページ）で次のように書いています。

私たちの計画は単純です。古典的な抽象解析に可能な限り数値的な意味を与えることです。私たちの動機は、Brouwer (および他の人々) によって詳細に暴露された、古典的な数学には数値的な意味が欠けているというよく知られたスキャンダルです。

ビショップの発言は、彼の講演後の議論によって裏付けられている。^[6]

• ジョージ・マッキー（ハーバード大学）：「私はこれらの疑問について考えたくありません。私がやっていることは何らかの意味を持つと信じているのです...」
• ギャレット・バーコフ（ハーバード大学）：「…ビショップ氏が主張しているのはまさにこれだと思います。私たちは自分の仮定を常に把握し、偏見を持たないようにすべきです。」
• シュリーラム・アビヤンカール（パーデュー大学）：「私の論文はビショップ氏の立場に完全に賛同するものです。」
• JP カハネ(パリ大学)：「…ビショップの研究は尊敬すべきだが、退屈だと思う…」
• ビショップ (UCSD): 「ほとんどの数学者は数学には意味があると感じていますが、それが何なのかを見つけようとするのは退屈です...」
• カハネ：「ビショップの感謝は私の感謝のなさよりも重要だと感じています。」

ビショップは、ハワード・ジェローム・ケイスラー著の「初等微積分学：無限小アプローチ」をレビューしました。この本は、非標準解析法を用いた初等微積分学を紹介した本です。ビショップは、指導教官のポール・ハルモスからこの本のレビューを依頼されました。このレビューは、1977 年にアメリカ数学会報に掲載されました。この記事は、教育における非標準解析の使用について議論する際に、デビッド・O・トール(Tall 2001) によって参照されています。トールは次のように書いています。

しかし、非標準的なアプローチにおける選択公理の使用は、直観主義の伝統における概念の明示的な構築を主張したビショップ（1977）などの人々から激しい批判を招いている。

ビショップのレビューには、キースラーの本からの次のような引用がいくつか掲載されていました。

1960 年、ロビンソンは無限小を正確に扱うことで 300 年来の問題を解決しました。ロビンソンの功績はおそらく 20 世紀における主要な数学的進歩の 1 つとして位置づけられるでしょう。

そして

実線について議論した際に、物理空間内の線が実際にどのようなものかを知る方法はないと述べました。それは、超実線に似ているか、実線に似ているか、あるいはどちらでもないかもしれません。しかし、微積分の応用では、物理空間内の線を超実線として想像すると役に立ちます。

このレビューでは、ケイスラーのテキストがこれらの主張を裏付ける証拠を提供しておらず、公理を満たすシステムが存在するかどうかが学生には明らかでないにもかかわらず公理的なアプローチを採用していると批判した (Tall 1980)。レビューは次のように結ばれている。

Keisler のアプローチによってもたらされた技術的な複雑さは、それほど重要ではありません。本当の損害は、Keisler が [標準的な微積分の] 素晴らしいアイデアをわかりにくくし、活力を失わせたことにあります。ニュートンやライプニッツを持ち出しても、通常の極限の定義が複雑すぎるという理由で、公理 V* と VI* を使用して微積分を開発することは正当化されません。

そして

無駄に思えるかもしれませんが、私はいつも微積分の学生たちに、数学は難解なものではなく常識だと言っています。(悪名高い(ε, δ) 極限の定義でさえ常識であり、さらに近似と推定という重要な実際的な問題の中心をなしています。) 彼らは私の言うことを信じません。実際、その考えは彼らのこれまでの経験と矛盾するため、彼らを不安にさせます。今や、数学が難解で無意味な技術演習であるという彼らの経験を確認するために使用できる微積分のテキストがあります。

Keisler (1977, p. 269) は The Noticesの中で次のように問いかけています。

なぜ、Bulletinの書評編集者ポール・ハルモスは構成主義者を評論家に選んだのでしょうか?

