数学 において、サーストンの分類定理は、 コンパクトな向き付け可能な曲面 の同相写像を 特徴づけるものである。 ウィリアム・サーストンの定理は、 ヤコブ・ ニールセン （ 1944年 ） によって始められた研究を完成させたものである。
同相写像f : S → Sが与えられたとき、 f と同位な 写像g が存在し、少なくとも以下のいずれかが成り立つ。
gは周期関数である。つまり、 g のべき乗は恒等関数である。gは S 上の互いに素な単純閉曲線の有限個の和集合を保存する(この場合、gは 可約で あると呼ばれる)。gは 擬似アノソフ である。S がトーラス（すなわち、 種数 が1の曲面）である場合は、 別途扱われ（トーラス束を 参照）、サーストンの研究以前から知られていた。Sの種数が2以上の場合、Sは 自然に双曲的になり、 タイヒミュラー理論 の手法が有用となる。以下では、サーストンが検討したケースと同様に、 Sの 種数は少なくとも2であると仮定する。（ただし、 Sが 境界 を持つ場合や向き付け 不可能な場合も、依然として興味深い。）
この分類における 3 つのタイプは相互に排他的ではない が、擬似アノソフ 同相写像は周期的で も可約で もない。可約同相 写像gは、単純閉曲線 Γ の保存された和集合に沿って曲面を切断することによってさらに解析できる。結果として得られる境界 を持つ コンパクト曲面のそれぞれにgの何らかのべき乗 ( すなわち反復合成 )が作用し、この同相写像にも再び分類を適用できる。
より高次の種数を持つ曲面のマッピングクラス群 サーストンの分類は、種数 ≥ 2 の向き付け可能な曲面の同相写像に適用されますが、同相写像のタイプは、写像クラス群 Mod(S) の関連要素のみに依存します。実際、分類定理の証明は、良好な幾何学的性質を持つ各写像クラスの標準的な 代表例につながります。例えば、次のようになります。
g が周期関数である場合、その写像クラスの要素の中に、 S 上の双曲構造 の等長写像 となる要素が存在する。gが 擬似アノソフ である場合、その写像クラスには、 S の一対の横断的 特異葉層 構造を保存する要素が存在し、一方の葉（不安定葉層構造）を伸長させ、他方の葉（ 安定 葉層構造）を収縮させる。
マッピング トーリ サーストンがこの分類を開発した当初の動機は、幾何化予想 によって予測されるタイプの写像トーラス 上の幾何学的構造を見つけることでした。曲面Sの同相写像 g の写像トーラス M g は、 S × [0,1]からgを用いて S × {0} をS × {1}に貼り合わせることによって得られる3 次元多様体 です。S の種数が 2 以上の場合、M g g のタイプと次のように関連しています。
g が周期的である場合、M g はH 2 × R構造を持つ。g が可約であれば、M g は非圧縮 トーラス を持ち、これらのトーラスに沿って切断して、それぞれが幾何学的構造を持つ断片を得る必要があります ( JSJ 分解 )。gが 擬似アノソフ である場合、M gは 双曲型 （すなわちH 3 ）構造を持つ。最初の 2 つのケースは比較的簡単ですが、擬似アノソフ同相写像の写像トーラス上に双曲構造が存在することは、深く難しい定理です (これもサーストン によるものです)。このようにして生じる双曲 3 次元多様体は、円上の曲面束 であるためファイバー付きと呼ばれ、これらの多様体は、 ハーケン多様体 に対するサーストンの幾何化定理 の証明で別々に扱われます。ファイバー付き双曲 3 次元多様体は、興味深く病的な性質をいくつか持っています。たとえば、キャノンとサーストンは、生じるクライン群 の曲面部分群の極限集合が 球面充填曲線 であることを示しました。
固定点分類 3 種類の表面同相写像は、タイヒミュラー空間 T ( S )上の写像類群 Mod( S ) の ダイナミクス にも関連している。サーストンは、閉球に同相なT ( S )のコンパクト化を導入し、Mod( S ) の作用が自然に拡張される。サーストン分類における写像類群の要素 g のタイプは、T ( S )のコンパクト化に作用する際のその固定点に関連している。
g が周期的である場合、 T ( S )内に固定点が存在する。この点は、等長変換群が gと 同位な要素を含むS 上の双曲構造 に対応する。g が擬似アノソフ である場合、gは T ( S )内に固定点を持たないが、サーストン境界上に一対の固定点を持つ。これらの固定点は、g によって保存されるS の安定 葉層と不安定 葉層に対応する。可約写像クラスg の中には、サーストン境界上に単一の不動点を持つものがあります。例えば、パンツ分解 Γ に沿った多重ツイストなど が挙げられます。この場合、サーストン境界上のg の不動点はΓ に対応します。 これは、双曲型等長 変換を 楕円型 、放物型 、双曲 型に分類すること（これらは、上記に挙げた周期型 、可約型 、擬似アノソフ 型と同様の不動点構造を持つ）を彷彿とさせる。
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