ニルセミグループ

数学、より正確には半群論において、冪半群または冪零半群は、すべての要素が冪零である半群です。

正式には、半群Sがニル半群である場合:

• Sには0が含まれ、
• 各要素a ∈ Sに対して、 a ^k = 0となる正の整数k が存在する。

有限半群にも同等の定義が存在します。有限半群S が冪零である場合、次の式も同値です。

• ${\displaystyle x_{1}\dots x_{n}=y_{1}\dots y_{n}}$各 に対して、 はSの濃度です。${\displaystyle x_{i},y_{i}\in S}$${\displaystyle n}$
• ゼロはSの唯一のべき等性です。

単一の要素の自明な半群は、自明にニル半群です。

厳密に上三角行列の集合は、行列の乗算によりべき零になります。

正の実数の有界区間を仮定します。 x、y がIに属する場合、を と定義します。ここで、 が零点がnである零半群であることを示します。各自然数kについて、kx はに等しくなります。 kが に少なくとも等しい場合、kx はn に等しくなります。この例は、アルキメデスの順序付き半群の任意の有界区間に対して一般化されます。 ${\displaystyle I_{n}=[a,n]}$${\displaystyle x\star_{n}y}$${\displaystyle \min(x+y,n)}$${\displaystyle \langle I,\star _{n}\rangle }$${\displaystyle \min(kx,n)}$${\displaystyle \left\lceil {\frac {nx}{x}}\right\rceil }$

非自明なニル半群には単位元が含まれません。したがって、唯一の冪零モノイドは自明なモノイドです。

ニル半群のクラスは次のとおりです。

• 準準グループを採択して閉鎖
• 商を取ることで閉じる
• 有限積の下で閉じている
• しかし、任意の直積に対して閉じていません。実際、半群 を取ります。ここで、 は上記のように定義されます。半群S は、零半群の直積ですが、その零元は含まれません。${\displaystyle S=\prod _{i\in \mathbb {N} }\langle I_{n},\star _{n}\rangle }$${\displaystyle \langle I_{n},\star _{n}\rangle }$

したがって、ニル半群のクラスは普遍代数の多様体ではありません。しかし、有限ニル半群の集合は有限半群の多様体です。有限ニル半群の多様体は、前有限等式によって定義されます。 ${\displaystyle x^{\omega }y=x^{\omega }=yx^{\omega }}$

• Pin, Jean-Éric (2018-06-15). オートマトン理論の数学的基礎(PDF) . p. 198.
• ペンシルベニア州グリレット (1995)。セミグループ。CRC を押します。 p. 110.ISBN​ 978-0-8247-9662-4。