Mollifier

定義1 .${\displaystyle \varphi }$滑らかな関数である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$、${\displaystyle n\geq 1}$、そして${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x):=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$のために${\displaystyle \epsilon >0\in \mathbb {R} }$。 それから${\displaystyle \varphi }$以下の3つの条件を満たす場合、それは緩和剤である。

（１）  コンパクトに支持されている、^[８]

（２）  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$、

（３）  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$、

どこ${\displaystyle \delta (x)}$はディラックのデルタ関数であり、極限はシュワルツ分布の空間で起こるものと理解されなければならない。関数${\displaystyle \varphi }$さらに、関心のある条件を満たす場合もあります。^{[ 9 ]}例えば、

（４）  ${\displaystyle \varphi (x)\geq 0}$すべての人々のために${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$、

するとそれは正の緩和因子と呼ばれ、もしそれが

（５）  ${\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)}$ある無限回微分可能な関数に対して${\displaystyle \mu$ :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} } 、

それを対称的モルファイアと呼びます。

注1．分布理論がまだ広く知られておらず、使用されていなかった頃、^{[ 10 ]}上記の性質(3)は、関数の畳み込みが${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$適切なヒルベルト空間またはバナッハ空間 に属する与えられた関数は、ε → 0のとき、その関数に収束します。 ^{[ 11 ]}これはまさにフリードリヒスが行ったことです。^{[ 12 ]}これはまた、モル化関数が近似恒等式と関連している理由を明らかにします。^{[ 13 ]}

注2.この項目の「歴史的注釈」のセクションで簡単に指摘したように、元々「mollifier」という用語は次の畳み込み演算子を指していました。^{[ 13 ] [ 14 ]}

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

どこ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$そして${\displaystyle \varphi }$は、上記で述べた最初の３つの条件と、正値性や対称性などの１つ以上の補足条件を満たす滑らかな関数である。

あらゆる配布において${\displaystyle T}$実数でインデックス付けされた以下の畳み込みの族${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

どこ${\displaystyle \ast }$は畳み込みを表し、は滑らかな関数の族です。

あらゆる配布において${\displaystyle T}$実数でインデックス付けされた以下の畳み込みの族${\displaystyle \epsilon }$に収束する${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

あらゆる配布において${\displaystyle T}$、

${\displaystyle \operatorname {supp} T_{\epsilon }=\operatorname {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \operatorname {supp} T+\operatorname {supp} \varphi _{\epsilon }}$、

どこ${\displaystyle \operatorname {supp} }$は分布の意味でのサポートを示し、${\displaystyle +}$これは、ミンコフスキー加算を示しています。

一般化関数のいくつかの理論では、分布の乗算を定義するためにモル化子が使用されます。2 つの分布が与えられた場合、${\displaystyle S}$そして${\displaystyle T}$、軟化によって一方のオペランドから得られる滑らかな関数と他方のオペランドとの積の極限は、存在する場合には、一般化関数のさまざまな理論におけるそれらの積を定義します。

${\displaystyle S\cdot T:=\lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }}$。

モル化演算子は、微分演算子の2種類の拡張、すなわち強拡張と弱拡張の同一性を証明するために用いられる。モル化演算子を導入したフリードリヒスの論文（フリードリヒス 1944 ）はこのアプローチを例示している。

単位球の特性関数の畳み込みにより${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$スムーズ機能付き${\displaystyle \varphi _{1/2}}$（（３）で定義される）${\displaystyle \epsilon =1/2}$) 関数が得られる

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{B_{1},1/2}(x)&=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)\\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\\&=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})\end{aligned}}}$

これは滑らかな関数で、${\displaystyle 1}$の上${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$サポート内容は${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$これは、もし${\displaystyle |x|\leq 1/2}$そして${\displaystyle |y|\leq 1/2}$それから${\displaystyle |x-y|\leq 1}$したがって、${\displaystyle |x|\leq 1/2}$、

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$。

この構成を一般化することで、与えられたコンパクト集合の近傍上の関数と同一の滑らかな関数が得られ、この集合からの距離が与えられた距離よりも大きいすべての点でゼロになることがわかる。${\displaystyle \epsilon }$[ ^{17 ]}このような関数は（滑らかな）カットオフ関数と呼ばれ、乗算によって与えられた（一般化された）関数の特異点^を除去するために使用されます。これらは、与えられた集合上の被乗数の値は変更しませんが、そのサポートを変更します。カットオフ関数は、単位の滑らかな分割を構築するために使用されます。