例
K 3 P 3 クリーネ の「（強い）不確定性の論理」K 3 K 3 S {\displaystyle K_{3}^{S}} プリースト の「パラドックスの論理」は、定義されていない 、または不確定な 第三の真理値Iを追加します。 否定 (¬)、連言 (∧)、選言 (∨)、含意 ( → K 双条件 ( ↔ K [ 3 ]
2 つの論理の違いは、トートロジーの定義方法にあります。K 3 では Tのみ が 指定された真理値 ですが、 P 3 T とI の両方が指定真理値です。（論理式は、指定された真理値に評価される場合、トートロジーとみなされます。）クリーネの論理では、I は不 確定 、つまり真でも偽でもないと解釈できますが、プリーストの論理では、I は過剰決定、つまり真と偽の両方であると解釈できます。K 3 にはトートロジーはありませんが、P 3 に は古典的 2 値 [ 4 ]
もう一つの論理は、ドミトリー・ボフヴァルの内部 三値論理である。B 3 私 {\displaystyle B_{3}^{I}} [ 5 ]
ボフバールの内部 論理における中間真理値は、他の変数の値に関係なく式の中で伝播するため、伝染性がある と表現できる。 [ 5 ]
B4 ） ベルナップ の論理B 4 は K 3 P 3 B 、不足決定された真理値をN と表記します。
G k およびG ∞ 1932年にゲーデルは [ 6 ] G k {\displaystyle G_{k}} 0 、 1 k − 1 、 2 k − 1 、 … 、 k − 2 k − 1 、 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{k-1}},{\tfrac {2}{k-1}},\ldots ,{\tfrac {k-2}{k-1}},1} G 3 {\displaystyle G_{3}} 0 、 1 2 、 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{2}},1} G 4 {\displaystyle G_{4}} 0 、 1 3 、 2 3 、 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {2}{3}},1} G ∞ {\displaystyle G_{\infty }} 実数である。 [ 0 、 1 ] {\displaystyle [0,1]}
接続詞∧ {\displaystyle \wedge } ∨ {\displaystyle \vee } 最小値 と最大値 として定義されます。
u ∧ v := ミニ { u 、 v } u ∨ v := 最大 { u 、 v } {\displaystyle {\begin{aligned}u\wedge v&:=\min\{u,v\}\\u\vee v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}} 否定¬ G \displaystyle \neg _{G}} → G {\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}
¬ G u = { 1 、 もし u = 0 0 、 もし u > 0 u → G v = { 1 、 もし u ≤ v v 、 もし u > v {\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}} ゲーデル論理は完全に公理化可能である。つまり、すべてのトートロジーが証明可能な論理計算を定義することが可能である。上記の含意は、上限演算と最小値演算が無限分配法則を持つ完全束を形成するという事実によって定義される、唯一のハイティング含意であり、この法則は束上に唯一の 完全ハイティング代数 構造を定義する。
L v およびL ∞ 意味→ L {\displaystyle {\xrightarrow[{L}]{}}} ¬ L {\displaystyle {\underset {L}{\neg }}} ヤン・ウカシェヴィチ によって以下の関数によって定義された。
¬ L u := 1 − u u → L v := ミニ { 1 、 1 − u + v } {\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}} ルカシェヴィチは当初、1920年に自身の3値論理のためにこれらの定義を用いた。L 3 {\displaystyle L_{3}} 0 、 1 2 、 1 {\displaystyle 0,{\frac {1}{2}},1} L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} [ 0 、 1 ] {\displaystyle [0,1]} [ 7 ]
ゲーデル論理と同様の方法で定義された真理値を採用することにより0 、 1 v − 1 、 2 v − 1 、 … 、 v − 2 v − 1 、 1 {\displaystyle 0,{\tfrac {1}{v-1}},{\tfrac {2}{v-1}},\ldots ,{\tfrac {v-2}{v-1}},1} L v {\displaystyle L_{v}} L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} L ℵ 0 {\displaystyle L_{\aleph _{0}}} 有理数によって与えられる。 [ 0 、 1 ] {\displaystyle [0,1]} L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} L ℵ 0 {\displaystyle L_{\aleph _{0}}}
