ニュートンの冷却の法則

熱伝達の研究において、ニュートンの冷却の法則は、物体の熱損失率が物体とその周囲の温度差に正比例するという物理法則です。この法則は、温度差が小さく、熱伝達メカニズムの性質が同じままであるという条件を含むようにしばしば限定されます。したがって、この法則は、熱損失と温度差を仲介する熱伝達係数が定数である という主張と同等です。

熱伝導では、フーリエの法則の結果として、一般にニュートンの法則に従います。ほとんどの材料の熱伝導率は温度にほとんど依存しないため、熱伝達係数一定条件が一般に満たされます。対流熱伝達では、流体の特性が温度によって大きく変化しない強制空気またはポンプ流体冷却ではニュートンの法則に従いますが、温度差とともに流速が増加する浮力駆動対流では近似的にしか当てはまりません。熱放射による熱伝達の場合、ニュートンの冷却法則は温度差が非常に小さい場合にのみ適用されます。

温度差の観点から述べると、ニュートンの法則（ビオ数が低い、熱容量が温度に依存しないなど、いくつかのさらなる単純化仮定を伴う）は、温度差を時間の関数として表す単純な微分方程式になります。その方程式の解は、時間の経過とともに温度差が指数関数的に減少することを示しています。この温度差の減少特性は、ニュートンの冷却の法則とも関連しています。

アイザック・ニュートンは1701年に匿名で冷却に関する研究論文「Scala graduum Caloris」を哲学論文集に発表した。^{[1] [2]}

ニュートンは1701年に、この法則を上記の形で述べたわけではありません。むしろ、今日の用語で言えば、ニュートンはいくつかの数学的操作を行った後、物体の温度変化率は物体とその周囲の温度差に比例すると述べました。ニュートン自身が示したこの法則の最終的な最も単純なバージョンは、ニュートンの時代に熱と温度の概念が混同されていたことに一部起因しており、この混乱はずっと後になってようやく完全に解明されました。^[3]

2020年、丸山と守谷はニュートンの実験を現代の装置で再現し、現代のデータ削減技術を適用した。^[4]特に、これらの研究者は高温での熱放射（ニュートンが使用した溶融金属の場合）を考慮し、空気の流れに対する浮力の影響を考慮した。彼らはニュートンの元のデータと比較して、彼の測定（1692年から1693年）は「かなり正確」であったと結論付けた。^[4]

対流冷却は、「ニュートンの冷却法則」によって支配されていると言われることがあります。熱伝達係数が物体と環境の温度差に依存しない、または比較的依存しない場合は、ニュートンの法則に従います。この法則は、流体速度が温度差の増加とともに上昇しない強制空気冷却およびポンプ液体冷却によく当てはまります。ニュートンの法則は、純粋な伝導型冷却で最も厳密に従われます。ただし、自然対流 (浮力駆動) 熱伝達では、熱伝達係数は温度差の関数です。その場合、ニュートンの法則は、温度差が比較的小さい場合の結果に近似するだけです。ニュートン自身もこの制限を認識していました。

1817年にデュロンとプティは、温度差が大きい場合のニュートンの対流に関する法則に指数を加えることで修正しました。^[5] （この2人は結晶のモル比熱容量に関する デュロン・プティの法則を定式化したことで最もよく知られています。）

ニュートンの法則に従わないもう一つの状況は、放射熱伝達です。放射冷却は、熱伝達率が物体とその周囲の絶対温度の 4 乗の差に応じて変化するというシュテファン・ボルツマンの法則によってより適切に説明されます。

熱伝達に関する文献で使用されているニュートンの法則の記述は、物体の熱損失率が物体とその周囲の温度差に比例するという考え方を数学的に表したものです。温度に依存しない熱伝達係数の場合、記述は次のようになります。

$${\displaystyle q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),}$$ どこ

• ${\displaystyle q}$は体外に放出される熱流束（SI単位：ワット/m ² ）である。
• ${\displaystyle h}$は熱伝達係数（温度に依存せず、表面全体で平均化される）（SI単位：W/(m ² ⋅K)）
• ${\displaystyle T}$物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$環境の温度、すなわち表面から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）、
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$環境と物体間の時間依存の温度差です（SI単位：K）。

