ニュートンの冷却法則

熱伝達の研究において、ニュートンの冷却法則は、物体の熱損失速度が物体とその周囲環境との温度差に正比例するという物理法則です。この法則は、温度差が小さく、熱伝達機構の性質が一定であるという条件が付加されることがよくあります。したがって、これは、熱損失と温度差を媒介する熱伝達係数が一定であるという記述と同等です。

熱伝導においては、一般的にフーリエの法則の結果としてニュートンの法則が成り立ちます。ほとんどの物質の熱伝導率は温度にほとんど依存しないため、熱伝達係数が一定であるという条件は一般的に満たされます。対流熱伝達においては、流体の特性が温度によって大きく変化しない強制空気冷却やポンプによる流体冷却ではニュートンの法則が成り立ちますが、流速が温度差とともに増加する浮力駆動対流では近似的にしか成り立ちません。熱放射による熱伝達の場合、ニュートンの冷却法則は温度差が非常に小さい場合にのみ成り立ちます。

温度差の観点から表現すると、ニュートンの法則（ビオ数が小さい、熱容量が温度に依存しないなど、いくつかの簡略化仮定を加えたもの）は、温度差を時間の関数として表す単純な微分方程式となる。この方程式の解は、温度差が時間とともに指数関数的に減少することを示している。この温度差の特性的な減少は、ニュートンの冷却法則とも関連している。

アイザック・ニュートンは、 1701年に「Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa.」というタイトルで、 Philosophical Transactionsに匿名で冷却に関する研究を発表した。^{[ 1 ]}これは最初の熱伝達の定式化であり、対流熱伝達の形式的な基礎となっている。^{[ 2 ]}

ニュートンは1701年に、当初は上記の形で法則を述べたわけではありませんでした。むしろ、現代の用語を用いると、ニュートンはいくつかの数学的操作の後、物体の温度変化率は物体とその周囲の温度差に比例するということを指摘しました。ニュートン自身が示したこの法則の最終的な最も単純なバージョンは、ニュートンの時代には熱と温度の概念が混同されていたことが一因であり、これらの概念ははるか後になってようやく完全に区別されることになります。^{[ 3 ]}

2020年、丸山と守谷は現代の装置を用いてニュートンの実験を再現し、現代のデータ処理技術を適用した。^{[ 4 ]}特に、これらの研究者は（ニュートンが使用した溶融金属のような）高温での熱放射を考慮し、空気の流れに対する浮力の影響も考慮した。ニュートンの元のデータと比較した結果、彼らは（1692年から1693年にかけての）彼の測定が「かなり正確」であったと結論付けた。^{[ 4 ]}

対流冷却は、「ニュートンの冷却法則」に従うと言われることがあります。熱伝達係数が物体と周囲環境の温度差に依存しない、あるいは比較的依存しない場合、ニュートンの法則が成り立ちます。この法則は、流体速度が温度差の増加に伴って上昇しない強制空冷やポンプ式液冷によく当てはまります。ニュートンの法則は、純粋な伝導冷却において最もよく成り立ちます。しかし、自然対流（浮力駆動）による熱伝達では、熱伝達係数は温度差の関数となります。この場合、ニュートンの法則は温度差が比較的小さい場合にのみ近似的に結果を示します。ニュートン自身もこの限界を認識していました。

1817年、デュロンとプティは、より大きな温度差における対流に関するニュートンの法則に指数を導入することで修正を加えた。^{[ 5 ]} （この二人は、結晶のモル比熱容量に関するデュロン・プティの法則を定式化したことでよく知られている。）

ニュートンの法則に従わないもう一つの状況は、放射熱伝達です。放射冷却は、ステファン・ボルツマンの法則によってより適切に説明されます。この法則では、熱伝達速度は、物体とその周囲の絶対温度の4乗の差に比例します。