ローズロジックス 1951年、アラン・ローズは真理値が束 を形成するシステムのための別の論理族を定義した。[ 9 ]
古典論理との関係 論理体系は通常、命題の何らかの意味的 性質を変換後も維持するための規則を体系化することを目的としたシステムである。古典論理 では、この性質は真理 である。妥当な議論においては、前提が両方とも真であれば、導出された命題の真偽は保証される。なぜなら、妥当な手順を適用することでその性質が維持されるからである。しかし、その性質は必ずしも真理 である必要はなく、他の概念であってもよい。
多値論理は、指定性（または指定されること）の性質を保持することを目的としています。真理値が2つ以上あるため、推論規則は、（関連する意味で）真理に対応する値だけでなく、それ以上の値を保持することを意図している場合があります。たとえば、3値論理では、2つの最大の真理値（例えば正の整数として表される場合）が指定されることがあり、推論規則はこれらの値を保持します。正確には、妥当な議論とは、前提の値をまとめて取った値が常に結論以下になるような議論です。
例えば、保存される性質は、直観主義論理 の基礎概念である正当化 である。したがって、命題は真偽ではなく、正当化されているか、欠陥があるかのいずれかである。この場合、正当化と真偽の重要な違いは、排中律が 成り立たないことである。欠陥のない命題は必ずしも正当化されているわけではなく、欠陥があることが証明されていないだけである。重要な違いは、保存される性質の決定性である。Pが正当 化されていること、P が欠陥があること、あるいはどちらも証明できないことを証明できる。有効な議論は変換を超えて正当化を保存するため、正当化された命題から導出された命題は依然として正当化されている。しかし、古典論理には排中律に依存する証明が存在する。この体系では排中律が使用できないため、その方法で証明できない命題が存在する。
多値論理の機能的完全性 機能的完全性 とは、有限論理と有限代数の特別な性質を表す用語です。論理の結合子の集合は、その結合子の集合を用いてあらゆる可能な真理関数 に対応する式を構成できる場合に限り、機能的に完全 または適切で あると言われます。[ 10 ] [ 11 ]
古典論理: CL = ({0,1}, ¬ , →, ∨, ∧, ↔) は機能的に完全であるが、ルカシェヴィッチ論理 や無限多値論理にはこの性質はない。[ 11 ] [ 12 ]
有限多値論理は、L n n } ƒ 1 , ..., ƒ m n ≥ 2 は与えられた自然数です。Post (1921)は、論理が任意の m 次 モデルの関数を生成できると仮定すると、適切な論理 L n には、 m+1 次モデルを生成できる対応する結合子の組み合わせが存在することを証明しました。[ 13 ]
アプリケーション 多値論理の既知の応用例は、大きく2つのグループに分類できます。[ 14 ] 特性関数 （具体的には、指示関数 ）に変換することです。多値論理のその他の応用例には、入力デコーダを備えたプログラマブルロジックアレイ （PLA）の設計、有限状態機械 の最適化、テスト、検証などがあります。
2番目のグループは、多値メモリ、算術回路、フィールドプログラマブルゲートアレイ （FPGA）など、2つ以上の離散的な信号レベルを使用する電子回路の設計を対象としています。多値回路は、標準的なバイナリ回路に比べて多くの理論的な利点があります。たとえば、回路内の信号が2レベルではなく4レベル以上であれば、チップ内外の相互接続を削減できます。メモリ設計では、メモリセルあたり1ビットではなく2ビットの情報を格納することで、同じダイサイズ でメモリ密度を2倍にすることができます。算術回路を使用するアプリケーションでは、バイナリ数システムの代替手段を使用することでメリットが得られることがよくあります。たとえば、剰余 数システムや冗長数システム [ 15 ] は、通常のバイナリ加算または減算に伴うリップルスルーキャリーを 削減または排除できるため、高速な算術演算が可能になります。これらの数システムは、多値回路を使用して自然に実装できます。ただし、これらの潜在的な利点の実用性は、現在の標準技術と互換性があるか、または競争力のある回路実装の入手可能性に大きく依存します。多値論理は、電子回路の設計を支援するだけでなく、回路の故障や欠陥をテストするためにも広く使用されています。基本的に、デジタル回路テストに使用される既知の自動テストパターン生成 （ATG）アルゴリズムはすべて、5値論理（0、1、x、D、D'）を解読できるシミュレータを必要とします。[ 16 ]