熱流束を表面積に積分することにより、グローバルパラメータは次のように表すこともできます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {Q}}}$は体外への熱伝達率（SI単位：ワット）です。${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}qdA}$
• ${\displaystyle h}$は熱伝達係数（温度に依存せず、表面全体で平均化される）（SI単位：W/(m ² ⋅K)）
• ${\displaystyle A}$は熱伝達面積（SI単位：m ²）である。
• ${\displaystyle T}$物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$環境の温度、すなわち表面から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）、
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$環境と物体間の時間依存の温度差です（SI単位：K）。

熱伝達係数と温度差が熱伝達面に沿って均一である場合、上記の式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)}$$。

熱伝達係数hは、流体の物理的特性と対流が発生する物理的状況によって異なります。したがって、解析対象となるすべてのシステムについて、使用可能な単一の熱伝達係数 (冷却および加熱中にカバーされる温度差の範囲全体で大きく変化しないもの) を導出するか、実験的に見つける必要があります。

一般的な構成と流体の熱伝達係数を計算するための公式と相関関係は、多くの参考文献で入手できます。層流の場合、乱流では熱伝達面の境界層内で強い混合が起こるため、熱伝達係数は通常、乱流よりも小さくなります。 ^[6]層流から乱流への移行が発生すると、システム内の熱伝達係数が変化することに注意してください。

ビオ数は無次元量であり、物体に対して次のように定義される。

$${\displaystyle {\text{Bi}}={\frac {hL_{\rm {C}}}{k_{\rm {b}}}},}$$ どこ

• h = 膜係数または熱伝達係数または対流熱伝達係数、
• L _C =特性長さ、これは通常、物体の体積を物体の表面積で割ったものとして定義され、${\displaystyle L_{\rm {C}}=V_{\text{体}}/A_{\text{表面}}}$
• k _b =物体の熱伝導率。

ビオ数の物理的な意味は、プールに突然沈められた熱い金属球から周囲の流体への熱流を想像することで理解できます。熱流は 2 つの抵抗を受けます。1 つ目は球の表面の外側、2 つ目は固体金属の内部 (球のサイズと構成の両方によって影響を受けます) です。これらの抵抗の比率が無次元ビオ数です。

流体と球の界面の熱抵抗が金属球の内部の熱抵抗を超える場合、ビオ数は 1 未満になります。ビオ数が 1 よりはるかに小さいシステムの場合、球の内部は常に同じ温度であると想定できますが、表面から球に熱が伝わるため、この温度は変化する可能性があります。物体内部のこの (比較的均一な) 温度の変化を表す式は、ニュートンの冷却の法則で説明されている、温度差で表される単純な指数式です (以下を参照)。

対照的に、金属球が大きいと、特性長さが長くなり、ビオ数が 1 より大きくなることがあります。この場合、球の材質が良導体であっても、球内の温度勾配が重要になります。同様に、球が木材や発泡スチロールなどの断熱性 (低伝導性) の材質でできている場合、球がはるかに小さい場合でも、熱流に対する内部抵抗は流体/球境界での抵抗を超えます。この場合も、ビオ数は 1 より大きくなります。

ビオ数が 0.1 より小さい場合、物体内部の熱伝導は表面からの熱対流よりはるかに速く、物体内部の温度勾配は無視できることを意味します。これは、過渡熱伝達問題を解く特定の方法が適用可能 (または適用不可能) であることを示します。たとえば、ビオ数が 0.1 より小さい場合、過渡熱伝達の集中容量モデル(集中システム解析とも呼ばれる) を想定すると、通常 5% 未満の誤差が存在することを示します。^[7]通常、このタイプの解析では、物体の内部エネルギーは温度に正比例し、温度によって物体への熱伝達または物体からの熱伝達の速度が決まることから、単純な指数関数的な加熱または冷却挙動 (「ニュートン」冷却または加熱) が導かれます。これにより、これらのシステムでの 熱伝達を記述する単純な 1 次微分方程式が導かれます。

