バランス領域分割法

数値解析において、バランス領域分割法 (BDD)は、有限要素法から生じる対称正定値線形代数方程式の解を求める反復法です。^[1]各反復では、重複しないサブドメイン上のローカル問題の解と、サブドメインのヌルスペースから作成された粗い問題が組み合わされます。BDD では、サブドメイン問題の解のみが必要であり、それらの問題のマトリックスにはアクセスしないため、混合有限要素による石油貯留層シミュレーションなど、解演算子のみが使用可能な状況に適用できます。^{[2]元の定式化では、BDD は 2D および 3D の}弾性など、2 次の問題に対してのみ適切に機能します。プレート曲げなどの 4 次の問題の場合、サブドメインコーナーでの解の連続性を強制する特別な基底関数を粗い問題に追加することによって変更する必要があり、^[3]ただし、コストが高くなります。 BDDC法は、 ^[3]と同じコーナー基底関数を使用しますが、乗算的ではなく加算的に使用します。^[4] BDDの双対となるのがFETIで、ラグランジュ乗数によってサブドメイン間の解の等価性を強制します。BDDとFETIの基本バージョンは数学的に同等ではありませんが、難しい問題に対して堅牢になるように設計されたFETIの特別なバージョン^[5]は同じ固有値を持ち、したがってBDDと本質的に同じパフォーマンスを発揮します。^{[6] [7]}

BDD によって解決されるシステムの演算子は、サブドメインの内部の未知数を削除することによって得られる演算子と同じであり、したがって、問題はサブドメイン インターフェイス上のシュア補数に縮小されます。BDD プリコンディショナーはすべてのサブドメイン上のノイマン問題の解決を含むため、サブドメイン間のインターフェイスの両側でノイマン問題を解決することからそのように名付けられた ノイマン-ノイマン クラス メソッドのメンバーです。

最も単純なケースでは、 BDD の粗い空間は、各サブドメインで定数で、インターフェースで平均化された関数で構成されます。より一般的には、各サブドメインでは、粗い空間には問題の ヌル空間のみをサブスペースとして含める必要があります。

• mgnet.org の BDD リファレンス実装
• ドメイン分割 – 理論、出版物、方法、アルゴリズム。2011-07-10 にWayback Machineでアーカイブされました。