3つ目の応用分野は量子情報処理 であり、そこでは自然な計算単位は必ずしもバイナリ量子ビット ではありません。quditは d > 2 個の離散レベルを持つ量子システムであり、qudit を使用した量子通信プロトコルは、量子ビットベースのプロトコルよりも高いチャネル容量とより強力なセキュリティ保証を実現できます。 qudit 演算の代数構造は、同じ数のレベルにわたる多値論理によって自然に記述され、いくつかの研究グループが多値論理の概念を基礎として qudit 量子回路の合成と最適化を研究してきました。 特にフォトニックプラットフォームは、周波数、軌道角運動量、時間ビンなどの自由度における高次元エンコーディングをサポートしており、qudit ベースの量子通信は活発な実験開発分野となっています。[ 17 ]
参考文献 ↑ パトリック・ハーレー著『論理学入門』 （第9版、2006年） ↑ ジュール・ヴィルマン、「必然性か偶然性か 」、CSLI講義ノート、第56号、スタンフォード大学、1996年、133-167ページ ↑ （ ゴットワルド 2005 、p.19 ） ↑ハンバーストーン 、 ロイド（2011）。『コネクティブ』 978-0-262-01654-4 。 1 2 ( ベルクマン 2008 、p. 80) ↑ ゲーデル、クルト (1932)。 「Zum intuitionistischen Aussagenkalkül」。 ウィーンのアカデミー・デア・ヴィッセンシャフテン (69): 65f。 ↑ クライザー、ローター。ゴットヴァルト、ジークフリート。ステルツナー、ヴェルナー (1990)。 Nichtklassische Logik。アイネ・アインフュールング 。ベルリン：Akademie-Verlag。 41ページ以降～ 45ページ以降 。 ISBN 978-3-05-000274-3 。↑ ハジェク、ペトル：ファジー論理 。エドワード・N・ザルタ編：スタンフォード哲学百科事典 、2009年春号。（） ↑ Rose, Alan (1951 年 12 月). 「真理値が格子を形成する論理体系」. Mathematische Annalen . 123 : 152–165 . doi : 10.1007/BF02054946 . S2CID 119735870 . ↑ スミス、ニコラス (2012). 論理学：真理の法則 . プリンストン大学出版局. p. 124. 1 2 マリノフスキ、グジェゴシュ (1993)。 多値論理 。クラレンドン・プレス。pp. 26–27 。 ↑ チャーチ、アロンゾ (1996). 数理論理学入門 . プリンストン大学出版局. ISBN 978-0-691-02906-1 。↑ Post, Emil L. (1921). "Introduction to a General Theory of Elementary Propositions". American Journal of Mathematics . 43 (3): 163– 185. doi : 10.2307/2370324 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t9j450f7q . ISSN 0002-9327 . JSTOR 2370324 . ↑ Dubrova, Elena (2002). Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization , in Hassoun S. and Sasao T., editors, Logic Synthesis and Verification , Kluwer Academic Publishers, pp. 89-114 ↑ Meher, Pramod Kumar; Valls, Javier; Juang, Tso-Bing; Sridharan, K.; Maharatna, Koushik (2008年8月22日). "50 Years of CORDIC: Algorithms, Architectures and Applications" (PDF) . IEEE Transactions on Circuits & Systems I: Regular Papers . 56 (9) (2009年9月9日発行): 1893–1907 . doi : 10.1109/TCSI.2009.2025803 . S2CID 5465045 . 2022年10月9日にオリジナルから アーカイブ (PDF) 。 2016年 1月3日 に取得 。 ↑アブラモヴィチ、ミロン ； ブロイアー、メルビン A.；フリードマン、アーサー D. (1994). デジタルシステムテストとテスト可能な設計 . ニューヨーク：コンピュータサイエンスプレス. p. 183. ISBN 978-0-7803-1062-9 。↑ Erhard, Manuel; Krenn, Mario; Zeilinger, Anton (2020). "高次元量子もつれの進歩". Nature Reviews Physics . 2 (7): 365–381 . arXiv : 1911.10006 . doi : 10.1038/s42254-020-0193-5 . ↑ 「IEEE 多値論理に関する国際シンポジウム (ISMVL)」 。 www.informatik.uni-trier.de/~ley。2011 年 4 月 20 日の オリジナル からアーカイブ。2011 年 4 月 16 日 取得 。 ↑ 「MVLSC ホーム」 。 2014年3月15日に オリジナル からアーカイブ済み 。 2011年 8月12日 に取得。
