ファインマンパラメータ化

ファインマン パラメータ化は、 1 つ以上のループを持つファインマン ダイアグラムから生じるループ積分を評価するための手法です。ただし、純粋数学の分野での積分にも 役立つ場合があります。

リチャード・ファインマンは次のように述べている。^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}}$

これは、 AとB を結ぶ線分に 0 が含まれていない限り、任意の複素数AとBに対して有効です。この式は次のような積分を評価するのに役立ちます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dp}{A(p)B(p)}}&=\int dp\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}du\int {\frac {dp}{\left[uA(p)+(1-u)B(p)\right]^{2}}}.\end{aligned}}}$

A ( p ) とB ( p ) がpの線形関数である場合、最後の積分は置換を使用して評価できます。

より一般的には、ディラックのデルタ関数 を用いると：^[2]${\displaystyle \delta}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{n}}}\\&=(n-1)!\int _{0}^{1}du_{1}\int _{0}^{u_{1}}du_{2}\cdots \int _{0}^{u_{n-2}}du_{n-1}{\frac {1}{\left[A_{1}u_{n-1}+A_{2}(u_{n-2}-u_{n-1})+\dots +A_{n}(1-u_{1})\right]^{n}}}.\end{aligned}}}$

この式は、凸包に 0 が含まれていない限り、任意の複素数A ₁、...、A _nに対して有効です。

さらに一般的には、すべての に対して次のことが成り立ちます。 ${\displaystyle {\text{Re}}(\alpha _{j})>0}$${\displaystyle 1\leq j\leq n}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}du_{1}\cdots \int _{0}^{1}du_{n}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}u_{k})\;u_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots u_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}u_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}$

ここではガンマ関数 が使われた。^[3]${\displaystyle \ガンマ}$

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}={\frac {1}{AB}}\left({\frac {1}{B}}-{\frac {1}{A}}\right)={\frac {1}{AB}}\int _{B}^{A}{\frac {dz}{z^{2}}}.}$

置換を使用すると、 ${\displaystyle u=(zB)/(AB)}$

、および、 ${\displaystyle du=dz/(AB)}$${\displaystyle z=uA+(1-u)B}$

そこから望ましい結果が得られる

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}.}$

より一般的なケースでは、シュウィンガーパラメータ化を使って非常に効率的に導出を行うことができます。たとえば、 のファインマンパラメータ化形式を導出するには、まず分母のすべての因子をシュウィンガーパラメータ化形式で再表現します。 ${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}...A_{n}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{i}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{i}\,e^{-s_{i}A_{i}}\ \ {\text{i=1,\ldots ,n の場合}$

書き直すと、

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{\infty }ds_{1}\cdots \int _{0}^{\infty }ds_{n}\exp \left(-\left(s_{1}A_{1}+\cdots +s_{n}A_{n}\right)\right).}$

次に、積分変数の次の変更を実行します。

${\displaystyle \alpha =s_{1}+...+s_{n},}$

${\displaystyle \alpha _{i}={\frac {s_{i}}{s_{1}+\cdots +s_{n}}};\ i=1,\ldots ,n-1,}$

取得する、

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}\int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp \left(-\alpha \left\{\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}\right\}\right).}$

ここで は の領域上の積分を表します 。 ${\textstyle \int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}}$${\displaystyle 0\leq \alpha _{i}\leq 1}$${\textstyle \sum _{i=1}^{n-1}\alpha _{i}\leq 1}$

次のステップは統合を実行することです。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\alpha \ \alpha ^{n-1}\exp(-\alpha x)={\frac {\partial ^{n-1}}{\partial (-x)^{n-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }d\alpha \exp(-\alpha x)\right)={\frac {\left(n-1\right)!}{x^{n}}}.}$

ここで定義した${\displaystyle x=\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}.}$

この結果を代入すると、最後から2番目の形式が得られる。

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots d\alpha _{n-1}{\frac {1}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n-1}A_{n-1}+\left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n-1}\right)A_{n}]^{n}}},}$

そして、追加の積分を導入した後、ファインマンパラメータ化の最終形、すなわち、

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}\cdots A_{n}}}=\left(n-1\right)!\int _{0}^{1}d\alpha _{1}\cdots \int _{0}^{1}d\alpha _{n}{\frac {\delta \left(1-\alpha _{1}-\cdots -\alpha _{n}\right)}{[\alpha _{1}A_{1}+\cdots +\alpha _{n}A_{n}]^{n}}}.}$

同様に、最も一般的な場合のファインマンパラメータ化形式を導くためには、分母の因子の適切な異なるシュウィンガーパラメータ化形式から始めることができる。すなわち、 ${\textstyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}...A_{n}^{\alpha _{n}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}}}={\frac {1}{\left(\alpha _{1}-1\right)!}}\int _{0}^{\infty }ds_{1}\,s_{1}^{\alpha _{1}-1}e^{-s_{1}A_{1}}={\frac {1}{\Gamma (\alpha _{1})}}{\frac {\partial ^{\alpha _{1}-1}}{\partial (-A_{1})^{\alpha _{1}-1}}}\left(\int _{0}^{\infty }ds_{1}e^{-s_{1}A_{1}}\right)}$

そして、前回のケースとまったく同じように進めます。

時々役に立つパラメータ化の別の形式は、

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}.}$

この形式は変数変換を使って導くことができる。積の法則を使って、 ${\displaystyle \lambda =u/(1-u)}$${\displaystyle d\lambda =du/(1-u)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{AB}}&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{\left[uA+(1-u)B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{1}{\frac {du}{(1-u)^{2}}}{\frac {1}{\left[{\frac {u}{1-u}}A+B\right]^{2}}}\\&=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{2}}}\\\end{aligned}}}$

より一般的には

${\displaystyle {\frac {1}{A^{m}B^{n}}}={\frac {\Gamma (m+n)}{\Gamma (m)\Gamma (n)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{m-1}d\lambda }{\left[\lambda A+B\right]^{n+m}}},}$

ここでガンマ関数です。 ${\displaystyle \Gamma }$

この形式は、重いクォーク有効理論(HQET) のように、線形分母と二次分母を組み合わせるときに役立ちます。${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

対称的な形式のパラメータ化が時々使用され、積分は区間 上で実行され、次のようになります。 ${\displaystyle [-1,1]}$

${\displaystyle {\frac {1}{AB}}=2\int _{-1}^{1}{\frac {du}{\left[(1+u)A+(1-u)B\right]^{2}}}.}$