熱伝達に関する文献で用いられるニュートンの法則の記述は、物体の熱損失速度が物体とその周囲の温度差に比例するという考え方を数学的に表現したものである。温度に依存しない熱伝達係数の場合、その記述は次のようになる。

$${\displaystyle q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),}$$ どこ

• ${\displaystyle q}$は物体から伝達される熱流束です（SI単位：ワット/m² ^）。
• ${\displaystyle h}$は熱伝達係数（Tとは無関係で、表面全体で平均化されていると仮定）（SI 単位：W/(m ² ⋅K)）です。
• ${\displaystyle T}$は物体の表面温度（SI単位：K）です。
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$は環境の温度、すなわち表面から十分に離れた場所での温度（SI単位：K）です。
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$は、環境および物体における時間依存の温度です（SI単位：K）。

全体的なパラメータにおいて、表面積上で熱流束を積分すると、次のように表すこともできます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,}$$ どこ

• ${\displaystyle {\dot {Q}}}$は、体から熱が放出される速度（SI単位：ワット）です。${\displaystyle {\dot {Q}}=\oint _{A}qdA}$
• ${\displaystyle h}$は熱伝達係数（Tとは無関係で、表面全体で平均化されていると仮定）（SI 単位：W/(m ² ⋅K)）です。
• ${\displaystyle A}$は伝熱表面積（SI単位：m² ^）です。
• ${\displaystyle T}$は物体の表面温度（SI単位：K）です。
• ${\displaystyle T_{\text{env}}}$は環境の温度、すなわち表面から十分に離れた場所での温度（SI単位：K）です。
• ${\displaystyle \Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}}$とは、環境と物体との間の時間依存的な温度差のことです（SI単位：K）。

伝熱面全体にわたって熱伝達係数と温度差が均一である場合、上記の式は次のように簡略化されます。

$${\displaystyle {\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)}$$。

熱伝達係数hは、流体の物理的特性と対流が発生する物理的状況に依存します。したがって、解析対象となるすべてのシステムについて、冷却および加熱中に発生する温度差の範囲で大きく変化しない、単一の使用可能な熱伝達係数を導出するか、実験的に求める必要があります。

典型的な構成と流体に対する熱伝達係数を計算するための式と相関関係は、多くの文献に記載されています。層流の場合、熱伝達係数は通常、乱流の場合よりも小さくなります。これは、乱流では熱伝達面上の境界層内で強い混合が起こるためです。^{[ 6 ]}層流から乱流への遷移が発生すると、システムの熱伝達係数が変化することに注意してください。

物体内部の熱抵抗が、物体表面からの熱伝達抵抗（外部伝導または対流による）に比べて小さい場合、つまりビオ数が約 0.1 未満の場合、物体の一時的な冷却に対する簡単な解決策が得られます。この条件により、物体内部の温度はほぼ均一で、時間とともに変化するものの、位置によって変化しないと想定できます。（そうでなければ、物体内部には同時に多くの異なる温度が存在することになります。）この単一の温度は、一般的に時間の経過とともに指数関数的に変化します（下記参照）。

ビオ数が低い場合、いわゆる集中容量モデルが用いられます。このモデルでは、内部エネルギー（物体内の熱エネルギー量）は一定の熱容量を仮定して計算されます。この場合、物体の内部エネルギーは、物体の単一の内部温度の線形関数となります。

以下に示す集中容量解は、強制対流の場合と同様に、一定の熱伝達係数を仮定しています。自由対流の場合、集中容量モデルは、温度差に応じて変化する熱伝達係数を用いて解くことができます。^{[ 8 ]}

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関連項目：

• Dehghani, F 2007, CHNG2801 – 保全と輸送プロセス：講義ノート、シドニー大学、シドニー

• 熱伝導– Thermal-FluidsPedia
• ジェフ・ブライアントによるニュートンの冷却法則（スティーブン・ウルフラムのプログラム、ウルフラム・デモンストレーション・プロジェクトに基づく） 。
• 熱伝達の教科書、第5版、無料電子書籍。