キースラーは、排中律（構成主義者によって否定されている）の使用をワインに例え、ハルモスの選択を「ワインを試飲させるために禁酒主義者を選ぶ」ことに例えた。

ビショップの書評はその後、同じ雑誌のマーティン・デイビスによって批判され、デイビス（1977）の1008ページに次のように書かれている。

キースラーの本は、比較的最近まで微積分の教育を支配し、応用数学の一部では決して捨て去られなかった、直感的に示唆に富むライプニッツの方法論を復活させようとする試みである。キースラーの本に対するエレット・ビショップの書評を読んだ読者は、キースラーがやろうとしていたのはこれだとはまず想像できないだろう。なぜなら、書評ではキースラーの目的も、彼の本がそれをどの程度実現しているかについても触れられていないからだ。

デイビスは、ビショップが異議を唱えたと付け加えた（1008ページ）。

この反論がおそらく理解されるべき構成主義的な文脈を読者に知らせずに。

物理学者ヴァディム・コムコフ（1977年、270ページ）は次のように書いている。

ビショップは数学的分析に対する構成的アプローチを支持する第一人者の一人です。構成主義者にとって、実数を超実数に置き換える理論に共感を示すことは困難です。

非標準的な分析が建設的に実行できるかどうかに関わらず、コムコフはビショップの側に根本的な懸念があることを認識した。

数学哲学者ジェフリー・ヘルマン（1993、p. 222）は次のように書いています。

ビショップの発言（1967年）のいくつかは、彼の立場が[急進的構成主義]のカテゴリーに属することを示唆している...

数学史家ジョセフ・ドーベンは、ビショップの批判を（1988年、192ページ）で分析した。非標準解析の「成功」を引用した後、

最も初歩的なレベルで導入される、つまり、微積分が初めて教えられるレベルで、

ドーベン氏は次のように述べた。

非標準的な分析が機能する意味には、より深いレベルもあります。

ダウベン氏は「印象的な」アプリケーションについて言及した。

物理学、特に量子論と熱力学、そして交換経済の研究が非標準的な解釈に特に適している経済学において。

この「より深い」意味のレベルにおいて、ドーベンは次のように結論づけた。

ビショップの見解は、非標準的な分析に対する彼の反対と同様に、教育的に疑問視され、根拠がないことが示される可能性がある。

多くの著者がビショップの書評の論調についてコメントしている。アルティーグ (1992) はそれを「悪意のある」、ドーベン (1996) は「辛辣な」、デイビスとハウザー (1978) は「敵意のある」、トール (2001) は「極端」と評した。

イアン・スチュワート（1986）は、ハルモスがビショップにキースラーの本をレビューするよう依頼したことを、マーガレット・サッチャーに『資本論』のレビューを依頼したことと比較した。

カッツ＆カッツ（2010）は次のように指摘している。

ビショップはリンゴがオレンジではないことを批判している。批判者（ビショップ）と批判される側（ロビンソンの非標準的な分析）は共通の基礎的枠組みを共有していない。

彼らはさらに次のように指摘している。

ビショップは排中律の根絶に心を奪われ、非標準解析に対する批判と同じくらい辛辣な態度で古典数学全体を批判するに至った。

G. ストルツェンベルクは、ビショップの書評に対するキースラーのノーティスの批判に対して、やはりノーティスに掲載された手紙で返答した。[ 7 ^]ストルツェンベルクは、ビショップのキースラーの微積分学の本に対する書評に対する批判は、構成主義的な考え方に基づいてなされたという誤った仮定に基づいているが、ストルツェンベルクは、ビショップはそれを本来の読み方、つまり古典的な考え方で読んだと信じている。

アラン・コンヌは、「自然発生的対称性とスペクトルの幾何学的変化」、Journal of Geometry and Physics 23 (1997)、206–234 で次のように書いています。

「非標準解析によって得られる答え、つまり非標準実数も同様に残念なものです。すべての非標準実数は、区間 [0, 1] の (ルベーグ) 非測定可能サブセットを標準的に決定するため、単一の [非標準実数] を示すことは不可能です (Stern、1985)。私たちが提案する形式論は、この質問に対して実質的かつ計算可能な答えを与えるでしょう。」

1995 年の論文「非可換幾何学と現実」で、コネスはヒルベルト空間の演算子に基づく無限小の計算を展開しています。彼は「なぜ非標準解析の形式主義が自分の目的に適さないのか」を説明します。コネスはロビンソンの超実数の次の 3 つの側面を指摘しています。

