ミンコフスキー・ブーリガン次元

フラクタル幾何学において、ミンコフスキー・ブーリガン次元は、ミンコフスキー次元またはボックスカウンティング次元とも呼ばれ、ユークリッド空間、より一般的には計量空間内の集合のフラクタル次元を決定する方法である。ポーランドの数学者ヘルマン・ミンコフスキーとフランスの数学者ジョルジュ・ブーリガンにちなんで名付けられている。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (X,d)}$

フラクタルのこの次元を計算するには、このフラクタルが等間隔のグリッド上に配置されていると想像し、セットをカバーするために必要なボックスの数を数えます。ボックスカウント次元は、ボックスカウントアルゴリズムを適用してグリッドを細かくすると、この数がどのように変化するかを見ることで計算されます。 ${\displaystyle S}$

がセットをカバーするのに必要な辺の長さの箱の数であると仮定すると、箱を数える次元は次のように定義されます。 ${\displaystyle N(\varepsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S):=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\log N(\varepsilon )}{\log(1/\varepsilon )}}.}$

大まかに言えば、これは次元がとなる指数であることを意味します。これは、 が整数次元 の滑らかな空間 (多様体) である場合の自明なケースで予想されるものです。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle N(\varepsilon )\approx C\varepsilon ^{-d}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d}$

上記の極限が存在しない場合でも、上限ボックス次元と下限ボックス次元をそれぞれ定義する上限極限 と下限極限をとることができます。上限ボックス次元は、エントロピー次元、コルモゴロフ次元、コルモゴロフ容量、極限容量、または上限ミンコフスキー次元と呼ばれることもあります。一方、下限ボックス次元 は、下限ミンコフスキー次元とも呼ばれます。

上部ボックス次元と下部ボックス次元は、より一般的なハウスドルフ次元と密接に関連しています。 非常に特殊な用途でのみ、3 つの次元を区別することが重要です (以下を参照)。 フラクタル次元のもう 1 つの尺度は相関次元です。

ボールを使用して、被覆数またはパッキング数のいずれかでボックスの寸法を定義することができます。被覆数は、フラクタルを覆うために必要な、つまり、それらの和集合にフラクタルが含まれるような、半径 の開いたボールの最小数です。また、同じ方法で定義されるが、開いたボールの中心が集合S内にあるという追加要件がある、固有の被覆数 も考えることができます。パッキング数は、中心がフラクタル内に存在するように配置できる、半径 の互いに素な開いたボールの最大数です。 、、および は完全に同一ではありませんが、互いに密接に関連しており、ボックスの上部と下部の寸法の同一の定義を生み出します。これは、次の不等式が証明されれば簡単に示せます。 ${\displaystyle N_{\text{covering}}(\varepsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N'_{\text{covering}}(\varepsilon )}$${\displaystyle N_{\text{パッキング}}(\varepsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{\text{カバー}}}$${\displaystyle N'_{\text{カバー}}}$${\displaystyle N_{\text{パッキング}}}$

${\displaystyle N_{\text{パッキング}}(\varepsilon )\leq N'_{\text{カバー}}(\varepsilon )\leq N_{\text{カバー}}(\varepsilon /2)\leq N'_{\text{カバー}}(\varepsilon /2)\leq N_{\text{パッキング}}(\varepsilon /4).}$

これらは、定義によって、または三角不等式からほとんど努力をせずに得られます。

正方形ではなくボールを使用する利点は、この定義が任意の距離空間に一般化できることです。言い換えると、ボックスの定義は外部的です。つまり、 フラクタル空間S はユークリッド空間に含まれていると仮定し、ボックスをその包含空間の外部幾何学に従って定義します。ただし、Sの次元は、 S が配置されている環境とは無関係に内部的である必要があり、ボールの定義は内部的に定式化できます。内部ボールは、選択した中心から一定の距離内にあるSのすべての点として定義し、そのようなボールを数えて次元を取得します。(より正確には、N_被覆定義は外部的ですが、他の 2 つは内部的です。)

ボックスを使用する利点は、多くの場合、N ( ε ) を明示的に簡単に計算できることと、ボックスの場合、被覆数とパッキング数 (同等の方法で定義) が等しいことです。

パッキング数と被覆数の対数は、エントロピー数と呼ばれることもあり、熱力学的エントロピーや情報理論的エントロピーの概念に多少類似しています。これは、スケールεにおける計量空間またはフラクタルの「無秩序」の量を測定するとともに、精度εで空間の点を指定するのに必要なビット数または桁数を測定するという点です。