さらに読む 一般的な
Augusto, Luis M. (2017).多値論理：数学的および計算論的入門. ロンドン：カレッジ・パブリケーションズ. 340ページ. ISBN 978-1-84890-250-3 。ウェブページ Béziau J.-Y. (1997)、多値論理とは何か ？第27回多値論理に関する国際シンポジウム議事録 、IEEEコンピュータソサエティ、ロスアラミトス、pp. 117–121。マリノフスキ、グレゴルツ、（2001）「多値論理」、 ルー・ゴブル編『ブラックウェル哲学論理学ガイド』 、ブラックウェル。 Bergmann, Merrie (2008), 『多値論理とファジー論理入門：意味論、代数、および導出システム』 、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-88128-9 Cignoli、RLO、D'Ottaviano、I、ML 、Mundici、D.、(2000)。多値推論の代数的基礎 。クルーワー。 マリノフスキ、グジェゴシュ（1993）。多値論理 。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-853787-8 。 S. ゴットヴァルト 、「多値論理に関する論文」、 論理と計算の研究、第9巻、リサーチ・スタディーズ・プレス：バルドック、ハートフォードシャー、イングランド、2001年。ゴットヴァルト、ジークフリート（2005）。「多値論理」（PDF） 。2016年3月3日にオリジナルからアーカイブ済み。 CS1 maint: bot: 元の URL の状態が不明です (リンク) ミラー、D. マイケル、ソーントン、ミッチェル A. (2008).多値論理：概念と表現 . デジタル回路とシステムに関する合成講義. 第 12 巻. モーガン & クレイプール出版社. ISBN 978-1-59829-190-2 。 Hájek P. , (1998),メタ数学におけるファジィ論理。Kluwer。（ファジィ論理は 、独自の 多値論理として理解される。）特定の
アレクサンドル・ジノヴィエフ 、『多値論理の哲学的問題』 、D. ライデル出版、169ページ、1963年。プライアー A. 1957年、『時間と様相』、オックスフォード大学出版局、1956年の ジョン・ロック 講義に基づく。 Goguen JA 1968/69、「不正確な概念の論理」 、Synthese、19、325–373。Chang CC およびKeisler HJ 1966.連続モデル理論 、プリンストン、プリンストン大学出版局。Gerla G. 2001, Fuzzy logic: Mathematical Tools for Approximate Reasoning , Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Novák, V.、Perfilieva, I.、Močkoř, J.、(1999)、ファジー論理の数学的原理 。ボストン、クルーワー。 Pavelka J. 1979、「ファジィ論理について I: 多値推論規則」 、Zeitschr. f. math. Logik und Grundlagen d. Math.、25、45–52。 メトカーフ、ジョージ；オリベッティ、ニコラ；ドヴ・M・ギャベイ （2008）。ファジー論理の証明論 。シュプリンガー。ISBN 978-1-4020-9408-8 。 ハーンレ、ライナー（1993）。多値論理における自動推論 。クラレンドン・プレス。ISBN 978-0-19-853989-6 。 アゼベド、フランシスコ（2003）。多値論理における制約解決：デジタル回路への応用 。IOS Press。ISBN 978-1-58603-304-0 。 ボルツ、レオナルド；ボロウィック、ピョートル（2003）。多値論理2：自動推論と実用的応用 。シュプリンガー。ISBN 978-3-540-64507-8 。 Stanković, Radomir S.; Astola, Jaakko T.; Moraga, Claudio (2012).多値論理関数の表現 . Morgan & Claypool Publishers. doi : 10.2200/S00420ED1V01Y201205DCS037 . ISBN 978-1-60845-942-1 。 アブラモヴィチ、ミロン；ブロイアー、メルビン A.；フリードマン、アーサー D. (1994).デジタルシステムテストとテスト可能な設計 . ニューヨーク：コンピュータサイエンスプレス. ISBN 978-0-7803-1062-9 。
