分解不可能なモジュール

抽象代数では、モジュールが非ゼロであり、2つの非ゼロサブモジュールの直和として表すことができない場合、モジュールは分解不可能である。^{[1] [2]}

分解不能は、単純モジュール(既約モジュールと呼ばれることもある)よりも弱い概念です。単純とは「適切なサブモジュールがない」N < Mという意味で、分解不能とは「N ⊕ P = Mとして表現できない」という意味です。

分解不可能な要素の直和は完全に分解可能であると呼ばれます。^{[要出典]これは、}単純なモジュールの直和である半単純であることよりも弱いです。

モジュールを分解不可能なモジュールに直和分解することを、分解不可能な分解と呼びます。

多くの場合、関心のあるすべてのモジュールは完全に分解可能です。分解不可能なモジュールは「基本的な構成要素」、つまり研究する必要がある唯一のオブジェクトと考えることができます。これは、体 またはPID上のモジュールの場合であり、演算子のジョルダン標準形の基礎となります。

体上の加群はベクトル空間である。^{[3]ベクトル空間は、その}次元が1のときのみ分解不可能である。したがって、すべてのベクトル空間は完全に分解可能（つまり半単純）であり、次元が無限大のときは、無限個の加数を持つ。^[4]

主イデアル領域(PID)上の有限生成モジュールは、主イデアル領域上の有限生成モジュールの構造定理によって分類されます。主な分解は分解不可能なモジュールへの分解であるため、PID 上のすべての有限生成モジュールは完全に分解可能です。

明示的には、素イデアルp ( p = 0でRになる場合も含む)に対する形式R / p ⁿの加群は、分解不可能です。有限生成R加群はすべて、これらの直和です。これは、n = 1 (またはp = 0 ) の場合にのみ単純であることに注意してください。たとえば、位数 4 の巡回群Z /4 は分解不可能ですが単純ではありません。位数 2 のサブグループ 2 Z /4 がありますが、これには補群がありません。

整数 Z上の加群はアーベル群である。有限生成アーベル群が分解不可能なのは、それがZと同型であるか、または何らかの素数pと何らかの正の整数nに対して形式Z / p ⁿ Zの因数群と同型である場合に限ります。すべての有限生成アーベル群は、（有限個の）分解不可能なアーベル群の 直和です。

しかし、有限生成ではない他の不可分アーベル群も存在します。例としては、有理数 Qや、任意の素数pに対するプリューファーp群 Z ( p ^∞ )などがあります。

固定された正の整数nに対して、実数(または任意の他の体K )からの要素を持つn行n列の行列の環Rを考えます。このとき、 K ^{n は}左R加群です (スカラー乗算は行列乗算です)。これは、同型性を除いてR上の唯一の分解不可能な加群です。すべての左R加群は、この加群K ⁿの (有限個または無限個の) コピーの直和です。

すべての単純なモジュールは分解不可能です。上記の 2 番目の例で示されているように、逆は一般には当てはまりません。

モジュールの自己準同型環を見ることによって、モジュールが分解不可能かどうかを判断できます。自己準同型環に0 と 1 以外の冪等元が含まれていない場合に限ります。 ^[1] ( f がMのそのような冪等自己準同型である場合、M はker( f ) と im( f )の直和です。)

有限長のモジュールは、その自己準同型環が局所的である場合に限り、分解不可能である。有限長の分解不可能なモジュールの自己準同型に関するさらに詳しい情報は、フィッティング補題によって提供される。

有限長の状況では、クルル・シュミット定理により、分解不能な要素への分解が特に有用である。これは、すべての有限長モジュールは有限個の分解不能な要素の直和として表すことができ、この分解は本質的に一意である（つまり、異なる分解不能な要素への分解がある場合、最初の分解の和を2番目の分解の和と対にすることができ、各ペアのメンバーが同型になる）。^[5]

• ジェイコブソン、ネイサン（2009）、基礎代数、第2巻（第2版）、ドーバー、ISBN 978-0-486-47187-7
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数（第3版）、ニューヨーク：シュプリンガーサイエンス+ビジネスメディア、ISBN 978-0-387-72828-5