ボックスカウント次元の別の同等の（外部の）定義は、次の式で与えられる。

${\displaystyle \dim _{\text{box}}(S)=n-\lim _{r\to 0}{\frac {\log {\text{vol}}(S_{r})}{\log r}},}$

ここで、各r > 0について 、集合はSのr近傍、つまりSからr未満の距離にある内のすべての点の集合として定義されます(または同等に、Sの要素である中心を持つ 半径rのすべての開球の和集合です)。 ${\displaystyle S_{r}}$${\displaystyle R^{n}}$${\displaystyle S_{r}}$

上ボックス次元は有限安定である、すなわち{ A ₁ , ..., An }_が集合の有限集合である場合、

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A_{1}\cup \dotsb \cup A_{n})=\max\{\dim _{\text{upper box}}(A_{1}),\dots ,\dim _{\text{upper box}}(A_{n})\}.}$

しかし、これは可算安定ではありません。つまり、この等式は集合の無限列には当てはまりません。たとえば、単一の点のボックス次元は 0 ですが、区間 [0, 1] 内の有理数の集合のボックス次元は次元 1 です。比較すると、ハウスドルフ次元は可算安定です。一方、下側のボックス次元は有限安定でさえありません。

上ボックス次元の興味深い性質は、下ボックス次元やハウスドルフ次元と共有されていない、集合の加算との関連です。AとBがユークリッド空間内の2つの集合である場合、A + Bは、AからのaとBからのbのすべての点のペアa、bを取り、a +  bを 加算 することによって形成されます。

${\displaystyle \dim _{\text{upper box}}(A+B)\leq \dim _{\text{upper box}}(A)+\dim _{\text{upper box}}(B).}$

ボックスカウンティング次元は、フラクタルに適用できる次元の定義の1つです。多くの適切に動作するフラクタルでは、これらの次元はすべて等しく、特に、フラクタルが開集合条件（OSC）を満たす場合は常にこれらの次元が一致します。^[1]たとえば、カンター集合のハウスドルフ次元、下ボックス次元、上ボックス次元はすべてlog(2)/log(3)に等しくなります。ただし、定義は同等ではありません。

ボックス次元とハウスドルフ次元は不等式で関係している。

${\displaystyle \dim _{\text{Haus}}\leq \dim _{\text{下のボックス}}\leq \dim _{\text{上のボックス}}.}$

一般に、両方の不等式は厳密である可能性がある。フラクタルが異なるスケールで異なる動作をする場合は、上部ボックスの次元が下部ボックスの次元よりも大きくなる可能性がある。たとえば、条件を満たす区間[0, 1]の数の集合を調べる。

任意のnについて、 2 ^{2 n}番目の桁と (2 ^{2 n +1} − 1) 番目の桁の間のすべての桁は ゼロになります。

「奇数桁間隔」、つまり 2 ^{2 n +1}と 2 ^{2 n +2}  − 1 の間の桁は制限されておらず、任意の値を取ることができます。このフラクタルは、上側のボックスの次元が 2/3、下側のボックスの次元が 1/3 です。これは、N ( ε )を計算し、 n が偶数の場合と奇数の場合で値が異なる動作をすることに注目することで簡単に確認できます。 ${\displaystyle \varepsilon =10^{-2^{n}}}$

別の例: 有理数の集合 はを持つ可算集合であり、その閉包 は次元 1 を持つため を持つ。実際、 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \dim _{\text{ハウス}}=0}$${\displaystyle \dim _{\text{box}}=1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \dim _{\text{box}}\left\{0,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \right\}={\frac {1}{2}}.}$

これらの例は、可算セットを追加するとボックスの次元が変わる可能性があることを示しており、この次元の一種の不安定性を示しています。

• 相関次元
• 梱包寸法
• 不確実性指数
• ワイル・ベリー予想
• 欠落性

• ファルコナー、ケネス(1990)。フラクタル幾何学: 数学的基礎と応用。チチェスター: ジョン ワイリー。pp. 38–47。ISBN 0-471-92287-0.ZBL0689.28003  .​
• ワイスタイン、エリック・W.「ミンコフスキー＝ブーリガンの次元」。マスワールド。

• FrakOut!: ボックスカウント法を使用して図形のフラクタル次元を計算する OSS アプリケーション (ボックスを自動的に配置するわけではありません)。
• FracLac: オンライン ユーザー ガイドとソフトウェア ImageJ および FracLac ボックス カウント プラグイン。生物学におけるデジタル画像分析用の、ユーザーフレンドリーな無料のオープン ソース ソフトウェア