外部リンク ゴットヴァルト、ジークフリート（2022）。「多値論理」。ザルタ、エドワード・N（編）。スタンフォード哲学百科事典（2022年夏版） Shramko, Yaroslav および Wansing, Heinrich (2021). 「真理値」 . Zalta, Edward N. (編). 『スタンフォード哲学百科事典』（2021 年冬版） IEEEコンピュータソサエティ の多値論理に関する技術委員会ライナー・ヘーンレ（チャルマース工科大学）による 多値論理に関する資料 多値論理 W3サーバー（アーカイブ済み） ヤロスラフ・シュラムコ、ハインリヒ・ヴァンシング（2020）。「スシュコのテーゼ」。スタンフォード哲学百科事典 Carlos Caleiro、Walter Carnielli、Marcelo E. Coniglio、João Marcos、「Two's company: "The humbug of many logical values"」、2014 年9月29日にWayback Machineにアーカイブ済み。Jean - Yves Beziau編 (2007) 『Logica Universalis: Towards a General Theory of Logic』 （ 第2 版）。Springer Science & Business Media。pp. 174–194。ISBN 978-3-7643-8354-1 。
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle {\xrightarrow[{G}]{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22501998f5f47d87375c66727b3a00f4d0abdb5d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\neg _{G}u&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\0,&{\text{if }}u>0\end{cases}}\\[3pt]u\mathrel {\xrightarrow[{G}]{}} v&={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\v,&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d276c8d6a62bcba62243231f1ebf09984825b63d)
![{\displaystyle {\xrightarrow[{L}]{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b88e3bbbb30a5adb9924053dc2e661b6a81719)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {L}{\neg }}u&:=1-u\\u\mathrel {\xrightarrow[{L}]{}} v&:=\min\{1,1-u+v\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f72df26f1206bd9636277a7c4ffa847fbc99e148)
![{\displaystyle {\xrightarrow[{\Pi }]{}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0345a0d26c891ac89dfb8a10508ac644e98280be)
![{\displaystyle {\begin{aligned}u\odot v&:=uv\\u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u\leq v\\{\frac {v}{u}},&{\text{if }}u>v\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b78a241cc6af8f978b9fec3eb05a44d7d3a65b4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {\Pi }{\neg }}u&:=u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} {\overline {0}}\\u\mathbin {\underset {\Pi }{\wedge }} v&:=u\odot \left(u\mathrel {\xrightarrow[{\Pi }]{}} v\right)\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f054052eba20d4a526b9290a0349ae70393583e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\underset {P}{\neg }}u&:={\begin{cases}1,&{\text{if }}u=0\\u-{\frac {1}{m-1}},&{\text{if }}u\not =0\end{cases}}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\wedge }} v&:=\min\{u,v\}\\[6pt]u\mathbin {\underset {P}{\vee }} v&:=\max\{u,v\}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82c98539272043a230723f2df72c345361147935)