（１）非標準的な超実数は「示すことができない」（その理由は非測定集合との関係にある）

（２）「このような概念の実際の使用は、最終結果が上記の無限小の正確な値に依存しない計算に限定される。これが非標準解析と超積が使用される方法である[...]」。

（３）超実数は可換である。

カッツとカッツは、非標準解析に対するコンヌの批判を分析し、特定の主張(1)と(2)に異議を唱えている。^{[8] (1)に関しては、コンヌ自身の無限小も同様に、}ディクスミエ・トレース の存在など、非構成的な基礎材料に依存している。(2)に関しては、コンヌは無限小の選択の独立性を自身の理論の 特徴として提示している。

Kanovei et al. (2012) は、非標準数は「キメラ的」であるという Connes の主張を分析している。彼らは、彼の批判の内容は超フィルターが「キメラ的」であるということであるとし、Connes が関数解析における初期の研究で超フィルターを本質的に利用していたことを指摘している。彼らは、超実数理論は単に「仮想的」であるという Connes の主張を分析している。Connes がRobert Solovayの研究に言及していることから、Connes は超実数が定義不可能であると批判しようとしていることが示唆される。そうだとすれば、超実数に関する Connes の主張は、Vladimir KanoveiとSaharon Shelah (2004) が構築した超実数の定義可能なモデルの存在を考えると、明らかに間違っている。Kanovei et al. (2012) はまた、1995 年から 2007 年にかけて、コンヌが非標準的な分析を中傷するために使用した、ますます辛辣な罵倒語の年表も提供しており、その罵倒語は「不十分」や「期待はずれ」から始まり、「『明示的』であることの終焉」で最高潮に達している。

Katz & Leichtnam (2013) は、「ロビンソンの微小アプローチに対するコンヌの批判の 3 分の 2 は、コンヌが自身の微小アプローチについて (承認して) 書いている内容と一貫していないという点で、矛盾していると言える」と指摘しています。

ポール・ハルモスは「不変部分空間」、アメリカ数学月刊誌85 (1978) 182-183 で次のように書いている。

「多項式コンパクト演算子への拡張は、Bernstein と Robinson (1966) によって達成されました。彼らはその結果を非標準解析と呼ばれるメタ数学言語で発表しましたが、すぐに認識されたように、それは個人的な好みの問題であり、必要性の問題ではありませんでした。」

ハルモスは (Halmos 1985) の中で次のように書いています (p. 204)。

[ハルモスの不変部分空間予想の] バーンスタイン-ロビンソンの証明は、高階述語言語の非標準モデルを使用しており、[ロビンソン] が私にその再版を送ってくれたとき、私はその数学的洞察を正確に表現し、翻訳するのに本当に苦労しました。

ハルモスは「数学における非標準解析の役割」についてコメントしながら、次のように書いている（204 ページ）。

これに反対する他の数学者（例えば、エレット・ビショップ）にとって、これは同様に感情的な問題です...

ハルモスは非標準解析についての議論を次のように結論づけている（p. 204）。

これは特別なツールであり、あまりにも特別であり、他のツールでもこれと同じことができます。すべては好みの問題です。

カッツ＆カッツ（2010）は次のように指摘している。

ロビンソンの理論を評価したいというハルモスの切実な思いは、利害の衝突を伴っていたのかもしれない [...] ハルモスは、バーンスタイン-ロビンソンの結果の翻訳に、かなりの感情的エネルギー (そして、自伝で印象的に述べているように、汗) を注ぎ込んだ [...] [彼の] 率直で不快なコメントは、ロビンソンの理論の最初の華々しい応用の 1 つが及ぼした影響をそらすという、翻訳家としての彼の試みを、遡及的に正当化しているように思われる。

ライプニッツの歴史家ヘンク・ボス（1974）は、ロビンソンの超実数が

[a] 無限に小さい量と無限に大きい量を受け入れるという不安定な基盤の上に微積分が発展できた理由についての予備的な説明。

F.メドヴェージェフ（1998）はさらに次のように指摘している。

非標準的な解析は、古典的解析の歴史に対する以前のアプローチと結びついた微妙な疑問に答えることを可能にします。無限に小さい値と無限に大きい値が矛盾した概念であると考えられる場合、それらはどのようにして最も重要な数学分野の1つであるこのような壮大な建物を構築するための基礎として役立つことができたのでしょうか。

• 構成的非標準分析
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