依存選択の公理

数学では、従属選択の公理は、${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$は選択公理の弱い形式である（${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$）それでも実解析の多くを展開するには十分である。これは、解析を展開するためにどの集合論的公理が必要かを考察した逆数学に関する1942年のポール・ベルネイズの論文で導入された。^{[ a ]}

同質な関係${\displaystyle R}$の上${\displaystyle X}$は、すべての に対して、が全関係であると呼ばれる。${\displaystyle a\in X,}$いくつか存在する${\displaystyle b\in X}$そのため${\displaystyle a\,R~b}$それは本当です。

従属選択の公理は次のように述べることができる。すべての空でない集合に対して${\displaystyle X}$そしてすべての総関係 ${\displaystyle R}$の上${\displaystyle X,}$数列が存在する${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$で${\displaystyle X}$そのため

${\displaystyle x_{n}\,R~x_{n+1}}$すべての人々のために${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$

実際には、${\displaystyle x_{0}}$は、任意の望ましい要素とみなされる可能性がある。${\displaystyle X}$（これを確認するには、上記の公理を、で始まる有限シーケンスの集合に適用してください。）${\displaystyle x_{0}}$そして、後続の項は関係している${\displaystyle R}$（なお、第２のシーケンスのこの集合上の全関係は、第１のシーケンスに単一の項を追加することによって得られる。）

セットの場合${\displaystyle X}$上記がすべての実数の集合に限定される場合、結果として得られる公理は次のように表される。${\displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.}$

このような公理がなくても、${\displaystyle n}$通常の数学的帰納法を用いて最初の${\displaystyle n}$このような数列の項。依存選択公理によれば、このようにして完全な（可算無限の）数列を形成できる。

公理${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$は断片です${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$これは、各ステップで選択を行う必要があり、かつそれらの選択の一部が以前の選択とは独立して行うことができない場合に、可算長の超限再帰によって構成される数列の存在を示すために必要なものである。

以上${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$（選択公理のないツェルメロ＝フレンケル集合論）${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$これは完備距離空間に対するベールのカテゴリー定理と同等である。 ^{[ 1 ]}

また、${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$下向きのレーヴェンハイム・スコレムの定理へ。^{[ b ] [ 2 ]}

${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$も同等です${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$剪定された木はすべて${\displaystyle \omega }$levels には分岐があります(証明は以下)。

さらに、${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$これはゾルンの補題の弱化形に相当する。具体的には${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$これは、すべての整列鎖が有限かつ有界であるような任意の半順序は、最大元を持つという主張と同等である。 ^{[ 3 ]}

フルとは異なり${\displaystyle {\mathsf {AC}}}$、${\displaystyle {\mathsf {DC}}}$証明するには不十分である（${\displaystyle {\mathsf {ZF}}}$)測定不可能な実数の集合が存在すること、またはベールの性質や完全集合の性質を持たない実数の集合が存在すること。これは、ソロベイモデルが以下を満たすことから導かれる。${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}}$また、このモデルにおける実数のすべての集合はルベーグ可測であり、ベール性質を持ち、完全集合性質を持ちます。

依存選択の公理は可算選択の公理を含意し、厳密に強い。^{[ 4 ] [ 5 ]}

この公理を一般化することで、超限数列を生成することも可能である。これらの数列の長さが任意に許容される場合、それは完全な選択公理と等価となる。

• ジェック、トーマス (2003)。集合論(第 3 千年紀 版)。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 3-540-44085-2。OCLC 174929965。Zbl 1007.03002。