ビオ数が 0.1 より小さい場合、その物質は「熱的に薄い」とみなされ、温度は物質の体積全体にわたって一定であると想定できます。その逆もまた真なりです。ビオ数が 0.1 より大きい場合 (「熱的に厚い」物質)、この想定は不可能であり、物質体内の時間によって変化し、空間的に均一でない温度場を記述するには、「過渡熱伝導」に関するより複雑な熱伝達方程式が必要になります。単純な幾何学的形状と均一な物質の熱伝導率に対して存在する可能性のあるこれらの問題を処理する解析手法については、熱方程式に関する記事で説明されています。

物体の内部熱抵抗が物体の表面からの熱伝導抵抗（外部伝導または対流による）に比べて小さい場合、物体の過渡冷却に対する簡単な解が得られる可能性があります。これは、ビオ数が約 0.1 未満になる条件です。この条件により、物体内部の温度は単一のほぼ均一であると推定できます。この温度は時間とともに変化しますが、位置によって変化することはありません。（そうでなければ、物体の内部には一度に多くの異なる温度が存在することになります。）この単一の温度は、通常、時間の経過とともに指数関数的に変化します（以下を参照）。

ビオ数が低い条件は、いわゆる集中容量モデルにつながります。このモデルでは、熱容量が一定であると仮定して、内部エネルギー（物体内の熱エネルギーの量）を計算します。その場合、物体の内部エネルギーは、物体の単一の内部温度の線形関数です。

以下に述べる集中容量解法は、強制対流の場合と同様に、熱伝達係数が一定であると仮定しています。自由対流の場合、集中容量モデルは温度差に応じて変化する熱伝達係数で解くことができます。^[8]

集中容量物体として扱われる物体は、総内部エネルギーが(ジュール単位) で、単一の均一な内部温度 で特徴付けられます。物体の熱容量 は、非圧縮性材料の場合、 (J/K 単位) です。内部エネルギーは、物体の温度、熱容量 (温度に依存しない)、および内部エネルギーがゼロになる基準温度 で表すことができます 。${\displaystyle U}$${\displaystyle T(t)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C=dU/dT}$${\displaystyle U=C(T-T_{\text{ref}})}$

時間に関して 微分すると次のようになります。${\displaystyle U}$$${\displaystyle {\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.}$$

熱力学の第一法則を集中物体に適用すると、が得られます。ここで、物体からの熱伝達率 は、ニュートンの冷却法則で表すことができます。また、非圧縮性材料では仕事の伝達は発生しません。したがって、 となります。ここで、 システムの時定数は です。熱容量は、物体の比熱容量(J/kg-K) と質量(kg)で表すことができます。したがって、時定数は です。${\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}}$${\displaystyle {\dot {Q}}}$$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau }}\ \Delta T(t),}$$${\displaystyle \tau =C/(hA)}$${\displaystyle C}$${\displaystyle c}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \tau =mc/(hA)}$

環境温度が時間的に一定の場合、 と定義できます。式は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$$${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).}$$

この微分方程式の解は、初期条件からの積分により、 0時点での温度差 である。温度に戻ると、解は $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.}$$${\displaystyle \Delta T(0)}$$${\displaystyle T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.}$$

体と環境の間の温度差は、時間の関数として 指数関数的に減少します。

を定義すると、微分方程式は次のようになる。 ${\displaystyle r=1/\tau =hA/C}$

$${\displaystyle {\dot {T}}=r\left(T_{\text{env}}-T(t)\right),}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {T}}}$熱損失率（SI単位：K/秒）
• ${\displaystyle T}$物体の表面温度（SI単位：K）
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$環境の温度、すなわち表面から適度に離れた場所の温度（SI単位：K）、
• ${\displaystyle r}$熱伝達係数（SI単位：秒）です。${\displaystyle ^{-1}}$

変数分離法を用いて初期値問題を解くと、

$${\displaystyle T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-rt}.}$$

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参照:

• Dehghani、F 2007、CHNG2801 – 保全と輸送プロセス：コースノート、シドニー大学、シドニー

• 熱伝導 – Thermal-FluidsPedia
• Jeff Bryant によるニュートンの冷却の法則は、Stephen Wolframのプログラム ( Wolfram Demonstrations Project)に基づいています。
• 熱伝達教科書、第 5 版、無料電子書籍。